Perbaikan Citra pada Domain Frekuensi Image Enhancement Perbaikan Citra pada Domain Frekuensi

Filtering pada Domain Spasial Operasi filtering pada domain spasial dikerjakan dengan mempertimbangkan intensitas piksel dalam neighborhood dan koefisien filter (atau mask, atau kernel) yang berdimensi sama dengan neighborhood. Untuk mask berukuran m x n, diasumsikan bahwa m=2a+1 dan n=2b+1, dengan a dan b adalah integer non-negatif.

Filtering pada Domain Spasial Secara umum, filtering linear pada domain spasial dari sebuah citra f berukuran M x N dengan filter berukuran m x n dihitung dengan: Untuk mendapatkan citra hasil filtering yang lengkap, persamaan di atas harus dihitung untuk x=0,1,…,M-1 dan y=0,1,…,N-1.

Filtering pada Domain Spasial

Contoh sebuah mask berukuran 3x3. Filter ini akan diterapkan / dikonvolusikan pada setiap jendela ketetanggaan 3x3 pada citra (anggap filter sudah dalam bentuk terbalik) W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9 G11 G12 G13 G14 G15 G21 G22 G23 G24 G25 G31 G32 G33 G34 G35 G41 G42 G43 G44 G45 G51 G52 G53 G54 G55 G22’ = w1 G11 + w2 G12 + w3 G13+ w4 G21 + w5 G22 + w6 G23 + w7 G31 + w8 G32 + w9 G33

Filtering pada Domain Spasial Proses filtering linear pada domain spasial mirip dengan proses konvolusi pada domain frekuensi. Pada proses filtering, apa yang harus dilakukan jika pusat filter mendekati tepi citra, sehingga neighborhood menjadi tidak lengkap? Ada beberapa pendekatan, yaitu: Perhitungan hanya dilakukan pada semua piksel yang berjarak tidak kurang dari (n-1)/2 piksel dari tepi citra. Perhitungan dilakukan pada semua piksel, dengan mengambil piksel-piksel yang tersedia saja. Sehingga untuk piksel yang mendekati tepi citra, jumlah neighborhood yang dilibatkan dalam perhitungan tidak harus lengkap. Menambahkan baris dan kolom berisi 0 atau konstanta tertentu pada citra. Bisa juga, mereplikasi baris dan kolom.

II. Jenis-jenis filter spasial Smoothing filters: Lowpass filter (linear filter, mengambil nilai rata-rata) Median filter (non-linear filter, mengambil median dari setiap jendela ketetanggan) Sharpening filters: Roberts, Prewitt, Sobel (edge detection) Highpass filter

Filter Penghalusan Filter penghalusan digunakan untuk mengaburkan citra dan untuk mereduksi noise. Pengkaburan biasa digunakan sebagai langkah pra pemrosesan, seperti untuk menghilangkan detail kecil dari suatu citra sebelum dilakukan ekstraksi objek, dan untuk menghubungkan celah kecil yang memisahkan garis atau kurva. Reduksi noise bisa diselesaikan dengan pengkaburan baik dengan menggunakan filter linier maupun filter non-linier.

Filter Penghalusan Output dari filter penghalusan biasanya berupa rata-rata dari piksel yang terdapat pada neighborhood. Filter seperti ini biasa juga disebut dengan averaging filters dan juga lowpass filters. Dengan mengganti intensitas setiap piksel dalam citra dengan rata-rata intensitas pada neighborhood, maka proses ini akan menghasilkan citra dengan “transisi tajam” yang sudah berkurang.

Filter Penghalusan Noise random biasanya memiliki transisi intensitas yang tajam, sehingga aplikasi nyata dari penghalusan adalah reduksi noise. Efek samping yang tidak diinginkan dari proses penghalusan adalah pengkaburan edge. Padahal edge seringkali menjadi fitur penting dalam citra yang tidak ingin dihilangkan. Kegunaan utama dari filter averaging adalah untuk mereduksi detail yang tidak relevant dalam suatu citra.

Filter Penghalusan Dua buah filter penghalusan (smoothing, averaging) berukuran 3x3. Konstanta pengali di depan setiap filter sama dengan jumlah koefisien di dalam filter (itulah sebabnya disebut averaging).

