2 Teori Peluang

Percobaan Acak Tujuan: untuk memahami, mengukur dan memodelkan keragaman yang mempengaruhi perilaku fisik suatu sistem. Model digunakan untuk menganalisis/memprediksi perilaku sistem dan outputnya ketika input dirubah. Dengan percobaan dilakukan verifikasi terhadap prediksi tsb. Figure 2-1 Continuous iteration between model and physical system.

Gangguan/Noise yang Menghasilkan Keragaman Output Nilai random/acak dari variabel gangguan tidak dapat dikontrol Menyebabkan keragaman acak pada variabel output. Walaupun input konstan, output akan bervariasi. Figure 2-2 Noise variables affect the transformation of inputs to outputs.

Percobaan Acak Percobaan yang dilakukan untuk memperoleh hasil yang tidak dapat diketahui Percobaan tersebut sudah didasari pada hukum tertentu yang bisa dikontrol Hasil percobaan akan selalu berbeda jika dilakukan berulang-ulang walaupun dilakukan dengan cara dan situasi yang sama.

Sifat acak Mempengaruhi Hukum Alam/Fisika Menurut hukum Ohm, kekuatan arus adalah fungsi linier dari voltase (I=V/R) - Walaupun voltase dibuat konstan, arus akan tetap bervariasi akibat adanya variabel gangguan/noise Figure 2-3 A closer examination of the system identifies deviations from the model.

Ruang Sampel Percobaan acak mempunyai hasil yang unik. Himpunan seluruh hasil yang mungkin disebut dengan ruang sampel S. S bersifat diskrit ketika himpunan tersebut beranggotakan hasil yang dapat dicacah dengan jumlah terbatas. S bersifat kontinyu jika himpunan tersebut berupa interval (terbatas maupun tak hingga) dari bilangan riil. Sec 2-1.2 Sample Spaces

Contoh: Mendefinisikan ruang sampel Memilih secara acak dan mengukur ketebalan suatu komponen: S = R+ = {x|x > 0}, garis bilangan positif. Ketebaan negatif tidak mungkin Bersifat kontinyu Diketahui bahwa ketebalannya di antara 10 dan 11 mm S = {x|10 < x < 11} Diketahui bahwa ketebalan hanya punya tiga kategori: S = {low, medium, high} Bersifat diskrit Jika yang diamati adalah spesifikasi dari ketebalan memenuhi standar atau tidak S = {yes, no} Diskrit

Identifikasi Ruang Sampel dengan Diagram Pohon Contoh: Mobil baru dilengkapi dengan beberapa pilihan sbb: Transmisi manul atau otomatis Dengan atau tanpa AC Tiga pilihan stereo sound systems Empat pilihan warna interior Figure 2-6 Diagram pohon untuk konfigurasi/pilihan mobil yang berbeda. Maka S beranggotak 2*2*3*4 = 48 kemungkinan.

Kejadian adalah Himpunan dari Hasil Percobaan Suatu kejadian (E) adalah himpunan bagian dari ruang sampel suatu percobaan: Satu atau lebih hasil percobaan di dalam ruang sampel. Kejadian-kejadian dapat dioperasikan sbb: Gabungan (union) dari dua kejadian E dan F: E ⋃ F Himpunan dari seluruh hasil percobaan di E atau di F atau di kedua-duanya Irisan (intersection) dari dua kejadian E dan F : E ∩ F Himpunan dari seluruh hasil percobaan yang berada di E dan di F Komplemen suatu kejadian E: seluruh komponen ruang sampel yang tidak termasuk di E: E’

DiagramVenn Menunjukkan Hubungan antar Kejadian Figure 2-8 Venn diagrams

Diagram Venn untuk Kejadian Saling Lepas Jika kejadian A dan B tidak mempunyai komponen atau hasil yang sama maka keduanya saling lepas (mutually exclusive). A  B = Ø Figure 2-9 Mutually exclusive events

Counting Techniques (Mencacah ruang sampel) Untuk mencacah komponen suatu kejadian dan ruang sampel. Tiga metode: Kaidah perkalian Kaidah permutasi Kaidah kombinasi

