20. Kapasitansi

20.1 Kapasitor Kapasitor adalah alat untuk menyimpan energi dalam bentuk energi potensial listrik dalam suatu medan listrik. Gambar 20.1a adalah sebuah kapasitor sederhana yang terdiri dari dua buah plat konduktor yang sejajar yang dipisahkan dalam jarak d. Sedangkan Gambar 20.1b menunjukkan garis-garis medan listrik pada kapasitor plat sejajar. Garis-garis medan ini seragam (uniform) pada permukaan plat yang berhadapan, sedangkan garis-garis medan pada tepi plat tidak uniform.

Permukaan bagian bawah dari plat atas bermuatan +q Permukaan bagian atas dari plat bawah bermuatan –q Luas Permukaan A d V Gambar 20.1a Kapasitor plat parallel dengan luas permukaan A dan jarak antar plat d.

Garis-garis medan listrik pada kapaitor plat parallel +q –q A Gambar 20.1b Garis-garis medan listrik pada kapaitor plat parallel

Biasanya kapasitor dilambangkan dngan huruf C dan simbol ⊣⊢. Bila kapasitor diberi muatan, maka kedua plat mempunyai muatan yang sama dan berlawanan, yaitu +q dan dan –q. Hubungan antara muatan q dan beda potensial V ditunjukkan pada persamaan, q = CV (20.1) C adalah kapasitansi, yaitu konstanta proporsional yang nilainya tergantung dari bentuk geometri plat. Satuan dari kapasitansi adalah C/V atau farad. q adalah muatan dengan satuan C. V adalah beda potensial dengan satuan J/C atau volt.

Untuk memberi muatan pada kapasitor, sebuah rangkaian dengan sebuah batere dirangkai seperti Gambar 20.2 berikut. C h l S (a) C l h V B + – (b) Gambar 20.2 (a) Kapasitor plat sejajar dihubungkan dengan batere (b) Diagram skematik dari (a)

Untuk memberi muatan sebuah kapasitor, kita rangkaian sebuah rangkaian listrik dengan sebuah batere seperti ditunjukkan pada Gambar 20.2. Pada Gambar tersebut sebuah batere B, switch S, kapasitor C dirangkai sedemikian rupa sehingga membentuk sebuah sirkuit. Pada awalnya kapasitor tidak mempunyai muatan. Pada saat switch S ditutup arus akan mengalir dari terminal batere yang mempunyai potensial lebih tinggi ke plat kapasitor h, dan dari plat kapasitor l ke terminal batere yang mempunyai potensial lebih rendah. Aliran muatan tersebut menyebabkan muatan +q pada plat h, muatan –q pada plat l, dan beda potensial V antara kedua plat.

20.2 Kapasitansi Langkah-langkah untuk menghitung kapasitansi adalah sebagai berikut: Tentukan q pada kedua plat Hitung medan listrik E antara kedua plat dengan menggunakan hukum Gauss. Hitung beda potensial antara kedua plat. 20.2.1 Menghitung Medan Listrik Medan listrik E antara dua plat kapasitor adalah (20.2) Besar medan listrik adalah E, vektor E dan dA paralel, sehingga persamaan (20.2) menjadi

Besar medan listrik adalah E, vektor E dan dA paralel, sehingga persamaan (20.2) menjadi q = 0 E A (20.3) A = penampang plat. Permukaan Gauss pada kapasitor dua plat sejajar ditunjukkan pada Gambar 20.3, yang didapat dengan cara menggambarkan bidang yang menutupi seluruh plat bermuatan positif.

Kapasitor plat sejajar yang bermuatan +q –q d Permukaan Gauss A + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Lintasan integrasi Gambar 20.3 Kapasitor plat sejajar yang bermuatan

20.2.2 Mengitung beda potensial Beda potensial antara kedua plat pada kapasitor ditunjukkan oleh persamaan, (20.4) Persamaan (20.4) menunjukkan bahwa beda potensial Vf – Vi selalu negatif, sehingga, pers. (20.4) dapat ditulis menjadi, (20.5) Tanda + dan – menunjukkan bahwa integral mulai dari plat + ke plat –

20.2.3 Kapasitor Plat Paralel Kapasitor plat paralel pada gambar (20.3) diasumsikan terdiri dari plat yang sangat besar, sehingga medan listrik pada tepi plat dapat diabaikan dan medan listrik E pada permukaan plat menjadi konstan. Dari persamaan (20.5) didapat (20.6) Substitusi q dari pers. (20.3) dan V dari pers. (20.6) ke persamaan (20.1) didapat, (20.7)

Jadi kapasitansi untuk kapasitor plat paralel tergantung dari luas permukaan plat A, dan jarak antar kedua plat d. Sedangkan 0 adalah konstanta permisivitas yang nilainya 8,85 x 10–12 F/m = 8,85 pF/m 20.2.4 Kapasitor Silindris Gambar 20.4 adalah contoh kapasitor berbentuk silindris dengan panjang L. Kapasitor ini terdiri dari dua buah silinder dengan jari-jari b dan a. Diasumsikan L ≫ b, sehingga medan listrik dari kedua ujun silinder dapat diabaikan. Muatan pd permukaan dalam silinder berdiameter b adalah –q, sedangkan permukaan luar silinder dengan jari-jari a adalah +q.

