SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK PERTEMUAN 12 RATIO ESTIMATOR Oleh: J. Purwanto Ruslam SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK

Deskripsi Selain variabel yang diteliti 𝑦 , satu atau lebih variabel pendukung 𝑥 bisa dikaji korelasinya dari setiap unit populasi. Pada tahap estimasi, korelasi antara variabel yang diteliti 𝑦 dan variabel pendukung 𝑥 bisa digunakan untuk menghasilkan estimasi-estimasi yang lebih tepat daripada yang diperoleh dari variabel 𝑦 itu sendiri.

Deskripsi Salah satu metode estimasi yang dipakai untuk menghubungkan variabel 𝑦 dan 𝑥 adalah dengan menggunakan rasio 𝑅 =𝑟= 𝑦 𝑥 dari dua rata-rata sampel 𝑦 dan 𝑥 . Rasio ini digunakan sebagai estimator dari rasio rata-rata variabel 𝑦 dan 𝑥 dalam populasi 𝑅= 𝑌 𝑋 Rasio ini juga dapat digunakan untuk memperoleh suatu estimasi tentang total populasi yang lebih akurat daripada estimasi yang ditentukan dengan perkalian sederhana antara total karakteristik sampel (𝑦) dengan invers dari fraksi sampling.

Definisi Ratio estimator adalah suatu metode estimasi yang memanfaatkan perbandingan/rasio antara variabel yang diteliti (𝑦) dengan variabel bantu/pendukung 𝑥 untuk meningkatkan efisiensi pendugaan parameter populasi.

Mengapa menggunakan Estimasi Rasio ? (1) Seringkali kita ingin melakukan estimasi rasio suatu variabel terhadap variabel lainnya. Misalkan: Estimasi rasio produksi padi terhadap luas lahan Estimasi rasio penduduk laki-laki terhadap penduduk perempuan Estimasi pendapatan per kapita Estimasi rasio hutang terhadap asset perusahaan

Mengapa menggunakan Estimasi Rasio ? (2) Kadang kala kita ingin melakukan estimasi total, namun ukuran populasi (N) tidak diketahui Kita tidak dapat menggunakan rumus 𝑌 =𝑁 𝑦 seperti yang telah dipelajari sebelumnya. Namun, kita mempunyai nilai total karakteristik untuk variabel lain, misalkan 𝑋. Dengan demikian, ukuran populasi bisa diestimasi dengan rumus: 𝑁= 𝑋 𝑥 Dan estimasi total karakteristik untuk variabel yang diteliti (y) adalah: 𝑌 = 𝑋 𝑥 𝑦

Mengapa menggunakan Estimasi Rasio ? (3) Estimasi rasio seringkali digunakan untuk meningkatkan presisi dari estimasi rata-rata dan estimasi total Contoh: Laplace ingin melakukan estimasi total penduduk Prancis. Dia bisa mendapatkan estimasi total penduduk dengan mengalikan rata-rata jumlah penduduk 𝑦 di 30 komunitas dengan jumlah komunitas di Prancis (𝑁). Namun, dia menggunakan informasi lain yaitu jumlah catatan kelahiran (𝑥) untuk meningkatkan presisi. Dia beralasan bahwa jumlah kelahiran akan sebanding dengan jumlah penduduk. Wilayah yang penduduknya banyak, jumlah kelahirannya juga banyak, sehingga korelasi antara kedua variabel tersebut positif.

Mengapa menggunakan Estimasi Rasio ? (4) Estimasi rasio bisa digunakan untuk melakukan adjustment dari data sampel sehingga akan diperoleh estimasi total yang lebih akurat. Contoh: Sampel SRS sebanyak n=400 mahasiswa (240 wanita, 160 pria) diambil dari populasi sebanyak N=4000 mahasiswa di sebuah universitas. Dari data sampel diketahui bahwa sebanyak 84 wanita dan 40 pria ingin berkarir di bidang riset. Dengan menggunakan informasi hanya dari SRS, maka estimasi total mahasiswa yang ingin berkarir di bidang riset adalah: 𝑌 = 4000 400 ×124=1240