Kaidah Perkalian Misal: suatu prosedur operasi dengan k langkah di mana setiap langkah terdiri dari: n1 cara menyelesaikan langkah 1, n2 cara menyelesaikan langkah 2, … dan nk cara menyelesaikan cara k. Maka terdapat n1 * n2*…*nk cara untuk melakukan prosedur operasi tsb. Sec 2-1.4 Counting Techniques

Contoh: Dalam mendesain gear housing, dapat dipilih: 4 diameter bolt yang berbeda, 3 panjang bolt, 2 posisi meletakkan bolt. Berapa banyak desain yang mungkin dapat dibuat? 4 *3 * 2 = 24 Sec 2-1.4 Counting Techniques

Aturan Permutasi Urutan yang berbeda dari beberapa komponen yang dapat dibedakan. Jika S = {a, b, c}, maka terdapat 6 permutasi abc, acb, bac, bca, cab, cba (urutan penting) # permutasi dari sekumpulan n komponen adalah n! Secara definisi: 0! = 1 Sec 2-1.4 Counting Techniques

Sub-set Permutasi Cara mengurutkan r komponen dari n komponen: Sec 2-

Contoh: Desain Circuit Board Cetakan circuit board mempunyai 8 lokasi penempatan komponen. Jika 4 komponen berbeda akan diletakkan pada circuit board tersebut, berapa desain yang mungkin terbentuk? Urutan penting, permutasi dengan n = 8, r = 4.

Aturan Kombinasi Kombinasi adalah pemilihan r komponen dari sekumpulan n komponen di mana urutan tidak penting. Jika S = {a, b, c}, n =3, maka akan diperoleh 1 kombinasi saja. Jika r =3, terdapat 1 kombinasi: abc Jika r=2, terdapat 3 kombinasi: ab, ac, bc # permutasi ≥ # kombinasi

Sebuah circuit board dengan 8 lokasi penempatan komponen. Contoh: Sebuah circuit board dengan 8 lokasi penempatan komponen. Akan diletakkan 5 komponen yang tidak dapat dibedakan pada circuit board tersebut. Berapa desain yang mungkin dapat dibuat? Karena tidak dapat dibedakan, maka urutan tidak penting: aturan kombinasi Sec 2-1.4 Counting Techniques

Peluang Peluang adalah kemungkinan bahwa suatu hasil atau kejadian dari suatu percobaan acak akan terjadi. Berupa angka pada selang [0,1]. Dapat dinyatakan sebagai Proporsi (0.15) Persentase (15%) Pecahan (3/20) Arti dari peluang bernilai 1: kejadian pasti 0: kejadian yang tidak mungkin

Tipe Peluang Peluang subyektif adalah tingkat/derajat kepercayaan “terdapat 50% kemungkinan bahwa saya akan belajar malam ini” Frekuensi relatif peluang yang didasarkan pada berapa sering suatu kejadian terjadi berdasarkan ruang sampel tertentu Figure 2-10 Relative frequency of corrupted pulses over a communications channel

Peluang Berdasarkan Hasil Dengan Kemungkinan yang Sama Ketika ruang sampel terdiri dari N hasil dengan kemungkinan yang sama, maka setiap hasil mempunyai peluang 1/N. Contoh: Di dalam satu kotak berisi 100 bola lampu, 1 bola lampu diberi warna merah. Bola lampu tersebut dipilih secara acak dari kotak Acak  setiap bola lampu mempunyai peluang yang sama untuk terpilih. Peluang untuk memilih bola lampu dengan warna merah adalah 0.01 (1/100), karena setiap hasil di dalam ruang sampel mempunyai kemungkinan yang sama.

Contoh: Diasumsikan bahwa 30% dari bola lampu di dalam kotak (berisi 100) tadi memenuhi kualifikasi yang dibutuhkan pelanggan. 30 bola lampu memenuhi kualifikasi 70 bola lampu tidak memenuhi kualifikasi Satu bola lampu dipilih acak. Setiap bola lampu mempunyai peluang sama untuk terpilih (sebesar 0.01). Peluang bahwa yang terpilih adalah bola lampu dengan kualifikasi baik adalah: Figure 2-11 Probability of the event E is the sum of the probabilities of the outcomes in E. Sec 2-2 Interpretations & Axioms of Probability

Peluang suatu Kejadian Untuk ruang sampel diskrit, peluang suatu kejadian E, dinotasikan dengan P(E): Jumlah peluang seluruh kejadian yang ada di E. Ruang sampel diskrit dapat berupa: Hasil percobaan berupa himpunan berhingga. Hasil percobaan berupa himpunan tak hingga akan tetapi dapat dicacah. Penjelasan lebih detil dibutuhkan untuk menggambarkan peluang yang sehubungan dengan ruang sampel kontinyu.

