PERTEMUAN IV Metoda Pembuktian dlm Matematika

Slides:



Advertisements
Presentasi serupa
BAHAN AJAR TEORI BILANGAN BAHAN AJAR TEORI BILANGAN
Advertisements

Induksi Matematika.
KETERBAGIAN/ DIVISIBILITY
Bahan Kuliah Matematika Diskrit
INDUKSI MATEMATIKA Septi Fajarwati, S.Pd..
Induksi Matematika Materi Matematika Diskrit.
Induksi Matematis Mohammad Fal Sadikin.
7. INDUKSI MATEMATIKA.
Pembuktian Dalam Matematika.
6. METODE PEMBUKTIAN.
Pertemuan ke 9.
Oleh: Mardiyana Jurusan Pendidikan Matematika
SUKSES UJIAN NASIONAL 2013 AMALI,S.SI OLEH GURU MATEMATIKA SMP N2
Outline Definisi Prinsip Induksi Sederhana
INDUKSI MATEMATIKA Perhatikan jumlah bilangan ganjil pertama :
FPB dan KPK.
LOGIKA MATEMATIKA PERTEMUAN 2 HIMPUNAN II
6. METODE PEMBUKTIAN.
TEAM TEACHING MATEMATIKA DISKRIT
Definisi Induksi matematika adalah :
Matematika Diskrit bab 2-Himpunan
Induksi Matematika.
Induksi Matematika Nelly Indriani Widiastuti Teknik Informatika UNIKOM.
INDUKSI MATEMATIKA.
Induksi Matematika E-learning kelas 22 – 29 Desember 2015
DPH1A3-Logika Matematika
Pertemuan ke 9.
MENENTUKAN FPB DENGAN ALGORITMA EUCLIDES
Definisi Induksi matematika adalah :
ARITMATIKA PERTEMUAN IV FPB dan KPK Oleh
HIMPUNAN.
BAB 4 INDUKSI MATEMATIKA.
Induksi Matematika.
BAB 5 Induksi Matematika
Induksi Matematika Sesi
induksi matematika Oleh: Sri Supatmi,S.Kom
PERTEMUAN IV Metoda Pembuktian dlm Matematika
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
BILANGAN CACAH, BILANGAN GENAP, BILANGAN GANJIL
BILANGAN CACAH, BILANGAN GENAP, BILANGAN GANJIL
Induksi Matematik  .
JENIS - JENIS BILANGAN BULAT
Logika Matematika Bab 5: Induksi Matematika
Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Jambi 2017
HIMPUNAN.
QUANTIFIER (KUANTOR) dan Induksi matematika
Mata Kuliah: MATEMATIKA DISKRIT Harni Kusniyati
Pertemuan ke 9.
Kebijaksanaan Hanya dapat ditemukan dalam kebenaran
Induksi matematika Oleh : Luddy B. Sasongko.
Induksi Matematika.
Logika dan Logika Matematika
TEORI BILANGAN Pertemuan Ke - 1.
Matematika Diskrit TIF (4 sks) 3/9/2016.
TEORI BILANGAN INDUKSI MATEMATIKA
KETERBAGIAN (LANJUTAN)
Induksi Matematik Pertemuan 7 Induksi Matematik.
Oleh : Husni Thamrin NIM : A2C014004
CCM110 MATEMATIKA DISKRIT Pertemuan-9, Metode Pembuktian
Heru Nugroho, S.Si., M.T. No Tlp : Semester Ganjil TA
Induksi Matematika Sesi
HIMPUNAN.
FAKTOR DAN KELIPATAN BILANGAN Oleh : Lisdha Zumayanti.
ASSALAMU’ALAIKUM Wr. Wb
Pertemuan ke 9.
HIMPUNAN.
POLA BILANGAN Pada Bilangan Bulat.
BAB 5 Induksi Matematika
Quantifier (Kuantor) dan Induksi matematika
QUANTIFIER (KUANTOR) dan Induksi matematika
Transcript presentasi:

PERTEMUAN IV Metoda Pembuktian dlm Matematika Ada 4 macam pembuktian yang sering digunakan dalam matematika yaitu : Bukti langsung Metoda pembuktian yang diperlukan untuk menyatakan kebenaran suatu hasil matematika yang berbentuk teorema, implikasi, biimplikasi dll.