Penampang kapasitor berbentuk silindris Lintasan integrasi Permukaan Gauss + – a b r Muatan total –q +q Gambar 20.4 Penampang kapasitor berbentuk silindris

Muatan pada permukaan dalam silinder berdiameter b adalah –q, sedangkan permukaan luar silinder dengan jari-jari a adalah +q. Sebagai permukaan Gauss, kita tentukan panjang silinder L dan jari-jari r (lihat Gambar 20.4). Dari persamaan (20.3) didapat q = 0 E A = 0 E (2r L) (20.8)

Substitusi persamaan (20.8) ke (20.5) didapat (20.9) Substitusi persamaan (20.9) ke (20.1) didapat (20.10)

20.2.5 Kapasitor Berbentuk Bola Gambar 20.4 dapat dianggap sebagai penampang pusat sebuah kapasitor yang terdiri dari dua buah bola konsenterik dengan jari-jari a dan b. Permukaan Gauss adalah sebuah bola dengan jari-jari r yang konsenterik dengan bola yang mempunyai jari-jari a dan b. Dari persamaan (20.3) didapat q = 0 E A = 0 E (4r2) Besaran 4r2 adalah luas permukaan Gauss yang berbentuk bola.

Selanjutnya didapat (20.11) Substitusi (20.11) ke (20.5) didapat (20.12) Substitusi (20.12) ke (20.1) didapat (20.13)

20.2.6 Kapasitor Berbentuk Bola yang Diisolasi Jenis kapasitor ini sebetulnya hanya terdiri dari satu shell benrbentuk bola dengan jari-jari R. Sedangkan peremukaan lainnya adalah bola khayal dengan jari-jari tak hingga (infinity). Untuk menentukan kapasitansi jenis kapasitor ini, kita tulis persamaan (20.13) dalam bentuk Karena b   dan a = R, maka C = 40 R (20.14)

Tabel 20.1 Rumus Kapasitansi Jenis Kapasitor Kapasitansi Rumus Plat Paralel 20.7 Silindris 20.10 Bola 20.13 Bola Diisolasi 20.14 C = 40 R

Contoh 20.1 Sebuah kapasitor plat paralel dipisahkan sejarak 1,0 mm. Berapakah luas penampang plat jiak kapasitansi 1,0 F? Penyelesaian Dari persamaan (20.7)

Contoh 20.2 Kabel koaksial yang sangat panjang terdiri dari silinder dalam dan luar. Kabek tersebut digunakan untuk mentransmisikan signal TV. Jika diameter dilinder dalam 0,15 mm dan b = 2,1 mm, berapaka kapasitansi per satuan panjang kabel tersebut? Penyelesaian Dari persamaan (20.10)

Contoh 20.3 Berapakah kapasitansi bumi, jika dianggap sebagai sebuah bola konduksi yang diisolasi dengan jari-jari 6370 km? Penyelesaian Dari persamaan (20.14) C = 40 R = (4)(8,85 x 10–12 F/m)(6,37 x 106 m) = 7,1 x 10–4 F = 710 F

Sebuah kapasitor sepetri Gambar berikut mempunyai Latihan Sebuah kapasitor sepetri Gambar berikut mempunyai kapasitansi 25 F. Kapasitor tersebut pada awalnya tidak mempunyai muatan. Batere yang digunakan untuk memberi muatan kapasitor mempunyai beda potensial 120 V. Setelah switch ditutup untuk waktu yang lama, berapakah muatan yang melewati batere? + – C S

2. Kapasitor plat paralel terdiri dari plat berbentuk lingkaran dengan jari-jari 8,2 cm dan jarak kedua plat 1,3 mm. Hitung kapasitansi dan muatan pada plat jika beda potensial 120 V. 3. Dua buah plat yang mempunyai penampang 1,00 m2 digunakan untuk membuat sebuah kapasitor. Jika kapasitansi plat 1,00 F, berapakah jarak kedua plat? 4. Sebuah kapasitor mempunyai plat berbentuk bola yang konsenterik. Jika jari-jari bola masing-masing 38,0 mm dan 40,0 mm, tentukan kapasitansi jika dibuat sebuah kapasitor plat paralel dengan jarak dan kapasitansi yang sama, berapakah luas permukaan plat?

