Peluang Diskrit

Peluang Diskrit Counting menjadi landasan bagi perhitungan peluang berlangsungnya suatu kejadian. Abad 17: Pascal menentukan kemungkinan untuk memenangkan suatu taruhan yang didasarkan pada keluaran dari dua buah dadu yang dilemparkan berulang-ulang. Abad 18: Laplace mempelajari perjudian dan mendefinisikan peluang suatu kejadian.

Peluang Hingga eksperimen/percobaan: prosedur yang menghasilkan salah satu dari himpunan keluaran-keluaran yang mungkin. ruang sampel dari suatu eksperimen: himpunan semua keluaran yang mungkin. kejadian: himpunan bagian dari ruang sampel. Definisi Laplace Misalkan S: ruang sampel hingga yang kemungkinan terjadinya setiap keluaran sama, E: kejadian yang merupakan himpunan bagian dari S. Maka peluang kejadian E adalah p(E) = |E|/|S|. kejadian yang selalu terjadi apapun eksperimen yang dilakukan kejadian yang tidak pernah terjadi 0  p(E)  1

Contoh 1 Di dalam suatu kotak terdapat empat bola biru dan lima bola merah. Berapakah peluang pengambilan sebuah bola biru dari kotak tersebut? Solusi. Terdapat sembilan keluaran yang mungkin, dan kejadian “terpilihnya bola biru” meliputi empat dari sembilan keluaran tadi. Maka, peluang kejadian ini adalah 4/9. Dalam suatu lotere, pemain diminta untuk memilih enam angka, dengan masing-masing angka berada dalam selang 1 – 49. Berapakah peluang seseorang untuk memenangkan hadiah utama lotere tersebut? Solusi. Terdapat C(49, 6) keluaran yang mungkin. Hanya satu dari keluaran ini yang menjadikan seseorang pemenang hadiah utama. p(E) = 1/C(49, 6) = 1/13,983,816

Contoh 2 Suatu kuis dengan soal benar/salah memiliki sepuluh pertanyaan. Jika anda menjawab setiap pertanyaan secara random, berapakah peluang bahwa nilai anda minimal 70 (dari skala 100)? Solusi. Untuk mendapat nilai minimal 70, anda perlu menjawab 7, 8, 9, atau 10 pertanyaan dengan benar dan terdapat: C(10,10)=1 cara untuk menjawab 10 pertanyaan dengan benar, C(10,9)=10 cara untuk menjawab 9 pertanyaan dengan benar, C(10,8)=45 cara untuk menjawab 8 pertanyaan dengan benar, C(10,7)=120 cara untuk menjawab 7 pertanyaan dengan benar, Jadi, peluang untuk menjawab minimal 7 pertanyaan dengan benar adalah: p(min 7 benar) = p(10 benar) + p(9 benar) + p(8 benar) + p(7 benar) = 1/210 + 10/210 + 45/210 + 120/210 = 176/1024  0,172

Contoh 3 Berapakah peluang bahwa bola bernomor 11, 4, 17, 39, 23 (dalam urutan tersebut) terpilih dari suatu wadah yang memuat 50 bola bernomor 1,2,…,50 jika bola yang telah terpilih tidak dikembalikan ke dalam wadah sebelum pemilihan bola berikut bola yang telah terpilih dikembalikan ke dalam wadah sebelum pemilihan bola berikut Solusi. sampling dengan penggantian Ada 50.49.48.47.46 cara memilih bola. Jadi peluang memilih bola bernomor 11, 4, 17, 39, 23 adalah 1 / 59.49.48.47.46 sampling tanpa penggantian Ada (50)5 cara memilih bola. 1 / (50)5

Soal Suatu keluarga memiliki dua anak. Anda mengetuk pintu rumah keluarga tadi dan seorang anak perempuan membuka pintu. Berapakah peluang bahwa anak lainnya dalam keluarga tersebut juga perempuan? (Asumsikan bahwa mereka bukan anak kembar, kelahiran anak laki-laki dan perempuan adalah kejadian yang saling bebas, dan peluang kelahiran seorang anak perempuan adalah ½.)