Filter Penghalusan Proses filtering suatu citra berukuran MxN dengan “filter averaging” berukuran mxn (m dan n ganjil) dirumuskan sebagai berikut:

Filter Penghalusan a b c d e f a. Citra asal berukuran 500 x 500 piksel. b-f. Hasil penghalusan dengan filter averaging square berukuran n = 3, 5, 9, 15, dan 35.

Filter Penghalusan Citra dari Teleskop Hubble Spac. Citra diproses dengan filter averaging 15 x 15 Hasil thresholding dengan nilai threshold sama dengan 25% intensitas tertinggi dalam citra (b)

Order-Statistics Filters Order-statistics filters adalah filter spasial nonlinear yang responnya didasarkan pada pengurutan (ranking) dari intensitas piksel-piksel yang dilingkup oleh filter. Selanjutnya, intensitas piksel pada pusat filter diganti dengan intensitas hasil pengurutan. Order-statistics filter yang banyak digunakan adalah filter median, yang mengganti intensitas piksel pada pusat filter dengan median dari intensitas neighborhood.

Order-Statistics Filters Filter median cukup efektif untuk menghilangkan impulse noise, atau disebut juga salt-and-pepper noise karena kemunculan noise yang seperti titik putih dan hitam dalam citra. Median, , dari sekumpulan nilai adalah suatu nilai yang dipilih sedemikian rupa sehingga separuh dari kumpulan nilai kurang dari atau sama dengan , dan separuhnya lagi lebih besar atau sama dengan . Pertama kali, intensitas piksel dalam neighborhood diurutkan, menentukan nilai median, dan selanjutnya mengganti intensitas piksel pada pusat neighborhood dengan median. Jika ukuran neighborhood adalah 3 x 3, maka median adalah nilai terbesar ke 5.

Order-Statistics Filters Klaster piksel terang atau gelap yang terisolasi di tengah tetangganya, dan memiliki luas kurang dari n2/2, dapat dihilangkan dengan filter median n x n. Order-statistics filters lain yang bisa digunakan adalah max filter (memilih nilai terbesar), yang berguna untuk memilih intensitas paling terang dalam citra. Selain itu, bisa juga digunakan min filter dan mean filter.

Order-Statistics Filters

Filter Penajaman Tujuan utama penajaman adalah untuk menonjolkan detail dalam citra atau untuk mempertajam detail yang kabur karena kesalahan pada saat mendapatkan data citra. Pengkaburan citra bisa dilakukan dengan merata-rata piksel dalam neighborhood. Karena rata-rata analog dengan integrasi, maka merupakan hal yang logis untuk menyimpulkan bahwa penajaman bisa dilakukan dengan derivatif (penurunan).

Filter Penajaman Derivatif (turunan) dari suatu fungsi digital didefinisikan berkaitan dengan differences (selisih). Ada beberapa cara untuk mendefinisikan differences. Sembarang definisi bisa digunakan untuk turunan pertama, asalkan memenuhi syarat berikut: Harus nol pada segmen yang datar (area dengan tingkat keabuan konstan). Harus tidak nol pada titik awal dari step atau ramp. Harus tidak nol sepanjang ramp.

Filter Penajaman Sedangkan definisi dari turunan kedua harus memenuhi syarat berikut: Harus nol pada segmen yang datar (area dengan tingkat keabuan konstan). Harus tidak nol pada titik awal dari step atau ramp. Harus nol di sepanjang ramp dengan kemiringan konstan.

Filter Penajaman Definisi dasar dari turunan pertama fungsi satu dimensi f(x) adalah selisih : f/x = f(x+1) – f(x) Sedangkan definisi dari turunan kedua adalah selisih : 2f/x2 = f(x+1) + f(x-1) – f(x)

Filter Penajaman

Filter Penajaman Perbandingan respons antara turunan pertama (TS) dan turunan kedua (TD) : TS umumnya menghasilkan edge yang lebih tebal. TD memiliki respon yang lebih kuat terhadap detail gambar, seperti garis tipis dan titik terisolasi. TS umumnya memiliki respon yang lebih kuat pada step. TD menghasilkan respon ganda pada perubahan step. Pada banyak aplikasi, TD lebih cocok dibanding TS karena kemampuannya untuk memperbaiki detail dari citra.

