EKSPEKTASI DARI VARIABEL RANDOM

Misalkan X suatu variabel random yang mempunyai pdf f(x) sedemikian hingga : konvergen absolut (kasus diskrit) atau konvergen absolut (kasus kontinu) Maka ekspektasi dari varaiabel random X didefinisikan sbb : untuk kasus diskrit Atau untuk kasus kontinu E(X) : ekspektasi matematik dari X atau nilai ekspekstasi dari X

Ilustrasi : Misalkan terdapat 4 kepingan yang terdiri dari 3 keping bernomor 1 dan 1 keping bernomor 2. 4 kepingan tersebut dimasukkan ke dalam mangkok, kemudian diaduk. Dengan mata tertutup, seseorang disuruh mengambil 1 kepingan dari dalam mangkok tsb. Apabila terambil kepingan bernomor 1 akan diberi imbalan $1 dan apabila terambil kepingan bernomor 2 akan diberi imbalan $2. Berapakah imbalan yang akan diperoleh oleh orang tersebut? Probabilitas terambil kepingan bernomor 1 adalah ¾, sedangkan probabilitas terambil kepingan bernomor 2 adalah ¼. Sehingga E(X) = ¾ . $1 + ¼ .$2 = $ 1,25.

Misalkan X variabel random diskrit yang mempunyai pdf sbb : Contoh : Misalkan X variabel random diskrit yang mempunyai pdf sbb : f(x) = 0 untuk x yang lainnya E(X) = 1.4/10 +2.1/10 +3.3/10+4.2/10 = 2,3 2. Misalkan X variabel random kontinu yang mempunyai pdf sbb x 1 2 3 4 f(x) 4/10 1/10 3/10 2/10

Ekspektasi Fungsi dari Variabel Random X Misalkan Y = u(X) adalah fungsi dari variabel random X dengan ruang nilai A , dalam hal ini X dimisalkan variabel random kontinu. Misalkan y=u(x) adalah fungsi yang kontinu naik sehingga inversnya x = w(y) juga merupakan fungsi kontinu naik. Karena X variabel random maka Y juga variabel random dan fungsi distribusinya sbb : dimana f(x) adalah pdf dari X.

Dengan menggunakan teorema dasar kalkulus, diperoleh : dimana Dengan menggunakan teorema dasar kalkulus, diperoleh : dimana . g(y) adalah pdf dari Y. Apabila konvergen mutlak, maka nilai ekspektasi dari Y adalah . Karena y=u(x) maka akan ditunjukkan bahwa

Sehingga nantinya dapat ditulis : Perhatikan bentuk : Menggunakan metode substitusi, misalkan y = u(x) maka x = w(y) dan , sehingga

Jadi dapat dituliskan bahwa : untuk kasus kontinu Dan untuk kasus diskrit

Sifat-sifat Ekspektasi: 1. E(k) = k dimana k adalah konstanta 2 Sifat-sifat Ekspektasi: 1. E(k) = k dimana k adalah konstanta 2. E(kV) = kE(V) 3. E(k1V1 +k2V2) = k1E(V1) + k2E(V2) Jadi E adalah operator linier.

Contoh: Misalkan X mempunyai pdf a. b. c.