EKUIVALENSI LOGIKA PERTEMUAN KE-7 OLEH: SUHARMAWAN, S.Pd., S.Kom.

EKUIVALENSI Jika dua buah ekspresi logika adalah tautologi, maka dapat dipastikan bahwa kedua buah ekspresi logika tersebut adalah ekuivalen secara logis. Demikian juga jika dua buah ekspresi logika adalah kontradiksi, maka dapat dipasikan kedua buah ekspresi logika tersebut adalah ekuivalen secara logis.

EKUIVALENSI Persoalannya ada pada contingensi, karena memiliki semua nilai T dan F. Tetapi jika urutan T dan F atau sebaliknya pada tabel kebenaran tetap pada urutan yang sama maka tetap disebut ekuivalen secara logis. Dalam tabel kebenaran, suatu tautologi selalu bernilai True pada semua barisnya dan kontradik-si selalu bernilai False pada semua baris. Kalau suatu kalimat tautologi diturunkan lewat hukum-hukum yang ada maka pada akhirnya akan menghasilkan True, sebaliknya kontradiksi akan selalu bernilai False.

EKUIVALENSI Contoh: 1. Dewi sangat cantik dan peramah. 2. Dewi peramah dan sangat cantik. Dari dua pernyataan di atas, tanpa pikir panjang kita dapat menyimpulkan bahwa kedua pernyataan di atas adalah ekuivalen. Tetapi untuk membuktikan kebenarannya apakah kedua pernyataan tersebut ekuivalen harus dibuktikan dengan tabel kebenaran.

EKUIVALENSI Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: Ubahlah pernyataan-pernyataan tersebut ke dalam pernyataan atomik dengan simbol logikanya! Dewi sangat cantik dan peramah Untuk pernyataan di atas, kita rubah kedalam pernyataan atomiknya dan kita permisalkan dengan simbol logikanya, yaitu: p = Dewi sangat cantik q = Dewi peramah

EKUIVALENSI 2. Ubahlah pernyataan-pernyataan pernyataan majemuknnya kedalam simbol-simbol logika-nya. 1. Dewi sangat cantik dan peramah. 2. Dewi peramah dan sangat cantik. Untuk pernyataan di atas, kita rubah kedalam simbol logikanya, yaitu: 1. p  q 2. q  p

p q p  q q  p B B B S S B S S EKUIVALENSI 3. Buatlah tabel kebenaran untuk pernyataan majemuk tersebut! p q p  q q  p B B B S S B S S

p q p  q q  p B B B B S S B S S EKUIVALENSI 3. Buatlah tabel kebenaran untuk pernyataan majemuk tersebut! p q p  q q  p B B B B S S B S S

p q p  q q  p B B B B S S S B S S EKUIVALENSI 3. Buatlah tabel kebenaran untuk pernyataan majemuk tersebut! p q p  q q  p B B B B S S S B S S

p q p  q q  p B B B B S S S B S S S EKUIVALENSI 3. Buatlah tabel kebenaran untuk pernyataan majemuk tersebut! p q p  q q  p B B B B S S S B S S S

p q p  q q  p B B B B S S S B S S S S EKUIVALENSI 3. Buatlah tabel kebenaran untuk pernyataan majemuk tersebut! p q p  q q  p B B B B S S S B S S S S

p q p  q q  p B B B B B S S S B S S S S EKUIVALENSI 3. Buatlah tabel kebenaran untuk pernyataan majemuk tersebut! p q p  q q  p B B B B B S S S B S S S S

p q p  q q  p B B B B B S S S S B S S S S EKUIVALENSI 3. Buatlah tabel kebenaran untuk pernyataan majemuk tersebut! p q p  q q  p B B B B B S S S S B S S S S

p q p  q q  p B B B B B S S S S B S S S S S EKUIVALENSI 3. Buatlah tabel kebenaran untuk pernyataan majemuk tersebut! p q p  q q  p B B B B B S S S S B S S S S S

p q p  q q  p B B B B B S S S S B S S S S S S EKUIVALENSI 3. Buatlah tabel kebenaran untuk pernyataan majemuk tersebut! p q p  q q  p B B B B B S S S S B S S S S S S