TD untuk Perbaikan –Laplacian Operator turunan isotropic (rotation invariant) yang paling sederhana adalah Laplacian. Untuk fungsi citra f(x,y) dua variable, didefinisikan : 2f = 2f/x2 + 2f/y2 Definisi untuk turunan partial kedua pada arah x: 2f/x2 = f(x+1,y)+f(x-1,y) - 2f(x,y) dan pada arah y: 2f/y2 = f(x,y+1)+f(x,y-1) - 2f(x,y)

TD untuk Perbaikan –Laplacian Implementasi digital dari Laplacian 2D adalah : 2f = [f(x+1,y)+f(x-1,y)+ f(x,y+1)+f(x,y-1)] – 4f(x,y) Fitur background bisa “dikembalikan” dengan tetap mempertahankan efek dari operasi Laplacian. Caranya adalah dengan menambahkan/mengurangkan citra asal dengan citra hasil Laplacian.

TD untuk Perbaikan –Laplacian

TD untuk Perbaikan –Laplacian Penggunaan Laplacian untuk perbaikan citra sebagai berikut: g(x,y)=f(x,y)- 2f(x,y), jika koefisien pada pusat filter Laplacian bernilai negatif. g(x,y)=f(x,y) + 2f(x,y), jika koefisien pada pusat filter Laplacian bernilai positif.

TD untuk Perbaikan –Laplacian

Unsharp masking dan high-boost filtering Proses yang digunakan selama beberapa tahun dalam industri penerbitan untuk menajamkan citra adalah mengurangkan versi kabur dari citra, ke citra asalnya. Proses ini dirumuskan sebagai berikut: fs(x,y)=f(x,y)-fb(x,y) fs(x,y) menyatakan citra yang sudah ditajamkan dengan “unsharp masking”, dan fb(x,y) menyatakan versi kabur dari citra f(x,y).

Unsharp masking dan high-boost filtering Generalisasi dari “unsharp masking” disebut dengan “high-boost filtering”. Citra hasil dari “high-boost filtering”, fhb, didefinisikan: fhb(x,y)=Af(x,y)-fb(x,y) dengan A>=a dan fb adalah versi kabur dari citra f.

Unsharp masking dan high-boost filtering Persama sebelumnya bisa ditulis ulang: fhb(x,y)=(A-1)f(x,y)+fs(x,y) Jika kita memilih Laplacian untuk melakukan penajaman, maka bisa ditulis: fhb=Af(x,y) - 2f(x,y), jika koefisien pada pusat filter Laplacian bernilai negatif.. fhb=Af(x,y) + 2f(x,y), jika koefisien pada pusat filter Laplacian bernilai positif.

Unsharp masking dan high-boost filtering High-boost filtering (hbf) bisa diimplementasikan dengan sekali perhitungan dengan menggunakan salah satu di antara dua filter (mask) di atas. Jika A=1, hbf menjadi penajaman Laplacian standard. Ketika nilai A bertambah melebihi 1, kontribusi penajaman menjadi semakin berkurang. Ketika A cukup besar, citra high-boost akan mirip dengan citra asal yang dikalikan dengan suatu konstanta.

Unsharp masking dan high-boost filtering

Referensi Bab 3, “Image Enhancement in the Spatial Domain”, Digital Image Processing, edisi 2, Rafael C. Gonzales dan Richard E. Woods, Prentice Hall, 2002

Tujuan Memberikan pemahaman kepada mahasiswa mengenai : Transformasi Fourier 1 dimensi dan 2 dimensi Makna representasi citra pada domain frekuensi Langkah-langkah filtering pada domain frekuensi Keterkaitan proses filtering pada domain spasial dengan proses filtering pada domain frekuensi Beberapa filter penghalusan pada domain frekuensi

Tujuan Memberikan pemahaman kepada mahasiswa mengenai : Beberapa tipe filter penghalusan - ideal, Gaussian, Butterworth – beserta contoh proses filtering Beberapa tipe filter penajaman - ideal, Gaussian, Butterworth, Laplacian – beserta contoh proses filtering

Ide Fourier Sembarang fungsi yang secara periodik mengulang dirinya sendiri, bisa diekspresikan sebagai penjumlahan fungsi sinus dan/atau cosinus dengan frekuensi berbeda-beda, masing-masing dikalikan dengan koefisien yang berbeda. Penjumlahan ini disebut deret Fourier. Fungsi yang tidak periodik (tetapi area di bawah kurva memiliki luas berhingga) bisa diekspresikan sebagai integral dari fungsi sinus dan/atau cosinus yang masing-masing dikalikan dengan koefisien tertentu. Rumusan ini disebut transformasi Fourier.