Mengapa menggunakan Estimasi Rasio ? (4) Jika diketahui bahwa jumlah populasi mahasiswa wanita adalah 2700 orang dan populasi mahasiswa pria adalah 1300 orang maka estimasi yang lebih akurat mengenai total mahasiswa yang ingin berkarir di bidang riset adalah: 𝑌 = 84 240 ×2700+ 40 160 ×1300=1270 Pada kasus di atas, estimasi rasio digunakan berdasarkan jenis kelamin. Berdasarkan data sampel 60% mahasiswa adalah wanita, tetapi dari data populasi diketahui bahwa persentase mahasiswa perempuan adalah 67,5%, Dengan informasi ini kita bisa melakukan adjustment terhadap estimasi total mahasiswa yang ingin berkarir di bidang riset. Penggunaan estimasi rasio dalam kasus ini disebut poststratification.

Mengapa menggunakan Estimasi Rasio ? (5) Estimasi rasio bisa digunakan untuk adjustment nonrespon. Contoh: Untuk meneliti jumlah upah yang dikeluarkan perusahaan, diambil beberapa perusahaan sebagai sampel. Misalkan 𝑦 𝑖 adalah jumlah upah yang dikeluarkan oleh perusahaan ke-i, dan 𝑥 𝑖 adalah jumlah karyawan di perusahaan ke-i dan jumlah karyawan untuk semua perusahaan dalam populasi (𝑋) diketahui. Kita juga mengasumsikan bahwa jumlah upah yang dikeluarkan perusahaan akan berhubungan erat dengan jumlah karyawan. Misalkan, ada beberapa perusahaan yang nonrespon. Adjustment estimasi total upah dengan mengalikan rasio upah terhadap pekerja dari data sampel 𝑦 / 𝑥 dengan total pekerja 𝑋 : 𝑌 = 𝑦 𝑥 𝑋

Ratio Estimator Ratio estimator dibedakan menjadi 3 kondisi: Rasio berupa karakteristik yang sama atau berhubungan dengan periode sebelumnya. 𝑋 adalah jenis karakteristik yang sama dengan 𝑌 tetapi berasal dari periode sebelumnya. Contoh: Suatu survei rumahtangga yang dilakukan tahun 2012 menggunakan hasil Sensus Penduduk 2010 sebagai dasar rasio dan menggunakan blok sensus sebagai unit sampling. 𝑦 adalah jumlah rumahtangga hasil updating tahun 2012 dari blok sensus terpilih. 𝑥 adalah jumlah rumahtangga hasil Sensus Penduduk 2010 dari blok sensus terpilih. Dengan demikian 𝑅 = 𝑦 𝑥 merupakan perubahan banyaknya rumahtangga saat survei dibandingkan saat sensus.

Ratio Estimator Rasio dari dua karakteristik berbeda yang berkorelasi kuat pada periode yang sama. 𝑋 dan 𝑌 merupakan dua buah karakteristik berbeda yang berasal dari periode yang sama dan diketahui berkorelasi positif. Contoh: Dari Survei Konsumsi/Pengeluaran rumah tangga diperoleh: 𝑦 adalah total konsumsi beras dari rumah tangga sampel 𝑥 adalah total anggota rumah tangga (ART) dari rumah tangga sampel Dengan demikian 𝑅 = 𝑦 𝑥 merupakan konsumsi beras per kapita

Ratio Estimator Modifikasi lain dalam penggunaan estimasi rasio adalah menggunakan sumber lain dan data sampel untuk variabel yang sama sebagai faktor pengali. Contoh: Misalkan, telah ditentukan data proyeksi penduduk merupakan data yang disepakati untuk berbagai perencanaan dan kajian, maka dengan estimator rasio, berarti faktor pengali dari survei adalah: 𝐹= 𝑅 = 𝑦 𝑥 𝑦 adalah jumlah penduduk pada tahun tertentu dari hasil proyeksi penduduk 𝑥 adalah jumlah penduduk sampel