p q p  q q  p B B B B B S S S S B S S S S S S EKUIVALENSI 3. Buatlah tabel kebenaran untuk pernyataan majemuk tersebut! p q p  q q  p B B B B B S S S S B S S S S S S

p  q q  p p  q  p  q (x) (y) (x  y) B B S S S S S S EKUIVALENSI 4. Hubungkan kedua pernyataan tersebut dengan pernyataan biimplikasi. p  q q  p p  q  p  q (x) (y) (x  y) B B S S S S S S

p  q q  p p  q  p  q (x) (y) (x  y) B B B S S S S S S EKUIVALENSI 4. Hubungkan kedua pernyataan tersebut dengan pernyataan biimplikasi. p  q q  p p  q  p  q (x) (y) (x  y) B B B S S S S S S

p  q q  p p  q  p  q (x) (y) (x  y) B B B S S B S S S S EKUIVALENSI 4. Hubungkan kedua pernyataan tersebut dengan pernyataan biimplikasi. p  q q  p p  q  p  q (x) (y) (x  y) B B B S S B S S S S

p  q q  p p  q  p  q (x) (y) (x  y) B B B S S B S S B S S EKUIVALENSI 4. Hubungkan kedua pernyataan tersebut dengan pernyataan biimplikasi. p  q q  p p  q  p  q (x) (y) (x  y) B B B S S B S S B S S

p  q q  p p  q  p  q (x) (y) (x  y) B B B S S B S S B S S B EKUIVALENSI 4. Hubungkan kedua pernyataan tersebut dengan pernyataan biimplikasi. p  q q  p p  q  p  q (x) (y) (x  y) B B B S S B S S B S S B

p  q q  p p  q  p  q (x) (y) (x  y) B B B S S B S S B S S B EKUIVALENSI HASIL AKHIR p  q q  p p  q  p  q (x) (y) (x  y) B B B S S B S S B S S B

EKUIVALENSI Dari hasil tabel kebenaran di atas diperoleh hasil bahwa nilai dari p  q sama dengan nilai q  p. Sedangkan jika kedua pernyataan di atas dihubungkan dengan logika biimplikasi diperoleh bukti bahwa: (p  q)  (q  p) Semuanya nilai logikanya bernilai benar atau tautologi.

EKUIVALENSI Dengan demikian karena kedua logika jika dihubungkan dengan logika biimplikasi adalah tautologi maka dapat disimpulkan bahwa kedua logika tersebut adalah ekuivalen. Maka pernyataan yang menyatakan: 1. Dewi sangat cantik dan peramah. 2. Dewi peramah dan sangat cantik. adalah pernyataan yang ekuivalen secara logis.

HUKUM-HUKUM EKUIVALEN LOGIKA Identitas p  1  1 p  0  p Ikatan p  1  1 p  0  0 p  p  p p  p  p Idempoten Negasi p  p  1 p  p  0 Negasi Ganda (p)  p Komutatif p  q  q  p p  q  q  p Asosiatif (pq) r  p(qr) (pq)r  q(pr) Distributif p(qr)  (pq)(pr) (pq)r  (pq)(pr) De Morgan’s (pq)  pq (pq)  pq Aborbsi p(pq)  p p(pq)  p

HUKUM-HUKUM EKUIVALEN LOGIKA Selain dengan menggunkan tabel kebenaran, untuk menentukan dua buah argumen adalah ekuivalen secara logis atau tidak dapat juga digunakan hukum-hukum ekuiva-lensi logika. CARA INI LEBIH SINGKAT TETAPI....!!!?

BINTANG KECIL DILANGIT YANG BIRU GIMANA YA .... X, Y, Z ATAU P, Q, R, ATAU... ATAU... ATAU X 200 BINTANG KECIL DILANGIT YANG BIRU TAPI JANGAN KAWATIR COY, YAKINKAN DIRI ANDA UNTUK BISA, SEBAB KEMUDAHAN ITU ADANYA DIBALIK KESUSAHAN.... MAU BUKTI.....!