Ide Fourier Suatu fungsi yang diekspresikan baik dengan deret Fourier maupun transformasi Fourier, bisa direkonstruksi kembali (secara lengkap) dengan proses kebalikannya, tanpa kehilangan informasi. Karakteristik ini memungkinkan kita untuk bekerja dalam “Fourier domain” dan selanjutnya kembali ke domain asal dari fungsi, tanpa kehilangan informasi.

Ide Fourier

Transformasi Fourier 1-D Transformasi Fourier dari suatu fungsi diskrit (DFT) satu variabel, f(x), x=0,1,2, … , M-1, dirumuskan sebagai berikut : Dari F(u), kita bisa mendapatkan kembali fungsi asal dengan menggunakan kebalikan dari transformasi Fourier diskrit (IDFT) :

Transformasi Fourier 1-D Nilai u disebut dengan domain frekuensi. Masing-masing dari M buah of F(u) disebut komponen frekuensi dari transformasi. Transformasi Fourier seringkali dianalogikan dengan prisma kaca. Prisma kaca adalah suatu alat yang dapat memisahkan cahaya menjadi berbagai komponen warna. Masing-masing komponen warna memiliki panjang gelombang yang berbeda.

Transformasi Fourier 1-D |F(u)| = [R2(u) + I2(u)]1/2 disebut magnitude atau spektrum dari transformasi Fourier dan : disebut sudut fase atau spektrum fase dari transformasi.

Transformasi Fourier 1-D

Contoh : u F(x) F(u) 1 13 85 2 3 1.0451 - 13.625i 10 -0.48936 + 21.768i 4 15 -4.5451 - 0.77954i 5 22.989 - 7.5757i 6 7 22.989 + 7.5757i 8 -4.5451 + 0.77954i 9 -0.48936 - 21.768i 1.0451 + 13.625i

Transformasi Fourier 2-D DFT dari fungsi citra f(x,y) berukuran M x N diberikan dengan persamaan berikut: untuk u=0,1,2,…,M-1 dan v=0,1,…,N-1 Dari F(u,v), kita bisa mendapatkan kembali f(x,y) menggunakan IDFT dengan rumusan sebagai berikut: untuk x=0,1,…,M-1 dan y=0,1,…,N-1

Transformasi Fourier 2-D Variabel u dan v adalah variabel transformasi atau variabel frekuensi, sedangkan x dan y adalah variabel spasial atau variabel citra. Spectrum Fourier, sudut fase, dan power spectrum didefinisikan sebagai berikut: R(u,v) dan I(u,v) adalah bagian real dan imajiner dari F(u,v).

Transformasi Fourier 2-D Fungsi citra input biasanya dikalikan dulu dengan (-1)x+y sebelum dilakukan perhitungan transformasi Fourier, karena titik pusat dari transformasi Fourier perlu digeser. Persamaan di atas menetapkan bahwa titik pusat Transformasi Fourier dari fungsi f(x,y)(-1)x+y [yaitu F(0,0)] berada pada lokasi u=M/2 dan v=N/2.

Transformasi Fourier 2-D Nilai transformasi pada (0,0) adalah yang merupakan rata-rata dari f(x,y). Jika f(x,y) adalah citra, nilai dari Transformasi Fourier pada titik pusat menyatakan tingkat keabuan rata-rata dari citra. Spektrum dari transformasi Fourier transform adalah simetris, artinya: Sifat simetris dan pemusatan dari transformasi Fourier menyederhanakan spesifikasi dari filter simetris sirkular pada domain frekuensi.