Contoh : Buktikan bahwa jika x ganjil, maka x2 juga bilangan ganjil. Jawab : x bilangan ganjil, x = 2n + 1, n bilangan bulat. akibatnya x2 = ( 2n + 1 )2 = 4n2 + 4n + 1 = 2(2n2 + 2n) + 1 2n2 = bulat 2n = bulat jadi 2n2 + 2n = bulat jadi 2(2n2 + 2n) + 1 = ganjil, x2 ganjil.

Bukti Tak Langsung p  q Ξ ~ q  ~ p Suatu implikasi dapat dibuktikan secara tak langsung dari kontra positip, karena implikasi ekivalen dengan kontrapositipnya. p  q Ξ ~ q  ~ p

Contoh : Jika hasil kali dua bilangan adalah ganjil maka kedua bilangan tersebut ganjil. Jwb : Implikasi : x.y ganjil  x ganjil dan y ganjil Kontra positip : x genap atau y genap  x.y genap x = 2n = genap, n bilangan asli Maka x.y = 2n.y = 2(n.y) = genap karena kelipatan 2 Dengan demikian kontrapositipnya benar sehingga Implikasinya juga benar.

Bukti dengan Kontradiksi Digunakan sebagai alternatif terakhir dalam kasus bukti langsung dan tak langsung tidak dapat digunakan.

Dari soal p  q Kita misalkan ~ q benar, artinya pemisalan ini akan menghasilkan sesuatu yang bertentangan dengan sesuatu yang kita anggap benar. Karena konsistensi dalam matematika, berarti ~ q salah sehingga ~ (~ q) benar.

Contoh : Jika x2 = 2 maka x bukan bilangan rasional. x2 = 2  x bukan rasional Misalkan x bilangan rasional maka x = m/n, m = bilangan bulat, relatif prima n = bilangan asli, relatif prima Relatif prima berarti bahwa m dan n tidak mempunyai faktor persekutuan selain satu.( contoh 2/4 dan 3/6 di tulis ½ ) x2 = 2 = m2/n2 2n2 = m2, 2n2 genap maka m2 genap sehingga m genap Karena m dan n relatif prima maka n harus ganjil (1)

m genap maka m = 2k, k = bilangan bulat m2 = 4k2 juga genap, padahal 2n2 = m2 , jadi 2n2 = 4k2 atau n2 = 2k2 berarti n2 genap sehingga n genap (2). Hasil (1) dan (2) bertentangan hal ini disebabkan oleh pengandaian bahwa x bilangan rasional. jadi tidak mungkin terdapat bilangan rasional yang kuadratnya sama dengan 2 ( terbukti )

Bukti dng Induksi Mat. 2. Andaikan P(n) benar maka P(n+1) juga benar. Misalkan P(n) suatu pernyataan tentang bilangan asli n. Kebenaran P(n) untuk semua bilangan asli n dibuktikan dengan cara menunjukkan bahwa : 1. P(1) benar. 2. Andaikan P(n) benar maka P(n+1) juga benar.

untuk n = 1, maka P(1) habis dibagi x + y  P(1) benar CONTOH : Buktikan ! P(n) : x2n-1 + y2n-1 habis dibagi oleh x + y jwb : untuk n = 1, maka P(1) habis dibagi x + y  P(1) benar Misalkan P(n) benar, maka P(n+1) juga benar. P(n+1) = x2(n+1)-1 + y2(n+1)-1 = x2n+1 + y2n+1 = x2 x2n-1 + y2 y2n-1 = x2 x2n-1 + x2 y2n-1 - x2 y2n-1 + y2 y2n-1 = x2 (x2n-1 + y2n-1) - y2n-1(x2 - y2)

 P(n+1) habis dibagi x+y Karena P(n) benar maka suku pertama habis dibagi x+y Karena x2 - y2 = (x+y)(x-y) maka suku kedua juga habis dibagi x+y  P(n+1) habis dibagi x+y

Tugas perseorangan : Kumpulkan masing-masing 2 soal dan penyelesaiannya tentang pembuktian langsung, tak langsung dan induksi matematik Tugas kelompok : Presentasikan pada pertemuan ke 6 sebuah persoalan dan penyelesaiannya “pembuktian dengan kontradiksi” T E R I M A KA S I H