{PP,PL,LP,LL}, dg setiap pasang menyatakan sulung dan bungsu. Solusi Jika anda berpikir bahwa jawabannya adalah ½, maka anda salah. Kesalahannya adalah dalam menentukan ruang sampel yang kemungkinan tiap keluarannya sama. Jika kita memilih ruang sampel {1 P dan 1L, 2 P}, maka kemungkinan tiap keluarannya tidaklah sama. Kemungkinan mempunyai 1 P dan 1L adalah dua kali mempunyai 2 P. Maka ruang sampelnya adalah {PP,PL,LP,LL}, dg setiap pasang menyatakan sulung dan bungsu. Karena keluarga memiliki paling sedikit satu perempuan, maka LL dihapus sehingga ruang sampel menjadi {PP,PL,LP} Setiap keluaran mempunyai peluang 1/3, sehingga p(anak yg lain P) = 1/3. Misalkan, kita mempunyai informasi tambahan bahwa anak tertualah yang menjawab pintu. Dalam hal ini, ruang sampel berubah menjadi {PP,PL} Jadi, peluang anak lainnya dalam keluarga tersebut juga perempuan adalah ½.

Kejadian Komplementer Misalkan E: kejadian dalam ruang sampel S. Peluang dari kejadian Ē: kejadian komplementer dari E adalah P(Ē) = 1 – p(E). Ini dapat ditunjukan dengan mudah: p(Ē) = (|S| - |E|)/|S| = 1 - |E|/|S| = 1 – p(E). Aturan ini berguna jika menentukan peluang dari kejadian komplementer ternyata lebih mudah daripada menghitung peluang kejadian itu sendiri.

Contoh 1 Suatu barisan terdiri dari 10 bit yang dibangun secara acak. Berapakah peluang bahwa paling sedikit satu dari bit-bit tersebut adalah bit nol? Solusi. Misalkan E: kejadian paling sedikit satu bit dalam barisan adalah bit nol. Maka Ē: kejadian tidak ada bit nol dalam barisan. Jelas Ē memuat hanya satu keluaran, yaitu barisan 1111111111. Jadi, p(Ē) = 1/ 210 = 1/1024. Dengan demikian, p(E) = 1 – p(Ē) = 1 – 1/1024 = 1023/1024.

Contoh 2 Berapakah peluang paling sedikit dua dari 36 orang memiliki tanggal ulang tahun yang sama? Solusi. Ruang sampel S memuat semua kemungkinan tanggal ulang tahun dari 36 orang, sehingga |S| = 36536. Pandang kejadian Ē: tidak ada dua dari 36 orang memiliki tanggal ulang tahun yang sama. Maka Ē memuat P(365, 36) keluaran (365 kemungkinan untuk tanggal ulang tahun orang pertama, 364 untuk orang kedua, dan selanjutnya). Maka p(Ē) = P(365, 36)/36536  0.168 sehingga p(E)  0.832

Peluang Gabungan Dua Kejadian Misalkan E1 dan E2 dua kejadian dalam ruang sampel S. Maka: p(E1  E2) = p(E1) + p(E2) - p(E1  E2) Mengingatkan pada sesuatu? Prinsip inklusi - eksklusi Bukti.

Contoh Suatu bilangan bulat positif terpilih secara acak dari suatu himpunan bilangan bulat positif yang tidak melebihi 100. Berapakah peluangnya untuk menjadi suatu bilangan yang habis dibagi 2 atau 5? Solusi. Misalkan E2: kejadian bahwa bilangan yang terpilih habis dibagi 2 E5: kejadian bahwa bilangan yang terpilih habis dibagi 5

Maka E2 = {2, 4, 6, …, 100} dan|E2| = 50. Dengan demikian p(E2) = 0.5. Demikian juga E5 = {5, 10, 15, …, 100}, |E5| = 20, dan p(E5) = 0.2 Sedangkan E2  E5 = {10, 20, 30, …, 100}, berarti|E2  E5| = 10 dan p(E2  E5) = 0.1 Sehingga, p(E2  E5) = p(E2) + p(E5) – p(E2  E5 ) = 0.5 + 0.2 – 0.1 = 0.6