Transformasi Fourier 2-D

Filtering pada Domain Frekuensi Karena frekuensi dikaitkan dengan rata-rata perubahan, maka frekuensi-frekuensi dari transformasi Fourier dikaitkan dengan pola-pola variasi intensitas dalam citra. Komponen frekuensi dengan variasi paling rendah (u=v=0) berkaitan dengan tingkat keabuan rata-rata dalam citra. Ketika agak menjauh dari titik pusat transformasi, frekuensi-frekuensi rendah berkaitan dengan komponen citra yang memiliki variasi intensitas yang rendah. Ketika semakin menjauh dari titik pusat transformasi, frekuensi-frekuensi yang lebih tinggi berkaitan dengan komponen citra yang memiliki variasi intensitas yang tinggi. Yaitu tepi dari objek dan komponen citra lainnya yang perubahan tingkat keabuannya cukup cepat, misalnya noise.

Filtering pada Domain Frekuensi

Filtering pada Domain Frekuensi Langkah-langkah filtering pada domain frekuensi adalah: Kalikan citra input dengan (-1)x+y untuk memusatkan transformasi. Hitung F(u,v), DFT dari citra pada langkah (1). Kalikan F(u,v) dengan fungsi filter H(u,v). Hitung inverse DFT dari citra pada langkah (3). Gunakan bagian real dari citra pada langkah (4) Kalikan hasil (5) dengan (-1)x+y.

Filtering pada Domain Frekuensi

Filtering pada Domain Frekuensi Filter yang didefinisikan sebagai berikut: disebut filter notch karena filter tersebut adalah fungsi konstan dengan sebuah lubang (notch) di pusatnya.

Filtering pada Domain Frekuensi

Filtering pada Domain Frekuensi Filter lowpass adalah filter yang mengubah (menurunkan) komponen frekuensi tinggi, dan melewatkan (passing) komponen frekuensi rendah. Citra yang difilter menggunakan filter lowpass memiliki detail yang kurang tajam dibandingkan citra asal. Filter highpass adalah filter yang mengubah (menurunkan) komponen frekuensi rendah, dan melewatkan (passing) komponen frekuensi tinggi. ” high frequencies. Citra yang difilter menggunakan filter highpass memiliki detail yang lebih tajam dibandingkan citra asal.

Filtering pada Domain Frekuensi

Filtering pada Domain Frekuensi

Filtering pada Domain Spasial vs Domain Frekuensi Jika kita memiliki filter pada domain frekuensi, maka kita bisa mendapatkan filter pasangannya pada domain spasial dengan cara menghitung Inverse Fourier transform (IFT) terhadap filter pada domain frekuensi. Kebalikannya juga bisa dilakukan. Jika kedua filter (di domain spasial dan domain frekuensi) berukuran sama, maka secara komputasional akan lebih efisien untuk melakukan filtering pada domain frekuensi. Kita bisa menspesifikasikan filter pada domain frekuensi, menghitung transformasi inverse-nya, dan selanjutnya menggunakan filter padanan pada domain spasial sebagai petunjuk untuk menyusun filter spasial dengan ukuran yang lebih kecil.

Filtering pada Domain Spasial vs Filtering pada Domain Frekuensi Misal H(u) menyatakan fungsi filter Gaussian pada domain frekuensi dengan persamaan berikut : dengan  adalah deviasi standard dari fungsi Gaussian. Filter padanannya pada domain spasial adalah :

Filtering pada Domain Spasial vs Filtering pada Domain Frekuensi Filter highpass yang disusun dari selisih fungsi Gaussian berikut : dengan AB dan 1>2. Filter padanannya pada domain spasial adalah :

Filtering pada Domain Spasial vs Filtering pada Domain Frekuensi

Filtering pada Domain Spasial vs Filtering pada Domain Frekuensi Domain frekuensi bisa dianggap sebagai sebuah laboratorium untuk mempelajari keterkaitan antara frekuensi dan bentuk citra. Beberapa tugas perbaikan citra yang sulit (atau bahkan tidak mungkin) untuk dirumuskan secara langsung pada domain spasial, akan menjadi cukup mudah untuk diselesaikan pada domain frekuensi. Begitu kita telah memilih suatu filter melalui eksperimen pada domain frekuensi, maka implementasi yang sesungguhnya dilakukan pada domain spasial. Caranya adalah dengan menspesifikasikan filter padanan pada domain spasial yang berukuran kecil dan yang mewakili “intisari” dari fungsi filter (yang berukuran lebih besar) pada domain spasial.

