Controller PID

Sistem Kontrol Loop Tertutup. Controler Penguat Plant/ Process Elemen ukur Input / Set Point Output

Kontroler otomatik berfungsi untuk membandingkan nilai acuan dengan nilai yang dihasilkan oleh elemen ukur, menentukan deviasi dan menghasilkan suatu signal kontrol yang akan memperkecil deviasi sampai suatu nilai yang ditolerir. Penguat E(s) C(s) Dari Elemen Ukur Masukan Acuan R(s) Detektor kesalahan Ke Aktuator E(s) = R(s) – C(s).

Kemampuan kontroler yg diharapkan: Menghasilkan keluaran sistem yg stabil pada nilai set point ( tidak berosilasi). Kondisi stabil dicapai dalam waktu cepat dengan overshoot yang rendah. Tidak ada offset error atau offset error sekecil mungkin. Perlu kontroler seperti apa ??

berdasarkan aksi pengontrolannya Kontroler dua posisi ON-OFF. Kontroler proporsional. Kontroler integral. Kontroler proporsional plus integral Kontroler turunan Kontroler proporsional plus turunan Kontroler proporsional plus integral plus turunan (PID).

Kontroller Proporsional Kontroler proporsional adalah suatu kontroler yang menghasilkan sinyal keluaran sebanding dengan sinyal kesalahan penggerak (error). Kp C(t) R(t) u(t) E(t) u(t) = Kp E(t) E(t) = R(t) – C(t) Dimana: E(t) = Kesalahan penggerak. Kp = Konstanta proporsional

u = {du(t)/dt} t. = Kp [e(kt) – e{(k-1)t}] u{(k+1)t} = u(kt) + u u = {du(t)/dt} t. = Kp [e(kt) – e{(k-1)t}] Dimana: t = periode sampling. kt = sampling ke k Numerik: Vo Vx I1 R1 R2 I2 VA I1 = (VA – Vo)/ R1 I2 = (Vx – VA)/ R2 Vo = -(R1/R2) Vx.

Vx t Vo t Masukan Keluaran Kontrol output Lama Offset Proporsional band Baru Error % - 0 + Makin besar Kp makin curam gradien garis Vo dan hubungan error dgn kontrol output.

Kontroler proporsional dipergunakan untuk menurunkan offset dengan cara memperbesar nilai konstanta Kp. Namun nilai Kp yang makin besar akan menyebabkan sistem berosilasi dan tidak stabil. Contoh Soal: Kontroler proporsional dipergunakan untuk mengatur ketinggian air dalam tangki dimana ketinggian air dapat diatur mulai dari 0 m sampai 9 m. Air akan dikendalikan pada ketinggian 5 m dimana katup menutup penuh pada ketinggian air 5.5m dan membuka penuh pada ketinggian air 4.5m.

Ditanya: Proporsional band dan konstanta proporsional. Jawab: Error1 = 5.5 – 5 = 0.5 m  katup menutup penuh Error2 = 4.5 – 5 = - 0.5 m  katup membuka penuh Dalam bentuk % (- 0.5 / 9) x 100 = - 5.6 % (0.5 / 9) x 100 = + 5.6 % Jadi Proporsional band berada pada selang error – 5.6% sampai + 5.6%. Atau total proporsional band error = 11.2 %

Kp = 8.9 Jadi: Jawab (lanjutan): Keluaran kontroler dipergunakan untuk mengatur katup dari menutup penuh (0%) sampai membuka penuh (100%). Konstanta proporsional (Kp) = keluaran / error Kp = (100 – 0)% / 11.2% = 8.9 Jadi: Kp = 8.9

Kontroler Integral Kontroler integral menghasilkan laju perubahan sinyal keluaran yang sebanding dengan sinyal kesalahan penggerak (error). d u(t) dt = Ki e(t) du(t) = Ki  e(t) dt  u(t) = Ki  e(t) dt Dimana: e(t) = Kesalahan penggerak Ki = Konstanta Integral u(t) = Sinyal keluaran. t = periode sampling. u = kontroler output.

