PREDIKAT dan FUNGSI PROPOSISIONAL Diperhatikan kalimat yang memuat variabel “x < 2”. Subjek : x Predikat : kurang dari 2 Pernyataan “x kurang dari 2” dinyatakan dengan P(x), dimana P merujuk sifat “kurang dari 2” dan x variabel. P disebut juga fungsi proposisional dimana P(x) adalah nilai fungsi P di x. Nilai P(x) hanya dua macam, yaitu benar (T) atau salah (F). CONTOH : Bila P(x) : x < 2 maka P(1) benar, P(2) salah, P(3/2) benar, dst Fungsi proposisional dengan beberapa varibel : Q(x,y) : x^2 + y^2 = 25 Q(3,4), Q(4,3) bernilai benar, Q(1,2), Q(5,3) salah, dst.

Contoh penggunaan fungsi proposisional pada program komputer Misalkan perintah berikut : “ jika x > 0 maka x = x+1” dimasukkan pada suatu program. Fungsi proposisi P(x): x >0. Bila P(x) benar maka perintah x = x + 1 dieksekusi, tetapi bila P(x) salah maka nilai x yang dimasukkan tidak berubah. x = 1 P(1) benar x = 1 + 1 = 2 x = 0 P(0) salah x = 0

KUANTOR Misalkan P(x) suatu fungsi proposisional, x berasal dari suatu domain yang disebut semesta pembicaraan. DEFINISI : Kuantifikasi universal adalah proposisi sbb : x, P(x) dibaca “untuk setiap x, berlaku P(x)”. Notasi disebut kuantor universal, dibaca untuk setiap. CONTOH : Nyatakan kalimat berikut dalam kuantifikasi universal “semua mhs di kelas ini mengambil kuliah kalkulus” Penyelesaian : Misal P(x) : x mengambil kuliah kalkulus, x varibel mhs. Diperoleh x, P(x). Bentuk lainnya : misalkan S(x): x yang ada di kelas ini, maka pernyataan Di atas dapat juga disajikan sebagai x, [ S(x) P(x)]

KUANTOR (Lanjutan) DEFINISI : Kuantifikasi eksistensial adalah proposisi sbb : x, P(x) dibaca “ada x sehingga berlaku P(x)”. Notasi disebut kuantor eksistensial dibaca “ada” atau “terdapat”. Pengertian “terdapat” berarti paling tidak ada satu x dalam semesta Pembicaraan sehingga P(x) benar. CONTOH : Diberikan pernyataan P(x): x^2 = 1. Tentukan nilai kebenaran x, P(x). Penyelesaian : Karena x = 1 dan x = -1 membuat persamaan x^2 = 1 benar maka kuantifikasi eksistensial ini bernilai benar. Bila Q(x,y) : x^2+y^2 < 0 maka kuantifikasi eksist<ensial (x,y), Q(x,y) benilai salah, sebab tidak ada x dan y yang memenuhi.

NILAI KEBENARAN KUANTOR BENAR SALAH x, P(x) PERNYATAAN BENAR SALAH x, P(x) P(x) bernilai benar untuk setiap nilai x di dalam semesta pembicaraan Ada x di dalam semesta sehingga P(x) bernilai salah. Ada x di dalam semesta (minmal satu) sehingga P(x) bernilai benar P(x) bernilai salah untuk setiap x di dalam semesta pembicaraan Tabel ini dapat dikembangkan untuk fungsi propo- sisional yang terdiri dari beberapa variabel. LATIHAN : Coba buat tabel yang sama untuk fungsi proposisional P(x,y).

CONTOH Misalkan  : himpunan bilangan bulat positif yang tidak lebih dari 4 sebagai semesta pembicaraan. Pernyataan P(x) didefinisikan sebagai “x^2 > 10”. Selidikilah kebenaran kuantor x, P(x). PENYELESAIAN :  = {1, 2, 3, 4 } untuk x = 1 diperoleh pernyataan 1 > 10 (salah) untuk x = 2 diperoleh pernyataan 4 > 10 (salah) untuk x = 3 diperoleh pernyataan 9 > 10 (salah) untuk x = 4 diperoleh pernyataan 16 > 10 (benar) Karena ada x di dalam semesta pembicaraan yang membuat P(x) benar maka kuantor ini bernilai benar. Catatan : Bila semesta pembicaraan tidak dinyatakan secara eksplisit maka ia dianggap sebagai semua bilangan real. LATIHAN : Misalkan P(x) : x^2 > 0. Selidikilah kebenaran kuantor berikut x, P(x)

KE DALAM BAHASA INDONESIA TERJEMAHAN KUANTOR KE DALAM BAHASA INDONESIA LANGKAH-LANGKAH : Tulis makna dari setiap kuantor Sajikan makna ini dalam kalimat sederhana (mudah dimengerti) CONTOH : Misalkan x, y variabel untuk mahasiswa di kampus ini. C(x) : x mempunyai komputer, F(x,y) : x dan y berteman. Nyatakan ke dalam bahasa Indonesia kuantor berikut : ∀x ( C(x) ∨ ∃y ( C(y) ∧ F(x,y) )) PENYELESAIAN : Setiap mahasiswa x di kampus ini memiliki komputer, atau ada mahasiswa lainnya y, dimana x dan y berteman. LATIHAN : untuk fungsi C dan F sama seperti di atas, terjemahkan kuantor berikut ke dalam bahasa Indonesia ∃x ∀y ∀z ( (F(x,y) ∧ F(x,z) ∧ (y ≠ z) ) → ¬ F(y,z) ) )

TERJEMAHAN BAHASA INDONESIA KE DALAM SIMBOL KUANTOR CONTOH : Sajikan kalimat berikut dalam bentuk kuantor ! 1. Beberapa mhs dalam kelas ini pernah datang ke Jakarta 2. Setiap mhs dalam kelas ini pernah datang ke Surabaya atau Jakarta. PENYELESAIAN : Misalkan J(x) : x pernah datang ke Jkt, S(x) : x pernah datang ke Sby. Maka kalimat di atas dapat disajikan dalam kuantor berikut : 1. ∃ x, P(x) , 2. ∀x ( J(x) ∨ S(x) ). LATIHAN : Nyatakan kalimat berikut dalam bentuk kuantor Setiap mhs dalam kelas ini mempunyai tepat satu teman dekat Jika ada seseorang wanita dan ia pernah melahirkan maka pasti ia merupakan ibu dari seseorang. 3. Selalu terdapat wanita dalam setiap penerbangan di dunia ini

NEGASI KUANTOR KUANTOR NEGASINYA ∀x, P(x) ∃x, ¬P(x). ∃x, P(x). Diperhatikan kalimat : “setiap mhs di kelas ini sudah mengambil Kalkulus”. Pernyataan ini dapat ditulis dalam simbol : ∀x, P(x) dimana P(x) : x sudah mengambil Kalkulus. Negasi dari pernyataan ini dapat diungkapkan sbb : “Tidaklah benar bahwa setiap mhs di kelas ini sudah mengambil Kalkulus”. Ini berarti “ada mhs yang belum (tidak) mengambil kalkulus”, ditulis ∃x, ¬P(x) dibaca “ada x yang tidak bersifat P(x)”. KUANTOR NEGASINYA ∀x, P(x) ∃x, ¬P(x). ∃x, P(x). ∀x, ¬P(x) Latihan : Tentukan negasi dari pernyataan berikut : Ada mahasiswa di kelas ini yang belum pernah browsing internet. Tidak satupun mhs di kampus ini yang tertarik olahraga terjun payung