Contoh: Peluang Suatu Kejadian Suatu percobaan acak mempunyai ruang sampel {w,x,y,z}. Hasil di dalam ruang sampel ini tidak mempunyai kemungkinan yang sama, Peluang masing-masing hasil secara berturut-turut: 0.1, 0.3, 0.5, 0.1. Kejadian A ={w,x}, kejadian B = {x,y,z}, kejadian C = {z} P(A) = 0.1 + 0.3 = 0.4 P(B) = 0.3 + 0.5 + 0.1 = 0.9 P(C) = 0.1

Peluang masing-masing hasil secara berturut-turut: 0.1, 0.3, 0.5, 0.1. S={w,x,y,z}. Peluang masing-masing hasil secara berturut-turut: 0.1, 0.3, 0.5, 0.1. Kejadian A ={w,x}, kejadian B = {x,y,z}, kejadian C = {z} Kejadian A’ ={y,z}, kejadian B’ = {w}, kejadian C’ = {w,x,y} P(A’) = 0.5+0.1 = 0.6 P(B’) = 0.1 P(C’) = 0.9 Karena kejadian AB = {x}, maka: P(AB) = 0.3 Karena kejadian AB = {w,x,y,z}, maka: P(AB) = 1.0 Karena kejadia AC = {null}, maka: P(AC ) = 0.0 Sec 2-

Contoh: Partikel Kontaminasi Dilakukan pemeriksaan terhadap keping semikonduktor. Sebuah keping semikonduktor diambil secara acak. E adalah kejadian memilih keping tanpa partikel kontaminasi P(E) = 0.40 F adalahkejadian memilih keping dengan 3 atau lebih partikel kontaminasi: P(F) = 0.10+0.05+0.10 = 0.25

Aksioma Peluang Peluang adalah angka yang bersesuaian dengan masing-masing anggota suatu kejadian hasil percobaan acak. Dengan sifat-sifat berikut P(S) = 1 0 ≤ P(E) ≤ 1 Untuk setiap kejadia E1 dan E2 di mana E1E2 = Ø, P(E1E2) = P(E1) + P(E2) Berimplikasi: P(Ø) =0 and P(E’) = 1 – P(E) Jika E1 himpunan bagian dari E2, maka P(E1) ≤ P(E2).

Aturan Lain Beberapa kejadian dapat dioperasikan sbb: Gabungan: A  B Irisan: A  B Komplemen: A’ Peluang dari hasil operasi di atas dapat ditentukan dari peluang masing-masing kejadian yang menyusunnya. Sec 2-3 Addition Rules

Contoh: Dari 940 keping konduktor dengan karakteristik yang disajikan pada tabel 2-1. Akan diambil 1 secara acak H adalah kejadian di mana terdapat kontaminasi dengan konsentrasi tinggi. Maka P(H) = 358/940. Peluang bahwa keping terambil bertipe C: P(C) = 626/940.

Peluang bahwa terambil keping dengan kontaminasi konsentrasi tinggi dan bertipe C: P(HC) = 112/940 Peluang bahwa terambil keping dengan kontaminasi konsentrasi tinggi atau bertipe C: P(HC) = P(H) + P(C) - P(HC) = (358+626-112)/940

Peluang gabungan dua kejadian Jika dua kejadian A dan B saling lepas maka

Contoh: Proporsi keping konduktor dengan jumlah kontaminasi untuk setiap tipe disajikan pada Tabel 2-2. E1 adalah kejadian bahwa keping mempunyai 4 atau lebih partikel kontaminasi: P(E1) = 0.05+0.1=0.15 E2 adalah kejadian bahwa keping terambil bertipe E. P(E2) = 0.28

Kejadian di mana keping terambil terkontaminasi 4 atau lebih partikel dan bertipe E adalah irisan antara E1 dan E2: P(E1E2) = 0.01+ 0.03=0.04 Kejadian di mana keping terambil terkontaminasi >=4 partikel atau bertipe E adalah kejadian gabungan: P(E1E2) =0.15 + 0.28 – 0.04 = 0.39

Diagram Venn Dari Kejadian-kejadian Saling Lepas - Jika kejadian-kejadian tersebut saling lepas maka setiap hasil hanya terjadi pada satu kejadian - Tidak terdapat irisan dari dua atau lebih kejadian.