Secara Numerik: u{(k+1)t} = u(kt) + u u = {du(t)/dt} t. u = Ki {d{ e(t) dt} / dt}t u = Ki e(kt)t U{(k+1)t} = u(kt) + Ki e(kt) t

Vo = -(1/ CR)  Vx dt R(s) E(s) s Y(s) C(s) Ki s Y(s) R(s) C(s) E(s) Transformasi Laplace Y(s) = (Ki/s) E(s) Vo Vx A R I1 Ic C Vx - VA R C{d(VA – Vo)} dt = Vo = -(1/ CR)  Vx dt

Transformasi Laplace: Vo(s) = - {1/(C.R.S)} Vx(s) ............ (1) Vo = -(1/ CR)  Vx dt Transformasi Laplace: Vo(s) = - {1/(C.R.S)} Vx(s) ............ (1) Jika Vx merupakan fungsi tangga  Vx. l(t) { Vx. l(t)}  Vx(s)/s. Disubstitusikan pada (1) diperoleh Vo(s) = - {1/(C R S2)} Vx(s) Transformasi Laplace balik Vo = -Vx t / (C R) Sifat dari kontroler integral adalah reaksinya lamban. Kontroler ini tidak menghasilkan selisih statis

t Vx Vy Masukan tangga Respon terhadap masukan tangga

Contoh Soal: Diketahui konstanta integral Ki = 0.10dt -1 dan keluaran kontroler pada saat itu = 40%. Jika pada sistem terjadi perubahan error mendadak dengan nilai tetap sebesar 20%, maka ….. Ditanya: Berapa nilai keluaran kontroler setelah 1 dt dan setelah 2 dt ?.

Jawab: Yo = Ki  e dt  untuk error tetap, Yo = Ki e t Setelah 1 dt: Yo = 0.1 x 20 % x 1 dt = 2 % Karena keluaran sebelumnya = 40%, maka keluaran kontroler = 40 + 2 = 42 %. Setelah 2 dt: Yo = 0.1 x 20 % x 2 dt = 4 % Karena keluaran sebelumnya = 40 %, maka keluaran kontroler = 40 + 4 = 44 %

Kontroler Turunan (Derivative) Kontrol ini menghasilkan perubahan keluaran yang sebanding dengan laju perubahan error. u(t) = Kd de(t)/dt Dimana: u(t) = keluaran kontroler Kd = tetapan turunan e(t) = error = setpoint - pengukuran Sifat kontroler turunan: Reaksi cepat tetapi menghasilkan selisih statis antara nilai set point dan nilai keluaran riil.

iC = iR VA = 0 Error Output kontroler Waktu iR iC C R Vo Ve VA Vo R iR C iC Ve Kontroler Turunan VA iC = iR VA = 0

u = Kd [e(kt) – 2e{(k-1)t} + e{(k-2)t}] iC = C { } = C d(Ve - VA) dt dVe iR = (VA – Vo) / R = - Vo / R Vo = - RC dVe dt u(t) = Kd (de(t)/dt) Numerik: u{(k+1)t} = u(kt) + u u = {du(t)/dt} t.  du(t)/dt = Kd (d2e(t) / dt2 u = Kd [e(kt) – 2e{(k-1)t} + e{(k-2)t}]

Contoh Soal: Ditanya: Jawab: Diketahui tetapan turunan Kd = 0.4 dt dan nilai keluaran saat itu = set point yaitu 50 %. Ditanya: Berapa nilai keluaran kontroler jika error berubah 1%/ dt dan jika error menjadi tetap 4 % Jawab: Yo = Kd de/dt Yo = 0.4 dt x 1%/dt = 0.4 % Karena sebelumnya = 50%  keluaran = 50.4%

Pada saat error tetap, maka de/dt = 0 Jadi keluaran kontroler sama dengan keluaran sebelumnya = 50 %. Dengan demikian keluaran kontroler akan berubah jika terjadi berubahan error dan keluaran kontroler tetap jika tidak terjadi perubahan error.

Kontroler proporsional plus integral Kontroler ini merupakan penggabungan antara kontroler proporsional dengan kontroller integral. u(t) = Kp e(t) + (Kp/Ti)  e(t) dt Dimana: Ti = Tetapan waktu integral Kp = Tetapan proporsional. Transformasi Laplace dari rumus di atas U(s) = Kp E(s) +(Kp/Ti) E(s)/s U(s) = Kp {1 + 1/(Ti s)} E(s)

E(s) R(s) Y(s) 1 + Ti s Kp Ti s C(s) i1 R1 C R2 Vx VA Vo i2 i1 = i2, VA = 0, VA – V0 = VR1 + VC.

