TRANSFORMASI RANGKAIAN Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Transformasi Sumber Ideal Transformasi Laplace fungsi kawasan waktu : V(s) = ₤ [v(t)] dan I(s) = ₤ [i(t)] Dengan v(t) adalah sumber tegangan ideal dan i(t) adalah sumber arus ideal. Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Sumber Tegangan Independen Sumber Arus Independen Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Sumber Tegangan dikontrol Tegangan k tak berdimensi Sumber Arus dikontrol Arus Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Sumber Tegangan dikontrol Arus k dalam ohm Sumber Arus dikontrol Tegangan k dalam mho (atau Siemens) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Transformasi Elemen Pasif linear Untuk masing-masing elemen pasif, rasio tegangan terminal terhadap arus yang mengalir disebut IMPEDANSI Z. Sedangkan kebalikan impedansi disebut dengan ADMITANSI Y. Dalam domain s dituliskan : Z(s) = V(s)/I(s) Volt/Ampere atau Ohm (Ω) Y(s) = I(s)/V(s) Ampere/Volt atau Siemens (S) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Transformasi Resistor Karakteristik terminal resistor dalam domain waktu : R = v(t)/i(t) v(t) = R. i(t) i(t) = (1/R). v(t) = G. v(t) Setelah ditransformasi Laplace : V(s) = R. I(s) I(s) = G. V(s) Dari persamaan-persamaan di atas didapat : ZR(s) = R (Ω) YR(s) = G (S) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Rangkaian di kawasan waktu dan di kawasan frekuensi (model impedansi dan model admitansi) dapat ditunjukkan pada gambar berikut : a). Rangkaian kawasan waktu b). Model Impedansi c). Model Admitansi Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Transformasi Kapasitor v(t) = (1/C) ∫ i(t) dt + v(t0) t0 i(t) = C. d v(t)/dt Transformasi Laplace : V(s) = I(s)/(C.s) + v(t0)/s I(s) = C[s.V(s) – v(t0)] = C.s.V(s) – C. v(t0) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Kondisi awal pada persamaan di atas bila dibuat = nol, maka : V(s) = I(s)/(C.s) I(s) = C.s.V(s) Sehingga dapat dituliskan : Zc(s) = 1/(C.s) (Ω) Yc(s) = C.s (S) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom a). Rangkaian Kapasitor di kawasan waktu b). Model Seri Kapasitor c). Model Paralel Kapasitor Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Contoh Soal Tentukan model seri dan model paralel dari kapasitor 2,5 mikro farad dengan tegangan awal 5 volt. Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Solusi : Rangkaian tersebut dalam kawasan waktu adalah sebagai berikut : Impedansinya sebesar : Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Impedansi tersebut diseri dengan sumber tegangan v(0)/s = 5/s V.sec Sehingga dapat digambarkan model seri sebagai berikut : Admitansi Y(s) = C.s = 2,5 10-6. s (S), diparalel dengan sumber arus C.v(0) = (2,5 x 10-6 F).