SYSTEMATIC RANDOM SAMPLING PERTEMUAN 8 SYSTEMATIC RANDOM SAMPLING Praktikum Metode Penarikan Contoh 1 Kelas 2KS1 Oleh: Adhi Kurniawan SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK

Pengantar Pada penarikan sampel acak sederhana (SRS) setiap unit dipilih dengan menggunakan tabel angka random. Dengan demikian kita harus menarik sampel sebanyak n kali. Untuk memperingan penarikan sampel ini maka diterapkan penarikan sampel secara sistematik, dengan hanya mengambil satu angka random saja dan lainnya akan mengikuti dengan menghitung interval-nya.

SRS vs Systematic

Deskripsi Systematic sampling adalah suatu teknik sampling di mana hanya unit sampel pertama dipilih dengan bantuan angka random dan untuk mendapatkan sampel sisanya dipilih secara otomatis menurut interval yang ditentukan sebelumnya.

PRINSIP Ada interval (k) antar unit sampel: 𝑘= 𝑁 𝑛 Unit sampel pertama dipilih secara acak Cara 1: antara 1-k (Linear Systematic Sampling) Cara 2: antara 1-N (Circular Systematic Sampling) Unit sampel berikutnya ditentukan oleh interval (k) Misal: N=60; n=10; maka 𝑘= 60 10 =6

Linear Systematic Sampling a. Hitung interval, yaitu 𝑘= 𝑁 𝑛 b. Tentukan satu angka random yang lebih kecil atau sama dengan intervalnya (pilih AR≤𝑘) dari tabel angka random Angka random ini selanjutnya disebut angka random pertama 𝐴𝑅 1 . Unit yang nomor urutnya sama dengan AR ini terpilih sebagai sampel pertama. c. Angka random selanjutnya dihitung dengan interval: 𝐴𝑅 2 = 𝐴𝑅 1 +𝑘 𝐴𝑅 3 = 𝐴𝑅 2 +𝑘= 𝐴𝑅 1 +2𝑘 𝐴𝑅 4 = 𝐴𝑅 3 +𝑘= 𝐴𝑅 1 +3𝑘 … 𝐴𝑅 𝑛 = 𝐴𝑅 𝑛−1 +𝑘= 𝐴𝑅 1 + 𝑛−1 𝑘 Unit yang nomor urutnya sama dengan AR di atas terpilih sebagai sampel. d. Jika N tidak dapat dinyatakan dalam bentuk N=nk, maka k diambil sebagai bilangan bulat yang paling dekat dengan N/n.

Contoh Dari populasi N=10 orang ingin diambil sampel n=3 orang sebagai sampel secara sistematik linear. Pengambilan angka random pertama dari TAR halaman 1 baris 1 kolom 1 dengan independent choice of digits. Interval: 𝑘= 𝑁 𝑛 = 10 3 =3,33≈3 𝐴𝑅 1 =𝟐 ( 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑘 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟→𝐴𝑅 1 ≤𝑘) 𝐴𝑅 2 = 𝐴𝑅 1 +𝑘=2+3=𝟓 𝐴𝑅 3 = 𝐴𝑅 2 +𝑘=5+3=𝟖 Baris Kolom (1-5) 1 88347 2 57140 3 74686 4 68013 5 57477 6 89127 7 26519 8 48045 9 22531 10 84887 11 72047 12 19645 13 46884 14 92289 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Circular Systematic Sampling a. Hitung interval, yaitu 𝑘= 𝑁 𝑛 b. Tentukan satu angka random yang lebih kecil atau sama dengan populasi (pilih AR≤𝑁) dari tabel angka random. Angka random ini selanjutnya disebut angka random pertama 𝐴𝑅 1 . Unit yang nomor urutnya sama dengan AR ini terpilih sebagai sampel pertama. c. Angka random selanjutnya dihitung dengan interval: 𝐴𝑅 2 = 𝐴𝑅 1 +𝑘 𝐴𝑅 3 = 𝐴𝑅 2 +𝑘= 𝐴𝑅 1 +2𝑘 𝐴𝑅 4 = 𝐴𝑅 3 +𝑘= 𝐴𝑅 1 +3𝑘 … 𝐴𝑅 𝑛 = 𝐴𝑅 𝑛−1 +𝑘= 𝐴𝑅 1 + 𝑛−1 𝑘 Unit yang nomor urutnya sama dengan AR di atas terpilih sebagai sampel. e. Jika setelah ditambahkan dengan interval, didapatkan AR yang lebih besar dengan nilai populasi (N) maka kurangkan AR tsb dengan nilai N. Unit yang nomor urutnya sama dengan AR setelah dikurangi N adalah unit yang terpilih sebagai sampel