VC = 1/C  i1 dt VR1 = i1 R1 i1 = i2 = Vx/ R2 Vo = -(R1/ R2) Vx – {1/(C R2)}  Vx dt Transformasi Laplace Vo(s) = -(R1/ R2) Vx(s) – {1/(C R2 S)} Vx(s) Vo(s) = - Vx(s) { (R1 C S + 1)/ (R2 C S)} .... (1) Jika Vx berupa fungsi tangga Vx l(t) { Vx. l(t)} = Vx(s)/S. Disubstitusikan pada (1) menghasilkan Vo(s) = - Vx(s) {(R1 C S +1)/( R2 C S2)} Transformasi laplace balik Vo = -(R1/R2) Vx – {Vx/(R2 C)} t Vo = - Vx {(R1/R2) + t/(R2 C)}

Kontroler proporsional plus integral Vy (PI) -V ( I ) ( P ) Vx Waktu integrasi Kontroler proporsional plus integral

Kontroler PID Sifat kontroler PI: Lebih cepat dibandingkan dengan kontroler integral Tidak ada selisih statis. Kontroler PID Merupakan penjumlahan dari kontroler proporsional, integral dan differensial. Rumus umum dari kontroler ini adalah: u(t) = Kp e(t) + Kp Td de(t)/ dt + (Kp/Ti)  e(t) dt Transformasi Laplace dari persamaan ini adalah: U(s) = Kp E(s) + Kp Td S E(s) + {Kp/(Ti S)} E(s) U(s)/ E(s) = Kp { 1 + Td S + 1/(Ti S)}

R(s) E(s) K(s) C(s) i1 i3 C2 R1 C1 R2 Vx VA Vo i2 Kp( 1 + Ti S + Td Ti S2 ) Ti S E(s) C(s) R(s) K(s) Vo R1 C1 C2 i1 i3 R2 i2 Vx VA

i1 = i2 + i3 VA = 0 Vo = - {(R1/R2) + (C2/C1)}Vx – C2 R1 dVx/ dt – {1/(C1 R2)}  Vx dt Transformasi laplace dari persamaan ini adalah: -Vo(s) = {(R1/R2) + (C2/C1)}Vx(s) + C2 R1 S Vx(s) + {1/(C1R2S)}Vx(s) Jika Vx berupa fungsi tangga satuan: Vx.l(t), maka: -Vo(s) = (1/S){(R1/R2) + (C2/C1)}Vx(s) + C2 R1 Vx(s) + {1/(C1R2S2)}Vx(s) -Vo(s) = {(SC1R1 + C2R2S + C1C2R1R2S2 + 1) / (C1R2S2)} Vx(s)

-Vo(s)/Vx(s) = {1/(C1R2)}(1/S2) + {(R1/R2)+(C2/C1)} (1/S) + {(C1C2R1R2)/(C1R2)} Transformasi laplace balik -Vo/Vx = t /(C1R2) + {(R1/R2) + (C2/C1)} u(t) + {(C1C2R1R2) / (C1R2)}(t) dimana: (t) adalah fungsi impuls satuan atau fungsi delta dirac dan u(t) adalah fungsi tangga satuan.

Jika kedua fungsi tersebut nilainya sama dengan satu, maka transformasi laplace balik menjadi: Vo = - { t/(C1R2) + R1/R2 + C2/C1 + (C1C2R1R2) / (C1R2)} Vx Karakteristik pengaturan dari kontroler PID adalah responnya cepat dan tidak ada selisih statis.

u{(k+1)t } = u(kt) + u. u = { du(t)/dt } t. PID Secara numerik u(t) = Kp { e(t) + Ki  e(t) dt + Kd de(t)/dt } Dimana: u(t) = kontroler output e(t) = error = set point - pengukuran u{(k+1)t } = u(kt) + u. u = { du(t)/dt } t.

u = Kp[e(kt) – e{(k-1)t}] + Ki e(kt) + Kd[e(kt) – 2e{(k-1)t} + e{(k-2)t}] . Dimana: t = periode sampling e(kt) = error pengukuran ke k. e(-1t) = 0. e(-2t) = 0. Kp = tetapan proporsional Ki = tetapan integral =Kp t/ Ti Kd = Tetapan diferensial = Kp Td/ t

Terima Kasih