Sifat-sifat Ratio Estimator Secara umum, ratio estimator adalah estimator yang bias konsisten. Maksudnya, semakin besar ukuran sampel maka biasnya akan semakin kecil. Ratio estimator akan bersifat best linear unbiased estimator jika memenuhi 2 kondisi: Hubungan (korelasi) antara 𝑦 𝑖 dan 𝑥 𝑖 berupa garis lurus (linear), positif, dan melalui titik origin (0,0) Varians 𝑦 𝑖 pada garis lurus bersifat proportional terhadap 𝑥 𝑖

Sifat-sifat Ratio Estimator Jika jumlah sampel (𝑛) besar, limiting distribution dari ratio estimate akan mengikuti distribusi normal. Jika jumlah sampel (𝑛) moderate, ratio estimate mempunyai kecenderungan mengikuti positive skewness distribution. Dalam penghitungan bias, terdapat rumus untuk berbagai ukuran sampel, tetapi perkiraan varians hanya berlaku untuk jumlah sampel berukuran besar Sebagai aturan praktis, Cochran menyatakan bahwa pendekatan large-sample untuk penghitungan varians dapat digunakan jika: Ukuran sampel lebih dari 30 Koefisien variasi (CV) dari variabel x dan variabel y, keduanya kurang dari 10%

Notasi 𝑦 𝑖 : nilai karakteristik yang diteliti dari unit sampel ke-i 𝑥 𝑖 : nilai variabel pendukung dari unit sampel ke-i 𝑦 : total nilai karakteristik yang diteliti dari data sampel 𝑦= 𝑖=1 𝑛 𝑦 𝑖 𝑥 : total nilai variabel pendukung dari data sampel 𝑥= 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 𝑌 : total nilai karakteristik yang diteliti untuk populasi 𝑌= 𝑖=1 𝑁 𝑦 𝑖 𝑋 : total nilai variabel pendukung untuk populasi 𝑋= 𝑖=1 𝑁 𝑥 𝑖

Estimator Jika penarikan sampel dilakukan secara simple random sampling, dan nilai karakteristik 𝒚 dan 𝒙 tersedia untuk setiap unit dalam sampel dengan nilai populasi 𝑿 diketahui, maka: Estimator rasio 𝑅 = 𝑦 𝑥 Estimator rata-rata 𝑦 𝑅 = 𝑅 𝑋 Estimator total 𝑌 𝑅 = 𝑅 𝑋

Estimasi varians Varians rata-rata: 𝑣 𝑦 𝑅 = 1−𝑓 𝑛(𝑛−1) 𝑖=1 𝑛 𝑦 𝑖 − 𝑅 𝑥 𝑖 2 Rumus di atas dapat dijabarkan menjadi: 𝑣 𝑦 𝑅 = 1−𝑓 𝑛(𝑛−1) 𝑖=1 𝑛 𝑦 𝑖 2 −2 𝑅 𝑖=1 𝑛 𝑦 𝑖 𝑥 𝑖 + 𝑅 2 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 2 = 1−𝑓 𝑛 𝑠 𝑦 2 −2 𝑅 𝑠 𝑦𝑥 + 𝑅 2 𝑠 𝑥 2 Keterangan: 𝑠 𝑦𝑥 = 1 𝑛−1 𝑖=1 𝑛 𝑦 𝑖 − 𝑦 𝑥 𝑖 − 𝑥 →𝑠𝑎𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑐𝑒

Estimasi varians Varians rasio: 𝑣 𝑅 = 𝑣( 𝑦 𝑅 ) 𝑋 2 𝑣 𝑅 = 𝑣( 𝑦 𝑅 ) 𝑋 2 = 1−𝑓 𝑛 𝑋 2 𝑠 𝑦 2 −2 𝑅 𝑠 𝑦𝑥 + 𝑅 2 𝑠 𝑥 2 Varians total: 𝑣 𝑌 𝑅 = 𝑁 2 𝑣 𝑦 𝑅 = 𝑁 2 (1−𝑓) 𝑛 𝑠 𝑦 2 −2 𝑅 𝑠 𝑦𝑥 + 𝑅 2 𝑠 𝑥 2

TERIMA KASIH Have A Nice Sampling