Contoh Dari populasi N=10 orang ingin diambil sampel n=3 orang sebagai sampel secara sistematik sirkuler. Pengambilan angka random pertama dari TAR halaman 1 baris 6 kolom 2 dengan remainder approach. Interval: 𝑘= 𝑁 𝑛 = 10 3 =3,33≈3 𝐴𝑅 1 =𝟓 ( 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑘 𝑠𝑖𝑟𝑘𝑢𝑙𝑒𝑟→𝐴𝑅 1 ≤𝑁) 𝐴𝑅 2 = 𝐴𝑅 1 +𝑘=5+3=𝟖 𝐴𝑅 3 = 𝐴𝑅 2 +𝑘=8+3=11, ;karena lebih dari N maka 11−10=1≈𝟏 Baris Kolom (1-5) 1 88347 2 57140 3 74686 4 68013 5 57477 6 89127 7 26519 8 48045 9 22531 10 84887 11 72047 12 19645 13 46884 14 92289 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Systematic Arrangement Selain untuk mempermudah penarikan sampel, penarikan sampel sistematik juga dapat meningkatkan efisiensi, misal dengan mengadakan pengaturan unit-unit (systematic arrangement). Contoh: Misalkan, ada populasi sebanyak 8 pegawai ingin diambil sampel sebanyak 4 orang dan diteliti mengenai loyalitas mereka terhadap instansi mereka bekerja. Misal, 𝐴𝑅 1 =2 dan 𝑘= 8 4 =2 sehingga sampel terpilihnya 2,4,6,8 Data sebelum diurutkan: No 1 2 3 4 5 6 7 8 Nama Pegawai Amin Rizal Anis Harun Risma Fahri Ika Aris Jenis Kelamin L P Masa kerja 26 23 15 10 9 24 19

Systematic Arrangement Populasi dikelompokkan berdasarkan jenis kelamin: Populasi diurutkan berdasarkan masa kerja Populasi diurutkan berdasarkan jenis kelamin dan masa kerja. No 1 2 3 4 5 6 7 8 Nama Pegawai Amin Rizal Harun Fahri Aris Anis Risma Ika Jenis Kelamin L P Masa kerja 26 23 9 19 15 10 24 No 1 2 3 4 5 6 7 8 Nama Pegawai Harun Fahri Risma Anis Aris Rizal Ika Amin Jenis Kelamin L P Masa kerja 9 10 15 19 23 24 26 No 1 2 3 4 5 6 7 8 Nama Pegawai Harun Fahri Aris Rizal Amin Risma Anis Ika Jenis Kelamin L P Masa kerja 9 19 23 26 10 15 24

KOMPOSISI K SAMPEL SISTEMATIK NOMOR SAMPEL 1 2 … i k 𝑦 1 𝑦 2 𝑦 𝑖 𝑦 𝑘 𝑦 𝑘+1 𝑦 𝑘+2 𝑦 𝑘+𝑖 𝑦 2𝑘 𝑦 𝑛−1 𝑘+1 𝑦 𝑛−1 𝑘+2 𝑦 𝑛−1 𝑘+𝑖 𝑦 𝑛𝑘 Rata-rata 𝑦 1 𝑦 2 𝑦 𝑖 𝑦 𝑘

PENDUGA RATA-RATA POPULASI Linear Systematic Sampling Jika N=nkrata-rata sampel dari sebuah sampel sistematik merupakan penduga unbiased dari rata-rata populasi Jika N≠nkrata-rata sampel dari sebuah sampel sistematik merupakan penduga biased dari rata-rata populasi Circular Systematic Sampling (N=nk maupun N≠nk) Rata-rata sampel akan selalu merupakan penduga unbiased

Ilustrasi Perbandingan Sistematik Linear dan Sirkuler untuk N=nk Sistematik linear Jika diambil sampel dengan interval k=2, maka kemungkinan sampelnya: 1,3 2,4 Sistematik Sirkuler Jika diambil sampel dengan interval k=2, maka kemungkinan sampelnya: 1,3 2,4 1 2 3 4 1 2 3 4

Ilustrasi Perbandingan Sistematik Linear dan Sirkuler untuk N≠nk Sistematik linear Jika k=3, maka kemungkinan sampelnya: 1,4 2,5 3 Sistematik Sirkuler Jika k=3, maka kemungkinan sampelnya: 1,4 4,2 2,5 5,3 3,1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

