Ekspektasi Matematika Eko Setiawan, ST.

Rata – rata Pada pelemparan pertama 12 dadu, diperoleh data: 1, 3, 2, 2, 4, 1, 6, 3, 2, 2, 3, 5 Berapa rata-rata nilai yang muncul? Pada pelemparan kedua 12 dadu, diperoleh data: 2, 2, 3, 2, 4, 1, 5, 3, 2, 4, 3, 1 Berapa rata-rata nilai yang muncul? Bagaimana rata-rata yang akan muncul untuk pelemparan 12 dadu selanjutnya?

Ekspektasi Matematik Apabila diketahui fungsi distribusi f(x) dari suatu variabel acak X, maka nilai rata-rata atau ekspektasi metematiknya dapat diketahui

Rata-rata vs Ekspektasi Berapa rata-rata untuk pelemparan 12 dadu selanjutnya? (petunjuk: gunakan probabilitasnya) Apa perbedaan rata-rata dengan ekspektasi matematika?

Contoh 1 Suatu varibel acak diketahui fungsi distribusi kerapatan probabilitasnya Tentukan nilai ekspektasi matematika E(X)

(1) Data diskrit atau kontinu (1) Data diskrit atau kontinu? Data kontinu -> karena ada kata “kerapatan” (2) Karena data kontinu, gunakan persamaan ekspektasi kontinu:

Contoh 2 Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Dari kotak akan diambil 3 bola secara acak. Tentukan nilai ekspektasi dari bola merah pada pengambilan tersebut.

(1) Ditanya: bola merah Maka, variabel acak X = jumlah bola merah (2) Tentukan probabilitasnya X = 0 -> f(0)= 5C0.3C3 / 8C3 = 1/56 X = 1 -> f(1)= 5C1.3C2 / 8C3 = 15/56 X = 2 -> f(2)= 5C2.3C1 / 8C3 = 30/56 X = 3 -> f(3)= 5C3.3C0 / 8C3 = 10/56 (3) Data diskrit atau kontinu? Data diskrit karena jumlah bola tidak ada pecahan (4) Gunakan persamaan diskrit:

Ekspektasi Fungsi Variabel Acak Apabila diketahui variabel acak Y = g(X). Nilai ekspektasi matematik dari variabel acak Y dapat diketahui berdasar hubungan fungsi distribusi antara X dan Y.

Sifat Ekspektasi 1. Jika c merupakan konstanta 2. Jika X dan Y adalah variabel acak 3. Jika X dan Y adalah variabel acak saling bebas

Contoh 3 Diketahui fungsi kerapatan (pdf) dari variabel acak kontinu X sebagai berikut Nilai suatu variabel acak Y merupakan fungsi dari X y = 3x2 + 2x Tentukan nilai ekspektasi dari X, Y Buktikan: E(Y) = 3E(X2) + 2E(X)

Metode penyelesaian ekspektasi X lihat contoh 1 E(X) = 4/3 Penyelesaian ekspektasi Y: y = 3x2 + 2x, karena Y adalah fungsi dari X g(x), gunakan ekspektasi fungsi variabel acak Data kontinu / diskrit? Kontinu, karena terdapat kata “kerapatan” (3) Gunakan persamaan untuk data kontinu:

Buktikan: E(Y) = 3E(X2) + 2E(X)

(terbukti)

Ekspektasi Fungsi Gabungan Apabila X dan Y merupakan variabel acak dari fungsi distribusi gabungan f(x,y), nilai ekspektasi matematiknya dapat diketahui.

Contoh Tentukan nilai ekspektasi dari E(Y/X) jika diketahui fungsi kerapatannya

Ditanya: nilai expektasi (Y/X) karena yang ditanyakan merupakan fungsi dari dua variabel acak {g(x,y)=y/x}, maka gunakan persamaan ekspektasi fungsi gabungan (2) Data kontinu / diskrit? Data kontinu, karena terdapat kata “kerapatan” (3) Gunakan persamaan ekspektasi fungsi gabungan kontinu:

Ada pertanyaan?

Soal Berapakah nilai ekspektasi munculnya sisi “gambar” pada 3 kali pelemparan uang logam. Toko kimia mendapat untung Rp 700,- untuk penjualan 1 liter metanol. Fungsi distribusi dari penjualan selama satu bulan dalam liter diketahui. Berapa rata-rata keuntungan dalam satu bulan. X dan Y merupakan variabel acak dari fungsi kerapatan probabilitas. Tentukan nilai ekspektasi dari Z = (X2 + 3Y)