(5V) = 12,5 mikro Ampere.sec Sehingga dapat digambarkan model paralel sebagai berikut : Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Sehingga dapat digambarkan model paralel sebagai berikut : Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Transformasi Induktor i(t) = (1/L) ∫ v(t) dt + i(t0) to v(t) = L. d i(t)/dt Setelah ditransformasi Laplace : I(s) = V(s)/(L.s) + i(t0)/s V(s) = L [s.I(s) - i(t0) ] = L.s.I(s) - L. i(t0) Impedansi : ZL(s) = L.s (Ω) Admitansi : YL(s) = 1/(L.s) (S) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom a). Rangkaian Induktor di kawasan waktu b). Model Paralel Induktor c). Model Seri Induktor Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Contoh Soal Tentukan model seri dan model paralel dari induktor 20 mH dengan arus awal 0,3 A. Solusi : Rangkaian tersebut dalam kawasan waktu adalah sebagai berikut : Impedansinya sebesar : Z(s) = L.s = 20.10-3 s (Ω) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Admitansinya sebesar : Y(s) = 1/(L.s) = 1/(20.10-3.s) = 50/s (S) Sumber tegangannya : L.i(0) = (20.10-3)(0,3 A) = 6 mVsec Sumber Arus : i(0)/s = 0,3/s A sec Sehingga model paralel dan model seri dapat digambarkan sebagai berikut : Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Contoh Soal Aplikasi Diberikan rangkaian sebagai berikut : Buat rangkaian transformasinya!!!! Solusi : Untuk t  0 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Untuk t  0 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Latihan : Buat rangkaian transformasi dari rangkaian berikut ini : Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Contoh Soal Aplikasi Hitung dan gambarkan iL(t) dari rangkaian berikut ini : Solusi : Untuk t  0 iL(o-) = 10/(450+50) = 20 mA Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Untuk t  0 VT(s) = (5/s) + 400. 10-6 V sec ZT(s) = 1200 + 0,02 s + 50 = 0,02 [s + 62,5 .103 ] Ω IL(s) = VT(s)/ ZT(s) = 250/[s(s + 62,5 . 103 )] + 0,02/( s + 62,5 .103 ) A .sec iL(t) = ₤-1 [250/{s(s + 62,5 . 103)}] + ₤-1 [0,02/(s + 62,5 . 103)] A = [250/(62,5 .103)] [1 – exp-62,5 . 103t] u(t) + 0,02. exp-62,5 . 103t u(t) = [4. 10-3 + 16. 10-3 exp-62,5 . 103] u(t) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Latihan : Hitung dan gambarkan vc(t) untuk rangkaian berikut : Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Invers Transformasi Laplace Satu Sisi Untuk mengembalikan dari spektrum (kawasan frekuensi) ke kawasan waktu X(s) → x(t) σ+jΩ x(t) ≡ (1/2jΠ) ∫ X(s) est ds σ-jΩ Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Dapat diselesaikan melalui definisi di atas atau melihat pasangan TLSS-nya. Sinyal T.Laplace δ(t) 1 u(t) 1/s (tne-at/n !) u(t) 1/[(s+a)n+1] Cos Ωt u(t) s/[s2+Ω2] Sin Ωt u(t) Ω /[s2+Ω2] e-at Cos Ωt u(t) (s+a)/[(s+a)2+Ω2] e-at Sin Ωt u(t) Ω /[(s+a)2+Ω2] Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Pasangan TLSS-nya (lanjutan). Sinyal T.Laplace u(t)-2u(t-T0/2) + 2u(t-T0) - .... (1/s) (1-e-sT0/2)/( 1+e-sT0/2) (SinΩt - Ωt Cos Ωt) u(t) 2Ω3 / [s2 + Ω2]2 (Ωt SinΩt) u(t) 2Ω2s / [s2 + Ω2]2 Ωt e-at Sin Ωt u(t) [2Ω2(s+a)] / [(s+a)2 + Ω2]2 e-at (Sin Ωt - Ωt Cos Ωt) u(t) 2Ω3 /[(s+a)2 + Ω2]2 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

a). Solusi dengan penyesuaian koefisien (cara langsung) Contoh : Diberikan fungsi rasional : X(s) = (2s + 1)/(s3 + 3s2 -4s) Bentuk ekspansi parsiil : X(s) = (2s+1)/[s(s+4)(s-1)] = A/s + B/(s+4) + C/(s-1) = [A(s+4)(s-1) + B.s.(s-1) + C .s (s+4)]/[s(s+4)(s-1)] (2s+1)/ [s(s+4)(s-1)] = [(A+B+C)s2 + (3A-B+4C)s – 4A]/[s(s+4)(s-1)] Maka : A+B+C = 0 3A-B+4C = 2 -4A = 1→ A = 0,25 B+C = 0,25 -B+4C = 2,75 C= 3/5 = 0,6 dan B = -0,35 X(s) = -0,25/s – 0,35/(s+4) + 0,6/(s-1) x(t) = [-0,25 – 0,35 e-4t + 0,6 et] u(t) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