PENDUGA RATA-RATA POPULASI 𝑦 𝑖 = 1 𝑛 𝑦 𝑖𝑗 rata-rata sampel untuk sampel sistematik ke-i 𝐸 𝑦 𝑠𝑦 = 1 𝑘 𝑦 1 + 𝑦 2 +…+ 𝑦 𝑘 (karena ada k possible sample, probability= 1 k ) = 1 𝑘 1 𝑛 𝑦 1 + 𝑦 1 +…+ 𝑦 𝑁 (jika N=nk) = 1 𝑁 𝑦 1 + 𝑦 1 +…+ 𝑦 𝑁 = 1 𝑁 𝑖=1 𝑁 𝑦 𝑖 = 𝑌

VARIANS PENDUGA RATA-RATA Penghitungan 𝑣( 𝑦 𝑠𝑦 ) membutuhkan informasi dari seluruh k sampel sistematik. 𝑣 𝑦 𝑠𝑦 = 1 𝑘 𝑖=1 𝑘 𝑦 𝑖 − 𝑌 2 …(1) 𝑣 𝑦 𝑠𝑦 = 𝑁−1 𝑁 𝑆 2 − 𝑘(𝑛−1) 𝑁 𝑆 𝑤𝑠𝑦 2 … (2) 𝑆 2 = 1 𝑁−1 𝑖=1 𝑘 𝑗=1 𝑛 ( 𝑦 𝑖𝑗 − 𝑌 ) 2 𝑆 𝑤𝑠𝑦 2 = 1 𝑘(𝑛−1) 𝑖 𝑘 𝑗 𝑛 𝑦 𝑖𝑗 − 𝑦 𝑖 2 Varians within sampel sistematis yang besar mengindikasikan bahwa sampel tsb adalah HETEROGEN Varians within dari k sampel sistematik

INTRACLASS CORRELATION COEFFICIENT Misal populasi: 1,2,3,4,5 | 1,2,3,4,5 | 1,2,3,4,5 periodicity Misal 2 terpilih sampel dan k=5, sehingga sampel sistematik: 2,2,2 homogen dan tidak representatif Varians within=0 dan 𝑣( 𝑦 𝑠𝑦 ) akan besar. Bagaimana mengukur kehomogenan atau keheterogenan ini ? INTRACLASS CORRELATION COEFFICIENT

INTRACLASS CORRELATION COEFFICIENT Ukuran yang menyatakan tingkat kehomogenan dalam sebuah sampel sistematik di antara pasangan unit dalam sampel sistematik yang sama adalah intraclass correlation coefficient (𝜌) 𝜌= 𝐸( 𝑦 𝑖𝑗 − 𝑌 )( 𝑦 𝑖 𝑗 ′ − 𝑌 ) 𝐸 ( 𝑦 𝑖𝑗 − 𝑌 ) 2 𝑣 𝑦 𝑠𝑦 = 𝑆 2 𝑛 𝑁−1 𝑁 1+(𝑛−1)𝜌 …(3)

INTRACLASS CORRELATION COEFFICIENT Ketika ada n unit sampling dalam sebuah sampel sistematik, maka ada 𝑛 2 = 𝑛(𝑛−1) 2 pasangan unit sampling yang berbeda yang bisa kita pilih Karena keseluruhan ada k sampel sistematis, ada 𝑘𝑛(𝑛−1) 2 pasangan yang berbeda, sehingga: 𝐸 𝑦 𝑖𝑗 − 𝑌 𝑦 𝑖 𝑗 ′ − 𝑌 = 2 𝑘𝑛(𝑛−1) 𝑖=1 𝑘 𝑗<𝑗′ 𝑛 𝑦 𝑖𝑗 − 𝑌 𝑦 𝑖 𝑗 ′ − 𝑌 𝐸 ( 𝑦 𝑖𝑗 − 𝑌 ) 2 = 1 𝑁 𝑖=1 𝑘 𝑗=1 𝑛 ( 𝑦 𝑖𝑗 − 𝑌 ) 2 = 𝑁−1 𝑁 1 𝑁−1 𝑖=1 𝑘 𝑗=1 𝑛 ( 𝑦 𝑖𝑗 − 𝑌 ) 2 = 𝑁−1 𝑁 𝑆 2

INTRACLASS CORRELATION COEFFICIENT 𝜌= 2 𝑘𝑛(𝑛−1) 𝑖=1 𝑘 𝑗<𝑗′ 𝑛 𝑦 𝑖𝑗 − 𝑌 𝑦 𝑖 𝑗 ′ − 𝑌 . 𝑁 (𝑁−1) 𝑆 2 𝑉 𝑦 𝑠𝑦 = 𝑆 2 𝑛 𝑁−1 𝑁 1+(𝑛−1)𝜌 Jika 𝜌 besar dan positif 𝑣( 𝑦 𝑠𝑦 ) besar (unit-unit homogen dalam sampel sistematik) Jika 𝜌 kecil dan (+/-)  𝑣( 𝑦 𝑠𝑦 ) kecil (unit-unit heterogen dalam sampel sistematik) Jika 𝜌=0  𝑣( 𝑦 𝑠𝑦 ) = 𝑣( 𝑦 𝑠𝑟𝑠 )

