Pembuktian Dalam Matematika

Tujuan Mahasiswa akan dapat membuktikan pernyataan matematika

Cakupan Pembuktian Langsung Pembuktian Tidak Langsung Vacuous Proof Trivial Proof Bukti dengan kontradiksi Bukti per kasus Bukti biimplikasi Bukti ekuivalensi Bukti dengan counter example Bukti dengan induksi

Jenis-jenis Pembuktian Pembuktian langsung Contoh: Jika x bilangan genap, maka x2 bilangan genap.

2. Pembuktian tidak langsung. p  q  ~q  ~p Implikasi bernilai sama dengan kontrapositifnya. Contoh: Jika (3n+2) adalah ganjil, maka n juga ganjil.

3. Vacuous Proof p  q selalu benar jika p bernilai salah. Contoh: P(n) : “Jika n > 1 maka n2 > n”. Buktikan P(0) bernilai benar.

4. Trivial Proof p  q selalu benar jika q bernilai benar. Contoh: P(n): “Jika a dan b bilangan-bilangan bulat positif dengan a  b, maka an  bn”. Buktikan P(0) bernilai benar.

5. Bukti dengan kontradiksi ~p  q adalah benar dan q bernilai salah, maka ~p bernilai salah dan p bernilai benar. Contoh: Jika (3n+2) merupakan bilangan ganjil, maka n juga ganjil.

6. Bukti per kasus Untuk membuktikan (p1  p2  p3  …  pn)  q, buktikan p1q, p2q, p3q, …., pnq. Contoh: Jika n bilangan bulat yang tak habis dibagi 3, maka n2  1(mod 3)

7. Bukti biimplikasi p  q  (p q)  (qp) Contoh: Bilangan bulat n ganjil jika dan hanya jika n2 juga ganjil.

Contoh: Buktikan ketiga pernyataan berikut ekuivalen: 8. Bukti ekuivalensi Untuk membuktikan p1, p2, p3, …, pn adalah ekuivalen, buktikan implikasi p1p2, p2p3, p3p4, …., pnp1. Contoh: Buktikan ketiga pernyataan berikut ekuivalen: n2=9 n2 – 9 =0 n =  3

9. Bukti dengan counter example. Untuk membuktikan x, p(x) bernilai salah, cari sebuah elemen a, sedemikian sehingga p(a) bernilai salah. Elemen ini disebut counter example. Contoh: Untuk setiap bilangan cacah n, berlaku n2 > n. Benarkah pernyataan ini?

10. Bukti dengan Induksi Matematika Ada 3 langkah: buktikan benar untuk n=1 asumsikan benar untuk n=k buktikan benar untuk n=k+1 Bukti dengan induksi matematika analog dengan cara orang menyebarkan gosip atau dengan sekumpulan kartu domino berdiri yang didorong. Contoh: Buktikan 1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n2 Buktikan 12 + 22 + 32 +… + n2 = 1/6.n(n+1)(2n+1) Buktikan (72n+1 – 22n+1) habis dibagi 5

Penutup Pembuktian dalam matematika terdiri dari beberapa metode, seperti: Pembuktian Langsung, Pembuktian Tidak Langsung, Vacuous Proof, Trivial Proof, Bukti dengan kontradiksi, Bukti per kasus, Bukti biimplikasi, Bukti ekuivalensi, Bukti dengan counter example, Bukti dengan induksi