Filter Penghalusan (LPF) Tepi objek dan transisi tajam yang lain (seperti noise) memiliki kontribusi yang cukup besar pada komponen frekuensi tinggi dalam transformasi Fourier. Sehingga penghalusan (pengkaburan) bisa dilakukan pada domain frekuensi dengan cara menurunkan range tertentu dari komponen frekuensi tinggi.

Filter Penghalusan Model filtering pada domain frekuensi adalah : G(u,v) = H(u,v) F(u,v) dengan F(u,v) adalah transformasi Fourier dari citra yang akan dihaluskan. Tujuannya adalah memilih fungsi filter H(u,v) yang menghasilkan G(u,v) dengan menurunkan komponen frekuensi tinggi dari F(u,v).

Filter Penghalusan Ada tiga tipe filter lowpass, yaitu: Filter Ideal  fungsi filter yang sangat tajam. Filter Gaussian  fungsi filter yang sangat halus. Filter Butterworth  transisi di antara dua fungsi ekstrim. Filter Butterworth memiliki parameter yang disebut order filter. Nilai order filter tinggi  mendekati filter Ideal. Nilai order filter rendah  mendekati filter Gaussian.

Filter Lowpass Ideal Filter lowpass ideal (ILPF) 2-D adalah filter yang menghilangkan “cut-off” semua komponen frekuensi tinggi dari transformasi Fourier yang jaraknya dari titik pusat transformasi lebih dari D0 . from the origin of the (centered) transform. Fungsi ILPF 2-D adalah :

Filter Lowpass Ideal D0 adalah sebuah nilai non negatif, dan D(u,v) adalah jarak dari titik (u,v) ke pusat segiempat frekuensi. Jika ukuran citra adalah MxN, maka pusat dari segiempat frekuensi adalah di (u,v)=(M/2,N/2). Jarak sembarang titik (u,v) ke pusat transformasi Fourier dapat hitung dengan :

Filter Lowpass Ideal

Filter Lowpass Ideal Perhatikan gambar (c). Pada potongan filter lowpass ideal, titik transisi antara H(u,v)=1 dan H(u,v)=0 disebut “cutoff frequency”. Pada gambar tersebut, “cutoff frequency” adalah D0. Cara untuk menetapkan sekumpulan “cutoff frequency” standard adalah dengan menghitung lingkaran yang melingkupi sejumlah power citra total PT, yang dirumuskan sebagai berikut :

Filter Lowpass Ideal Lingkaran berjari-jari r dengan pusat pada titik tengah segiempat frekuensi melingkupi  persen power, dengan: Penjumlahan dilakukan terhadap nilai-nilai (u,v) yang terletak di dalam dan di pinggiran lingkaran.

Filter Lowpass Ideal

Filter Lowpass Ideal

Filter Lowpass Ideal Proses dalam doman frekuensi berikut : G(u,v)=H(u,v)F(u,) ekuivalen dengna proses konvolusi pada domain spasial berikut : g(x,y)=h(x,y)*f(x,y) Dari H(u,v) kita mendapatkan h(x,y) dengan cara : H(u,v) dikalikan dengan (-1)u+v untuk centering Dihitung inverse DFT Bagian real dari inverse DFT dikalikan dengan (-1)x+y.

Ideal Lowpass Filters

Filter Lowpass Ideal Filter h(x,y) memiliki dua karakteristik utama : Komponen yang dominan pada titik pusat  bertanggung jawab pada pengkaburan Concentric, komponen melingkar di sekitar komponen dominan pada titik pusat  bertanggung jawab pada “ringing”

Filter Lowpass Ideal Pada gambar 4.13, f(x,y) adalah citra sederhana yang terdiri atas 5 buah piksel terang dengan background gelap. Titik cemerlang ini bisa dianggap sebagai impuls yang kekuatannya tergantung pada intensitas titik. Konvolusi antara h(x,y) dan f(x,y) sebenarnya adalah proses “menyalin” h(x,y) pada setiap lokasi impuls. Sifat “reciprocal” (keterhubungan/timbal balik) antara H(u,v) dan h(x,y) menjelaskan secara matematis mengapa pengkaburan dan “ringing” menjadi lebih tajam ketika filter yang digunakan dalam domain frekuensi semakin sempit.