HUKUM-HUKUM EKUIVALEN LOGIKA Buktikan ekuivalensi kalimat di bawah ini dengan tabel kebenaran dan hukum-hukum ekuivalensi: (pq)  (pq)  p TABEL KEBENARAN

HUKUM-HUKUM EKUIVALEN LOGIKA TABEL KEBENARAN

HUKUM-HUKUM EKUIVALEN LOGIKA (pq)  (pq)  p p q p q pq (pq) pq (pq)(pq) B B B S S B S S

HUKUM-HUKUM EKUIVALEN LOGIKA (pq)  (pq)  p p q p q pq (pq) pq (pq)(pq) B B S B S S S B B S S B

HUKUM-HUKUM EKUIVALEN LOGIKA (pq)  (pq)  p p q p q pq (pq) pq (pq)(pq) B B S S B S S B S B B S S S B B

HUKUM-HUKUM EKUIVALEN LOGIKA (pq)  (pq)  p p q p q pq (pq) pq (pq)(pq) B B S S B B S S B B S B B S S S S B B B

HUKUM-HUKUM EKUIVALEN LOGIKA (pq)  (pq)  p p q p q pq (pq) pq (pq)(pq) B B S S B S B S S B B S S B B S S B S S B B B S

HUKUM-HUKUM EKUIVALEN LOGIKA (pq)  (pq)  p p q p q pq (pq) pq (pq)(pq) B B S S B S S B S S B B S S S B B S S B S S S B B B S B

HUKUM-HUKUM EKUIVALEN LOGIKA (pq)  (pq)  p p q p q pq (pq) pq (pq)(pq) B B S S B S S S B S S B B S S S S B B S S B S B S S B B B S B B

HUKUM-HUKUM EKUIVALEN LOGIKA (pq)  (pq)  p p q p q pq (pq) pq (pq)(pq) B B S S B S S S B S S B B S S S S B B S S B S B S S B B B S B B Dari tabel kebenaran diperoleh hasil bahwa p sama dengan (pq)(pq)  p. Untuk membuktikan lebih lanjut maka p dan (pq)(pq) dihubungkan dengan logika biimplikasi.

HUKUM-HUKUM EKUIVALEN LOGIKA (pq)  (pq)  p p (pq)(pq) (pq)  (pq)  p S S B S S B B B B B B B Dari tabel tabel di atas diperoleh hasil bahwa (pq)(pq)  p bernilai benar untuk setiap nilai p dan q, Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa terbukti (pq)  (pq)  p adalah ekuivalen secara logis.

HUKUM-HUKUM EKUIVALEN LOGIKA HUKUM EKUIVALENSI

HUKUM-HUKUM EKUIVALEN LOGIKA (p  q)  (p  q)  p Perhatikan hukum Morgan’s Dimana: (p  q)  p  q Maka: (p  q)  p  (q)  p  q Pernyatan diatas menjadi: (p  q)  (p  q)  p p  q  (p  q)  p

HUKUM-HUKUM EKUIVALEN LOGIKA (p  q)  (p  q)  p Perhatikan hukum Morgan’s Dimana: (p  q)  p  q Maka: (p  q)  p  (q)  (p  q) Pernyatan diatas menjadi: (p  q)  (p  q)  p (p  q)  (p  q)  p

HUKUM-HUKUM EKUIVALEN LOGIKA Perhatikan hukum distributif: Dimana: p  (q  r)  (p  q)  (p  r) Untuk persamaan sebelumnya, yaitu: (p  q)  (p  q)  p p  (q  q)  p Ingat p  p = 1 atau q  q = 1 p  (q  q)  p p  1  p

HUKUM-HUKUM EKUIVALEN LOGIKA p  1  p Ingat hukum identitas dimana p  1  p atau dalam hal ini p  1  p Jadi: p  1  p p  p (terbukti)

HUKUM-HUKUM EKUIVALEN LOGIKA Latihan Soal: Buktikan pernyataan berikut: (p  q)  [(p)  (q)]  0 p(pq)  p