Contoh Jika X adalah variabel yang menyatakan pH dari suatu sampel. Peluang suatu kejadian di mana pH bernilai lebih dari 6.5 dan paling tinggi 7.5: 6.5< X ≤ 7.5 Dapat dibagi menjadi dua kejadian saling lepas 6.5 < X ≤ 7.0 dan 7.0 < X ≤ 7.5 Karena saling lepas maka peluangnya dapat ditambahkan: P(6.5 < X ≤ 7.5) =P(6.5 < X ≤ 7.0) + P(7.0 < X ≤ 7.5)

Kejadian Saling Bebas Dua kejadian saling bebas jika berlaku: P(AB) = P(A)*P(B) Hal ini berarti bahwa terjadinya satu kejadian tidak mempengaruhi terjadinya kejadian lain. Sec 2-6 Independence

Contoh: Dari 850 produk hasil suatu proses produksi terdiri dari 50 produk cacat Dua produk diambil satu per satu secara acak Pengambilan pertama dikembalikan sebelum pengambilan produk kedua. A adalah kejadian di mana pengambilan pertama adalah produk rusak: P(A) = 50/850 B adalah kejadian di amna pengambilan kedua adalah produk rusak: P(B) = 50/850 Karena dilakukan pengembalian sebelum diambil produk kedua maka apa yang terjadi di pengambilan pertama tidak mempengaruhi pengambilan kedua. Hukum kebebasan berlaku: Peluang bahwa produk rusak terambil pada pengambilan pertama dan kedua: P(A)*P(B) = 50/850 *50/850 = 0.0035.

Kebebasan Untuk Lebih dari Dua kejadian Kejadian E1, E2, … , Ek adalah saling bebas jika dan hanya jika: P(E1E2  … , Ek) = P(E1)* P(E2)*…* P(Ek) (2-14)

Contoh: Sirkuit Seri Sirkuit ini hanya dapat bekerja jika masing-masing komponen berfungsi semua dari kiri ke kanan. Peluang berfungsi dengan baik untuk masing-masing komponen dapat dilihat pada gambar. Jika diasumsikan bahwa kegagalan komponen tidak saling mempengaruhi satu sama lain, berapa peluang bahwa sirkuit dapat berfungsi? Jika L & R menyatakan kejadian komponen kiri dan kanan dapat berfungsi. Maka peluang bahwa sirkuit dapat berfungsi adalah: P(LR) = P(L) * P(R) = 0.8 * 0.9 = 0.72.

Contoh: Sirkuit Parallel Sirkuit pararel dapat beroperasi jika salah satu komponen dapat berfungsi. Sirkuit gagal bekerja jika semua komponen gagal berfungsi. Peluang komponen dapat bekerja disajikan pada gambar. Masing-masing beroperasi secara bebas. T & B adalah kejadian di mana komponen atas dan bawah berfungsi. Peluang bahwa sirkuit dapat berfungsi adalah komplemen dari semua komponen gagal berfungsi.

Peluang komponen Atas gagal berfungsi: P(T’)=1-0.95 = 0.05 Peluang komponen Bawah gagal berfungsi: P(B’)=1-0.95 = 0.05 Peluang kedua komponen gagal berfungsi: P(T’  B’) = P(T’)*P(B’) = 0.052 = 0.0025

Peluang sirkuit dapat berfungsi adalah P(T B) = 1 - P(T’∩ B’) =1- 0.052 = 0.9975

Peubah acak (Random Variables) Peubah yang memetakan hasil suatu percobaan acak pada suatu angka tertentu dinamakan peubah acak. Peubah acak adalah fungsi yang memetakan bilangan riil pada setiap hasil percobaan acak yang ada di ruang sampel. Dinotasikan dengan X. Setelah percobaan dilakukan, hasil pengukuran/pengamatan dari variabel tersebut akan diketahui= Dinyatakan dengan x = 70. P(X=x)=P(X=70). Sec 2-8 Random Variables