Soal Misalkan S={1,2,…,20}. Anda memilih sebuah subhimpunan TS dengan 3 anggota. (a) Carilah peluang bahwa T memuat dua bilangan ganjil dan satu bilangan genap. (b) Carilah peluang bahwa T memuat tiga bilangan prima. (c) Carilah peluang bahwa ketiga anggota T mempunyai jumlah lebih kecil dari 9. (d) Carilah peluang bahwa T memuat paling sedikit satu bilangan genap. (e) Carilah peluang bahwa T memuat bilangan 10 atau 20.

Solusi Terdapat C(20,3) subhimpunan dengan kardinalitas 3 dan memilih satu di antaranya memiliki kemungkinan yang sama. (a) Carilah peluang bahwa T memuat dua bilangan ganjil dan satu bilangan genap. Terdapat 10 bilangan ganjil dan 10 bilangan genap di S. Jadi, p(T memuat 2 ganjil & 1 genap) =

Solusi (2) (b) Carilah peluang bahwa T memuat tiga bilangan prima. Terdapat 8 bilangan prima dalam S, maka p(T memuat 3 prima) = (c) Carilah peluang bahwa ketiga anggota T mempunyai jumlah lebih kecil dari 9. Terdapat 4 cara sehingga 3 bilangan mempunyai jumlah lebih kecil dari 9: 1,2,3; 1,2,4; 1,2,5; dan 1,3,4. Akibatnya p(jumlah anggota T < 9) =

Solusi (3) (d) Carilah peluang bahwa T memuat paling sedikit satu bilangan genap. Akan lebih mudah jika digunakan aturan peluang kejadian komplementer. Misalkan E: kejadian T memuat paling sedikit satu bilangan genap, maka Ē: kejadian T memuat bilangan ganjil saja. Akibatnya p(E) = 1 – p(Ē) = 1 -

p(E  F) = p(E) + p(F) - p(E  F) Solusi (4) (e) Carilah peluang bahwa T memuat bilangan 10 atau 20. Digunakan aturan peluang dari gabungan dua kejadian, dengan E: kejadian 10T dan F: kejadian 20T, p(E  F) = p(E) + p(F) - p(E  F) Banyaknya cara untuk memilih bilangan 10 di antara 3 bilangan adalah C(19,2) karena kita harus memilih 2 bilangan dari 19 bilangan yang tersisa. Demikian pula, terdapat C(19,2) cara untuk memilih bilangan 20 dan 2 bilangan lainnya; serta C(18,1) untuk memilih bilangan 10 dan 20 dan 1 bilangan lainnya. Maka, p(E  F) =

Penalaran Probabilistik Suatu masalah yang sering muncul adalah menentukan mana di antara dua kejadian yang lebih mungkin muncul. Apabila menganalisa peluang dari setiap kejadian cukup sulit dilakukan, maka dipergunakan penalaran probabilistik.

The Monty Hall Three Door Puzzle Anda adalah peserta suatu kuis televisi. Anda diminta untuk memilih membuka satu dari tiga pintu; hadiah mobil Avanza baru terletak di balik salah satu pintu, sedangkan dua pintu lainnya adalah pintu kalah yang tidak memuat hadiah. Setelah anda memilih satu pintu, maka sang pembawa acara, yang tahu pasti apa yang terdapat di balik ketiga pintu, akan melakukan yang berikut. Pertama, pintu apa pun yang anda pilih: pemenang atau tidak, ia akan membuka pintu kalah dari dua pintu yang tidak anda pilih. Kemudian, ia akan bertanya apakah anda ingin mengganti pintu yang telah anda pilih. Strategi apa yang harus anda pakai? Haruskah anda mengganti pintu, atau tetap pada pilihan anda semula, atau apapun yang anda lakukan tidak ada bedanya?