Filter Lowpass Butterworth Fungsi filter lowpass Butterworth (BLPF) dengan orde n, dan “cutoff frequency” pada jarak D0 dari titik pusat, didefinisikan sebagai :

Filter Lowpass Butterworth

Filter Lowpass Butterworth Fungsi BLPF tidak memiliki diskontinyuitas yang tajam, yang menetapkan “cutoff” yang jelas antara frekuensi yang dilewatkan dan frekuensi yang difilter. Untuk filter dengan fungsi transfer yang smooth, pendefinisian lokasi dari “cutoff frequency” adalah ketika H(u,v) turun dengan prosentase tertentu dari nilai maksimumnya. H(u,v)=0.5 (turun 50% dari nilai maksimum 1) ketika D(u,v)=D0.

Filter Lowpass Butterworth

Filter Lowpass Butterworth

Filter Lowpass Gaussian Bentuk dari filter lowpass Gaussian 2-D dirumuskan :  adalah ukuran penyebaran kurva Gaussian. Digunakan =D0, dengan D0 adalah “cutoff frequency”.

Filter Lowpass Gaussian

Filter Lowpass Gaussian

Aplikasi Praktis dari “Lowpass Filtering” Gambar di bawah memberikan contoh tentang pengenalan karakter. Contoh teks dengan resolusi rendah dibandingkan dengan hasil filtering menggunakan filter lowpass Gaussian dengan D0=80. Citra berukuran 444 x 508 piksel.

Aplikasi Praktis dari “Lowpass Filtering” Gambar di bawah mencontohkan “cosmetic processing” sebelum pencetakan.

Filter Penajaman Penajaman citra bisa dilakukan pada domain frekuensi dengan filtering menggunakan filter highpass, yang menurunkan komponen frekuensi rendah dan melewatkan komponen frekuensi tinggi dari transformasi Fourier. Fungsi filter highpass dihitung dengan : Filter highpass : ideal, Butterworth, Gaussian, and Laplacian.

Filter Penajaman

Filter Penajaman Representasi spasial dari filter pada domain frekuensi bisa dihitung dengan : Kalikan H(u,v) dengan (-1)u+v untuk centering Hitung inverse DFT Kalikan bagian real dari inverse DFT dengan (-1)x+y

Filter Penajaman

Filter Highpass Ideal Filter highpass ideal 2-D (IHPF) didefinisikan : Filter akan menset nol semua komponen frekuensi di dalam lingkaran dengan jari-jari D0, dan melewatkan semua komponen frekuensi di luar lingkaran.

Filter Highpass Ideal

Filter Highpass Butterworth Fungsi filter highpass Butterworth (BHPF) dengan oder n dan “cutoff frequency” pada jarak D0 dari titik pusat dirumskan :

Filter Highpass Butterworth

Filter Highpass Gaussian Fungsi filter highpass Gaussian (GHPF) dengan “cutoff frequency” berjarak D0 from dari titik pusat dirumuskan :

Filter Highpass Gaussian

Laplacian pada Domain Frekuensi Laplacian bisa diimplementasikan pada domain frekuensi menggunakan filter : Pada domain spasial, citra yang sudah diperbaiki bisa didapatkan dengan :

Laplacian pada Domain Frekuensi Citra hasil filtering dengan Laplacian bisa dihitung dengan inverse transform Fourier dari H(u,v) F(u,v) : Seperti pada domain spasial, dimana citra yang sudah diperbaiki bisa didapatkan dengan “single mask”, maka dimungkinkan pula untuk melakukan keseluruhan perhitungan pada domain frekuensi hanya dengan satu filter, yang dinyatakan dengan :

Laplacian pada Domain Frekuensi Citra yang sudah diperbaiki didapat dengan sebuah operasi inverse transformasi :

Laplacian pada Domain Frekuensi

Laplacian pada Domain Frekuensi

Referensi Bab 4, “Image Enhancement in the Frequency Domain”, Digital Image Processing, edisi 2, Rafael C. Gonzales dan Richard E. Woods, Prentice Hall, 2002