EFISIENSI 𝑣 𝑦 𝑠𝑟𝑠 = 𝑆 2 𝑛 𝑁−𝑛 𝑁 𝑣 𝑦 𝑠𝑦𝑠 = 𝑆 2 𝑛 𝑁−1 𝑁 1+(𝑛−1)𝜌 𝑣 𝑦 𝑠𝑟𝑠 = 𝑆 2 𝑛 𝑁−𝑛 𝑁 𝑣 𝑦 𝑠𝑦𝑠 = 𝑆 2 𝑛 𝑁−1 𝑁 1+(𝑛−1)𝜌 𝑣( 𝑦 𝑠𝑦𝑠 ) 𝑣( 𝑦 𝑠𝑟𝑠 ) = (𝑁−1) 1+(𝑛−1)𝜌 𝑛(𝑘−1) Agar systematic sampling memiliki presisi yang sama dengan SRS, maka: (𝑁−1) 1+(𝑛−1)𝜌 𝑛(𝑘−1) =1 𝜌= −1 𝑛𝑘−1 = −1 𝑁−1

EFISIENSI Karena N biasanya besar, 𝜌 seharusnya kecil agar systematic sampling memiliki presisi yang sama dengan SRS. Nilai 𝜌 akan kecil jika unit-unit sampling dalam populasi didistribusikan secara random, sehingga 𝑣 𝑦 𝑠𝑟𝑠 bisa digunakan untuk sistematic sampling

Latihan 1. Dari populasi sebanyak 12 unit yang masing-masing mempunyai nilai karakteristik: 2,3,5,7,8,10,12,14,15,16,18,20 diambil sampel sebanyak 4 dengan sistematik. Hitunglah rata-ratanya. Hitunglah nilai variansnya dengan 3 cara.

Latihan 2. Dari data populasi di bawahi ini, hitunglah relative efisiensi dari systematic sampling dibandingkan dengan SRS WOR dalam melakukan pendugaan terhadap rata-rata jika diambil sampel sebanyak 4 unit ! Hitunglah nilai koefisien korelasi intraklas ! No y 1 3 11 10 21 22 31 39 2 12 25 32 43 13 23 29 33 46 4 14 24 30 34 50 5 15 35 53 6 16 26 36 52 7 17 27 37 57 8 18 28 38 59 9 19 20 40 63 41 62

Tingkat Pendidikan KRT Latihan 3. Berikut ini adalah populasi rumah tangga di suatu daerah. No KRT Pekerjaan utama Tingkat Pendidikan KRT Pengeluaran Sebulan   1 Amin 2 817066 16 Ridho 859338 Udin 465105 17 Farhan 1180127 3 Sahrul 354916 18 Paimo 762751 4 Toha 413434 19 Slamet 521193 5 Mustofa 978112 20 Parno 1168162 6 Sahid 963080 21 Aris 892805 7 Karmin 781984 22 Erlan 370198 8 Ruhida 367448 23 Ade 668337 9 Marsani 499267 24 Rusmini 456003 10 Indra 996401 25 Margo 916960 11 Budi 482339 26 Parimin 944491 12 Anto 535804 27 Hendra 742768 13 Retno 1028200 28 Jon Key 461729 14 Ardi 1141519 29 Rudi 786563 15 Faridh 816294 30 Harun 666605 Pekerjaan:1: Pertanian, 2:Nonpertanian Pendidikan: 1:SMP ke bawah, 2: SMA ke atas

Dari data populasi di di atas, terlebih dahulu lakukan pengurutan rumah tangga berdasarkan pekerjaan utama KRT dan tingkat pendidikan KRT lalu lakukan penarikan sampel secara: Sistematik linear dengan n=9, gunakan TAR halaman 2 baris 1 kolom 1(pendekatan independent choice of digits). Dari sampel terpilih, perkirakan rata-rata pengeluaran rumah tangga. Sistematik sirkuler dengan n=9, gunakan TAR halaman 2 baris 1 kolom 5 (pendekatan remainder approach). Dari sampel terpilih, perkirakan rata-rata pengeluaran rumah tangga di daerah tersebut.

TERIMA KASIH Have A Nice Sampling