Analisis Vektor

Lingkup Bahasan Skalar dan Vektor Aljabar Vektor Sistem Koordinat Persegi Komponen-komponen Vektor dan Vektor Satuan Medan Vektor Hasil Kali Titik/Dot Product Hasil Kali Silang/Cross Product Sistem Koordinat Silinder Sistem Koordinat Bola

Skalar dan Vektor Perbedaan mendasar Aspek Skalar Vektor Besaran Ada Arah Tidak ada

Skalar dan Vektor Vektor dapat dinyatakan dalam bentuk panah. Panjang panah menyatakan besarnya vektor dan arah panah menunjukkan arah vektor Ekor panah disebut titik awal dan ujung panah disebut titik terminal

Jika titik awal suatu vektor v adalah P dan titik terminalnya adalah Q, maka dapat dituliskan sbb: Besaran vektor tersebut ditulis dalam bentuk: Vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama disebut vektor ekivalen (sama) misalnya Vektor nol merupakan vektor yang mempunyai besar 0

Aljabar vektor A+B=B+A Hukum komutatif penjumlahan Jika A,B,C adalah vektor-vektor dan m,n skalar-skalar,maka: A+B=B+A Hukum komutatif penjumlahan A+(B+C)=(A+B)+C Hukum asosiatif penjumlahan mA=Am Hukum komutatif perkalian m(nA)=(mn)A Hukum asosiatif perkalian (m+n)A=mA+nA Hukum distributif m(A+B)=mA+mB Hukum distributif Hasil penjumlahan vektor juga merupakan vektor (sifat tertutup) 1A =A Sifat identitas 0A = 0, m0 = 0. Jika mA = 0, maka m=0 atau A = 0

Jumlah atau resultan dari vektor-vektor dapat ditentukan dengan hukum jajargenjang seperti di bawah ini: v u u+v

Pengurangan Vektor Apabila pengurangan vektor maka caranya sama seperti penjumlahan namun vektor yang mengurangi dibalik arahnya B -B A A-B

Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan

Komponen-komponen Vektor dan Vektor Satuan Vektor komponen adalah vektor yang memiliki arah yang sama dengan salah satu sumbu koordinat Magnitudo/ besar vektor komponen ditentukan oleh vektor yang bersangkutan namun arahnya selalu diketahui dan bersifat konstan

Vektor x, y, dan z merupakan komponen dari vektor r berturut-turut dalam arah x, y, z seperti yang terlihat pada gambar ini

z z r x y y r=x+y+z x

Jumlah dari vektor-vektor komponen yang sejajar dengan sumbu x, y, dan z membentuk suatu vektor sehingga dapat disimpulkan bahwa vektor komponen merupakan penyusun suatu vektor

Vektor satuan Vektor satuan merupakan sebuah vektor yang besarnya satu dan arahnya sejajar sumbu koordinat Arah vektor satuan sejajar dengan arah sumbu koordinat pada arah bertambahnya harga koordinat Jika A adalah sebuah vektor yang besarnya A K0 maka A/A adalah sebuah vektor satuan yang arahnya sama dengan A

Besar vektor A yang dinyatakan dalam |A| dapat dihitung dengan persamaan: Sehingga vektor satuan a dinyatakan: a= A |A|

Terminologi: Vektor posisi Fungsi vektor berdasar posisi Fungsi skalar berdasar posisi Vektor posisi dengan titik awal di pusat koordinat O dan posisi di (x,y,z), dapat ditulis sebagai: dengan magnitude sebesar:

Contoh Soal 1. Cari sebuah vektor satuan yang sejajar resultan dari vektor-vektor r1=2i+4j-5k, r2=i+2j+3k Jawab: Resultan=r1+r2=(2i+4j-5k)+(i+2j+3k) =3i+6j-2k

Medan Skalar: Jika di masing-2 titik (x,y,z) di region R koresponding terhadap Φ(x,y,z), maka Φ disebut fungsi skalar terhadap posisi. Contoh: Temperatur pada setiap titik di muka bumi pada waktu tertentu merupakan fungsi medan skalar. Φ(x,y,z)= x3y-z2 adalah medan skalar

Medan Vektor Jika pada tiap-tiap titik (x,y,z) dari daerah R dalam ruang dikaitkan dengan sebuah vektor V(x,y,z) maka V disebut fungsi vektor dari kedudukan. Medan vektor V merupakan fungsi vektor dari vektor kedudukan yang telah didefenisikan dalam R.