b). Ekspansi parsiil untuk akar D(s) simple pole X(s) = N(s)/D(s) = A1/(s-p1) + A2/(s-p2) + ....+ Ak/(s-pk) + ...+ An/(s-pn) (s-pk) X(s) = (s-pk) A1 /(s-p1) + (s-pk) A2 /(s-p2) +...+(s-pk) Ak /(s-pk) +...+ (s-pk) An/(s-pn) Maka : Ak = (s-pk) X(s) │ s=pk Contoh : Untuk kasus sebelumnya : X(s) = A/s + B/(s+4) + C/(s-1) = (2s+1)/[s(s+4)(s-1)] A = s X(s) │ = (2s+1)/[(s+4)(s-1)]│= -0,25 s=0 s=0 B = (s+4) X(s) │= (2s+1)/[s(s-1)] │ = -7/20 = -0,35 s=-4 s=-4 C = (s-1) X(s) │= (2s+1)/[s(s+4)] │= 3/5 = 0,6 s=1 s=1 Jadi : X(s) = -0,25/s - 0,35/(s+4) + 0,6/(s-1) x(t) = [-0,25 – 0,35 e-4t + 0,6 et] u(t) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

c). Akar D(s) multiple pole-simple X(s) = A1/(s-p1) +...+ Ai,1/(s-pi) + Ai,2/(s-pi)2 + ....+ Ai,r/(s-pi)r + ...+ An/(s-pn) Dimana : Ai,r = (s-pi)r X(s)│ s=pi Ai,r-1 = (d/ds)[(s-pi)r X(s)]│ Ai,r-2 = (1/2!)(d2/ds2)[(s-pi)r X(s)]│ . Ai,r-k = (1/k!)(dk/dsk)[(s-pi)r X(s)]│ Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Contoh : X(s) = (2s2-3s)/(s3-4s2+5s-2) = (2s2-3s)/(s-2)(s-1)2 = A/(s-2) + A1,1/(s-1) + A1,2/(s-1)2 Dimana : A1,2 = (s-1)2 X(s)│ = (2s2-3s)/(s-2)(s-2) │= -1/(-1) = 1 s=1 s=1 A1,2 = (d/ds) [(2s2-3s)/(s-2)]│ = [(s-2)(4s-3) - (2s2-3s)]/(s-2)2 │= [(-1)1 – (-1)]/1 = 0 s=1 s=1 A = (s-2) X(s) │ = (2s2-3s)]/(s-1)2 │= (8-6)/1 = 2 s=2 s=2 Jadi X(s) = 2/(s-2) + 1/(s-1)2 ↕ x(t) = [2e2t + t et] u(t) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

d). Ekspansi Parsiil : D(s) kompleks konjugate simple pole Contoh : X(s) = (s+3)/[s2+4s+13] = (s+2)/[(s+2)2 + 32] + 1/[(s+2)2 + 32] ↕ x(t) = [e-2t cos3t + (1/3) e-2t sin 3t] u(t) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

e). D(s) kompleks konjugate multiple pole Contoh : X(s) =[9s5+94s4+706s3+2628s2+4401s+3750]/[s(s+2)(s2+6s+25)2] Untuk (s2+6s+25)2 maka akar-akarnya -3+j4 dan -3-j4 X(s)=A/s+B/(s+2)+(C+jD)/(s+3+j4)+(C-jD)/(s+3-j4)+(E+jF)/(s+3+j4)2+(E-jF)/(s+3-j4)2 Dimana : A = s. X(s) │ = 3 s=0 B = (s+2) X(s) │ = -2 s=-2 E+jF = [(s+3+j4)2 X(s)] │ = 4+j3 s=-3-j4 C+jD = (d/ds) [s+3+j4)2 X(s)] │ = 2+j3 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Jadi : X(s) = 3/s – 2/(s+2) + (2+j3)/(s+3+j4) + (2-j3)/(s+3-j4)2+(4+j3)/(s+3+j4)+(4-j)/(s+3-j4)2 ↕ x(t) = [3-2e-2t+(2+j3)e-(3+j4)t+(2-j3)e(-3+j4)t+(4+j3)te-(3+j4)t+(4-j3)te(-3+j4)t] u(t) = [3-2e-2t+e-3t(4 cos4t+ 6 sin4t) +te-3t(8 cos4t + 6 sin4t)] u(t) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom f). Metode Grafis Untuk mengevaluasi koefisien parsiil dari X(s) dengan cara menggambarkan vektor diagram semua pole-zero sistem. Diketahui : X(s) = N(s)/D(s) = k[(s-z1)(s-z2)......(s-zm)]/[(s-p1)(s-p2)....