20.3 Rangkaian Kapasitor Seri dan Paralel Jika terdapat kombinasi kapasitor pada suatu rangkaian, maka kita dapat menggantinya dengan kapasitor ekivalen, yaitu satu kapasitor yang mempunyai kapasitansi yang sama dengan kombinasi yang ada pada rangkaian. Kombinasi kapasitor pada suatu rangkaian dapat dalam kombinasi paralel, seri, atau keduanya. 20.3.1 Rangkaian Kapasitor Paralel Pada kombinasi paralel seluruh plat positif dihubungkan ke suatu titik, dan plat negatif dihubungkan ke titik lainnya. Rangkaian ini menyebabkan beda potensial pada setiap kapasitor sama, dan muatan total sama dengan jumlah muatan dari masing-masing kapasitor.

Kombinasi Paralel Kapasitor V –q1 +q1 –q2 +q2 –q3 +q3 C1 Ceq C2 -q1 +q1 V C3 - + B Gambar 20.5 Kombinasi Paralel Kapasitor

Dari persamaan (20.1) q = CV, sehingga q1 = C1V ; q2 = C2V ; q3 = C3V Muatan total q = q1 + q2 + q3 = C1V + C2V + C3V = (C1 + C2 + C3)V Kapasitansi ekuivalen atau 20.15

20.3.2 Rangkaian Kapasitor Seri Pada kombinasi seri, plat negatif dari salah satu kapasitor dihubungkan dengan plat positif dari kapasitor lainnya. Rangkaian ini menghasilkan beda potensial yang sama dengan jumlah dari beda potensial pada masing-masing kapasitor dan muatan yang melintasi kapasitor sama. -q1 +q1 -q2 +q2 -q3 +q3 V1 V2 V3 C3 C2 C1 V Terminal - + B Ceq Gambar 20.6 Kombinasi Seri Kapasitor

Dari persamaan (20.1) q = CV, sehingga q = C1V1 ; q = C2V2 ; q = C3V3 Beda potensial Kapasitansi ekuivalen atau 20.16

Contoh 20.4 Tentukan kapasitansi ekivalen dari kombinasi kapasitor berikut. Jika beda potensial V pada terminal input adalah 12,5 V, berapakah muatan pada C1? C1 C2 C3 C1 = 12,0 F C2 = 5,30 F C3 = 4,50 F Penyelesaian

Kombinasi kapasitor C1 dan C2 adalah kombinasi paralel. C12 = C1 + C2 = 12,0 F + 5,30 F = 17,3 F C1 C2 C3 (a) C12 C3 (b)

Kombinasi kapasitor C12 dan C3 adalah kombinasi seri.

q123 = C123 V = (3,57 F)(12,5 V) = 44,6 C q12 = q123 (lihat gambar b dan c) V1 = V12 = (lihat gambar a) q1 = C1 V1 = (12,0 F)(2,58 V) = 31,0 C

Contoh 20.5 Sebuah kapasitor C1 yang mempunyai kapasitansi sebesar 3,55 F diberi muatan hingga mencapai beda potensial V0 6,30 V dengan menggunakan batere 6,30 V. Selanjutnya batere dilepas dan kapasitor C1 dihubungkan ke kapasitor 8,95 F yang tidak bermuatan (lihat Gambar berikut). Pada saat switch ditutup muatan mengalir dari C1 ke C2 hingga kedua kapasitor mencapai beda potensial V yang sama. Tentukan beda potensial V tersebut! C1 C2 q1 S Penyelesaian

Muatan awal q0 dibagai untuk dua kapasitor C1 dan C2, sehingga q0 = q1 + q2 C1 V0 = C1V + C2V

1. Sejumlah kapasitor 1,00 F harus dihubungkan secara Latihan 1. Sejumlah kapasitor 1,00 F harus dihubungkan secara paralel untuk menyimpan muatan sebesar 1,00 C dengan beda potensial yang melintasi kapasitor sebesar 110 V. Berapakah jumlah kapasitor yang dibutuhkan? 2. Tentukan kapasitansi ekivalen dari kombinasi kapasitor berikut jika C1 = 10,0 F, C2 = 5,0 F, dan C3 = 4,0 F. C1 C2 C3 V

3. Tentukan kapasitansi ekivalen dari gambar berikut jika C1 = 10,0 F, C2 = 5,0 F, dan C3 = 4,0 F. V C1 C2 C3

4. Kapasitor pada gambar berikut mempunyai kapasitansi masing- masing 25,0 F. Awalnya kapasitor-kapasitor tsb. tidak bermuatan. Setelah switch ditutup beda potensial mencapai 4200 V. Tentukan muatan yang melewati alat ukur A. 4200 V C3 C2 C1 A