Dot product A . B = |A| |B| cos  Hukum-hukum yang berlaku: A.B=B.A hukum komutatif A.(B+C)=A.B+A.C hukum distributif n(A.B) = (nA).B = A.(nB) = (A.B).n i.i=j.j=k.k=1, i.j=j.k=k.i=0 Jika A.B=0, A dan B bukan vektor nol maka A dan B tegak lurus

Cross product A X B = |A| |B| sin  Hukum-hukum yang berlaku: AxB=-BxA komutatif tak berlaku Ax(B+C)=AxB+AxC distributif m(AxB)= (mA)xB= Ax(mB)= (AxB)m ixi=jxj=kxk=0, ixj=k, jxk=i, kxi=j Jika AxB=0, A dan B bukan vektor nol maka A dan B sejajar

Perbedaan Dot dan Cross Aspek Dot Cross Fungsi trigonometri cos sin Hukum komutatif berlaku Tidak berlaku AxB=0 A dan B tegak lurus A dan B sejajar

Contoh Soal Diketahui F=2ax-5ay-4az dan G=3ax+5ay+2az. Carilah: (a)F.G (b)sudut antara F dan G Jawab a)F.G=(2ax-5ay-4az)(3ax+5ay+2az) =6-25-8 =-27 b)Sudut antara F dan G F.G = |F||G| cos 

Sistem Koordinat dalam Analisis Vektor Ada 3 jenis koordinat yang digunakan dalam analisis vektor yaitu: 1. Koordinat Cartesius/Cartesian 2. Koordinat silinder 3. Koordinat bola

Sistem Koordinat Cartesian Koordinat Cartesian digunakan untuk menyatakan benda yang mempunyai bentuk siku seperti garis lurus, bidang datar siku dan ruang siku-siku Koordinat Cartesian yang digunakan dapat berupa: 1. 2 dimensi (terdiri dari sumbu x dan y saja) 2. 3 dimensi (terdiri dari sumbu x, y, z)

Sistem Koordinat Cartesian 2 Dimensi Koordinat Cartesian 2 dimensi digunakan untuk menggambarkan objek 1 dimensi dan 2 dimensi Obyek 1 dimensi dapat berupa garis lurus ataupun garis lengkung Obyek 2 dimensi berupa bidang datar y x

Sistem Koordinat Cartesian 3 dimensi Memakai tiga sumbu koordinat yang saling tegak lurus, dan menamakannya sumbu X,Y dan Z. Z Y X

Sistem Koordinat Cartesian 3 Dimensi Biasanya dipakai sistem koordinat putar kanan: perputaran sumbu x menuju sumbu y akan mengakibatkan sebuah sekrup berorientasi tangan kanan bergerak ke arah yang ditunjukkan oleh sumbu z positif Koordinat Cartesian 3 dimensi digunakan untuk menggambar obyek berupa 1 dimensi, 2 dimensi, atau 3 dimensi

Sistem Koordinat Silinder Koordinat silinder atau koordinat tabung digunakan untuk menggambarkan obyek yang berbentuk lingkaran dengan simetri yang khas Terdapat 3 sumbu koordinat pada koordinat tabung: 1. sumbu  2. sumbu  3. sumbu z

Sistem Koordinat Silinder (cont’d) Berikut ini gambar vektor pada koordinat silinder

Sistem Koordinat Silinder (cont’d) Peubah dalam koordinat Cartesian dan koordinat tabung dapat ditemukan hubungan sebagai berikut: x= cos  y=  sin  z=z Atau sebaliknya:

Sistem Koordinat Silinder (cont’d)

Sistem Koordinat Bola Koordinat bola digunakan untuk menyatakan suatu objek yang mempunyai bentuk simetri bola. Contoh adalah medan listrik yang ditimbulkan oleh sebuah muatan titik. Berdasarkan rumus: E=1/4πε0 qr2 Maka titik-titik yang berjari-jari sama akan mempunyai medan listrik yang sama. Posisi medan yang berada di sekitar muatan titik akan sulit dijelaskan dengan koordinat Cartesius maupun tabung karena bentuk medan yang bundar. Oleh karena itu digunakan sistem koordinat bola agar mudah dibayangkan. Untuk menyatakan besaran vektor, koordinat bola menggunakan 3 sumbu koordinat yaitu r, ø dan 

Sistem Koordinat Bola (cont’d) Penggambaran sistem koordinat bola

Mengubah Koordinat Kartesius ke Bola dan Sebaliknya Dari kartesius ke bola: X=r sin  cos  Y=r sin  sin  Z=r cos  Dari bola ke kartesius r=x2+y2+z2 (r>0)

Contoh Soal Tanya: Nyatakan medan temperatur T=240+z2-2xy dalam koordinat tabung Jawab: Hubungan cartesian dan koordinat tabung X= cos  Y=  sin  maka T=240+z2-2 ( cos )( sin ) =240+z2- 2sin2

Penerapan Analisa Vektor dalam Kehidupan Sehari-hari Pengukuran yang lebih efektif dari sinyal RF seperti Bluetooth, GSM, or 802.11 wireless networking Air traffic control untuk membantu navigasi pesawat terbang Pembedahan cacat mata astigmatisma

Referensi Hayt,William.H.”Elektromagnetika Edisi ke-7”.Erlangga Spiegel, Murray R.1994.”Analisis Vektor”.Erlangga

SOAL PR, Tugas Individu, Kumpul 10 Februari 2011 Misalkan u = (1,2,3) v = (2,-3,1) w = (3,2,-1) carilah komponen vektor x yang memenuhi : 2u – v + x = 7x + w Misalkan u,v,w adalah vektor seperti soal 1, carilah skalar c1, c2 dan c3 sehingga : c1u + c2v + c3w = (6,14,-2) Hitunglah jarak antara P1(8,-4,2) dan P2 (-6,-1,0) Carilah semua skalar sehingga dimana v = (1,2,4)