(s-pn)] Nilai dari X(s) di s=s1 : X(s1) = k (perkalian jarak langsung setiap zero ke s1)/ (perkalian jarak langsung setiap pole ke s1) Evaluasi pole pk dari X(s) Ak = (s-pk) X(s)│ s=pk Ak = k (perkalian jarak langsung setiap zero ke pk)/(perkalian jarak langsung setiap pole ke pk) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Contoh : X(s) = 12(s+1)(s+4)/[s(s+2)(s+1+j2)(s+1-j2)] = A/s + B/(s+2) + (C+jD)/(s+1+j2) + (C-jD)/(s+1-j2) Gambar semua pole dan zero : Kemudian evaluasi koefisien C-jD, berarti mengevaluasi ke vektor s+1-j2 (letak pole di s = -1+j2). Hitung semua jarak dari setiap pole dan zero yang ada terhadap titik -1+j2. Didapat : C-jD = 12 (√13 33,7o)( 290o)/[( 490o)( √5153,4o)( √526,6o)] = 4,32-146,3o = -3,6 – j2,4 C+jD = -3,6 + j 2,4 Dengan cara yang sama didapat : A = [(12) (1) (4)]/[(2) (√5)(√5)] = 4,6 B = [(12) (1180o ) (2)]/[(2180o )(√5) (√5)] = 2,4 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom APLIKASI TLSS Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

a). Solusi Persamaan Diferensial Sifat diferensiasi : ₤[dx/dt] = s X(s) – x(0) Bentuk umum : ₤[dnx/dtn] = sn X(s) – sn-1 x(0) – sn-2 dx(0)/dt - ......- dn-1(0)/dtn-1 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Contoh : Persamaan Diferensial Orde Dua : d2x(t)/dt2 + 4 dx(t)/dt + 3 x(t) = 2 Dengan x(0) = 2 dan dx(0)/dt = 1 Transformasi Laplace-kan kedua sisi dan dimasukkan kondisi awal. s2 X(s) -2s -1 + 4[s X(s) -2] + 3 X(s) = 2/s X(s) [s2 + 4s +3] = 2/s + 2s + 9 X(s) = [2 + (2s + 9) s]/[s (s+3) (s+1)] = A/s + B/(s+3) + C/(s+1) A = s X(s) │ = 2/3 s=0 B = (s+3) X(s) │ = -7/6 s=-3 C = (s+1) X(s) │ = 5/2 s=-1 X(s) = (2/3)/s – (7/6)/(s+3) + (5/2)/(s+1) ↕ x(t) = [2/3 – (7/6) e-3t + (5/2) e-t] u(t) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Contoh : Persamaan Diferensial Orde Dua : d2x(t)/dt2 + 4 dx(t)/dt + 3 x(t) = 2 Dengan x(0) = 2 dan dx(0)/dt = 1 Transformasi Laplace-kan kedua sisi dan dimasukkan kondisi awal. s2 X(s) -2s -1 + 4[s X(s) -2] + 3 X(s) = 2/s X(s) [s2 + 4s +3] = 2/s + 2s + 9 X(s) = [2 + (2s + 9) s]/[s (s+3) (s+1)] = A/s + B/(s+3) + C/(s+1) A = s X(s) │ = 2/3 s=0 B = (s+3) X(s) │ = -7/6 s=-3 C = (s+1) X(s) │ = 5/2 s=-1 X(s) = (2/3)/s – (7/6)/(s+3) + (5/2)/(s+1) ↕ x(t) = [2/3 – (7/6) e-3t + (5/2) e-t] u(t) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom b). Respons Impuls Sistem Contoh soal : Cari respons impuls h(t) dari persamaan diferensial sistem berikut ini : dy(t)/dt + 3y(t) = 2 x(t) + dx(t)/dt dengan y(0) = 0 dan x(0)= 0 Solusi : ₤ : sY(s) – y(0) + 3Y(s) = 2X(s) + s X(s) – x(0) Y(s)[s+3] = X(s) [s+2] H(s) = Y(s)/X(s) = (s+2)/(s+3) = (s+3-1)/(s+3) = (s+3)/(s+3) – 1/(s+3) = 1 – 1/(s+3) h(t) = δ(t) – e-3t u(t) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom c). Solusi Lengkap Rangkaian RLC Telah dibahas lengkap di atas Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom d). Analisis Sistem Waktu Kontinyu Diberikan Sistem Waktu Kontinyu Linear Tak Berubah Terhadap Waktu (SWK LTW) ditunjukkan dengan hubungan Input dan Output sebagai berikut : anyn(t) +an-1yn-1(t) +…+ a0y(t) = b0x(t) + ….+ bmxm(t) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Respons steady state : Y(s) = H(s). X(s) ↕ y(t) = ₤-1 [H(s).X(s)] Stabilitas Sistem SWK : H(s) = N(s)/D(s) SWK stabil jika dan hanya jika : a). Stabil dalam arti BIBO b). Respons impuls secara mutlak terintegrasi c). Limit h(t) = 0 t→ d). Akar riil D(s) < 0 e). Letak pole di sebelah kiri sumbu imajiner Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Arigato Gozaimasu Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom