Pelabelan Total (a,d) Sisi Anti-ajaib Pembimbing: Rinovia Simanjuntak, Ph. D Anna Shari / 10101022

Latar Belakang Pelabelan adalah pemetaan dari elemen-elemen graf ke bilangan bulat positif dan banyak jenisnya. Pelabelan total (a,d) sisi anti-ajaib masih merupakan suatu open problem untuk beberapa kelas graf, yaitu siklus dengan d=3,4,5 untuk n genap dan lintasan dengan d=4 untuk n genap dan d=5,6 untuk n sembarang.

Deskripsi masalah Pelabelan total (a,d) sisi anti-ajaib pada siklus dengan d=3,4,5 untuk n genap dan lintasan dengan d=4 untuk n genap dan d=5,6 untuk n sembarang.

Suatu pelabelan f merupakan pemetaan dari elemen-elemen graf ke bilangan bulat positif. Pelabelan-pelabelan yang sering digunakan adalah pelabelan semua verteks dan sisi (pelabelan total), pelabelan verteks dan pelabelan sisi.

Pemetaan untuk tiap pelabelan

Jumlah dari hasil pelabelan biasanya disebut sebagai bobot dari elemen graf. Sebagai contoh, bobot verteks v adalah e yang terhubung dengan verteks v dan bobot sisi e = uv adalah

Graf yang memiliki bobot verteks atau bobot sisi yang sama disebut graf dengan pelabelan ajaib. Graf yang memiliki bobot verteks atau bobot sisi yang berbeda disebut graf dengan pelabelan anti-ajaib.

Pelabelan total (a,d) sisi anti-ajaib adalah pelabelan pada verteks dan sisi graf dengan bobot sisi membentuk deret aritmatika {a, a+d , a+2d ,…, a+(|E|-1)d} dengan |E| jumlah sisi pada graf. Sebuah graf G disebut mempunyai pelabelan total (a,d) sisi anti-ajaib jika terdapat bijeksi {1,2,…,|E|+|V|} sehingga bobot-bobot sisinya memenuhi deret {a, a+d , a+2d ,…, a+(|E|-1)d}

Hasil pelabelan total untuk Pn Pelabelan total (a,4) sisi anti-ajaib pada dengan n ganjil Pola pelabelan:

Pembuktian Teorema Untuk setiap n ≥ 3 dan n ganjil, mempunyai pelabelan total (n+5,4) sisi anti-ajaib Pelabelan total didefinisikan:

Definisikan , 1 ≤ i ≤ n-1 menyatakan bobot sisi pada maka

Misalkan Bf menyatakan bobot sisi pada Jadi untuk setiap n ≥ 3 dan n ganjil, mempunyai pelabelan total (n+5,4) sisi anti-ajaib

Hasil pelabelan total untuk Pn Pelabelan total (a,4) sisi anti-ajaib pada dengan n genap Pola pelabelan:

Pembuktian Teorema Untuk setiap n ≥ 3 dan n genap, mempunyai pelabelan total (n+4,4) sisi anti-ajaib Pelabelan total didefinisikan:

Definisikan , 1 ≤ i ≤ n-1 menyatakan bobot sisi pada maka

Misalkan Bf menyatakan bobot sisi pada Jadi untuk setiap n ≥ 3 dan n ganjil, mempunyai pelabelan total (n+4,4) sisi anti-ajaib

Hasil pelabelan total untuk Pn Pelabelan total (a,6) sisi anti-ajaib pada Pola pelabelan:

Pembuktian Teorema Untuk setiap n ≥ 3, mempunyai pelabelan total (6,6) sisi anti-ajaib Pelabelan total didefinisikan:

Definisikan , 1 ≤ i ≤ n-1 menyatakan bobot sisi pada maka

Misalkan Bf menyatakan bobot sisi pada Jadi untuk setiap n ≥ 3 dan n ganjil, mempunyai pelabelan total (6,6) sisi anti-ajaib

Open Problem Untuk d=5, dengan n ≤ 6 pada mempunyai pelabelan total (a,5) sisi anti-ajaib tetapi masih belum ditemukan rumus umumnya. Berikut contoh pelabelan pada dengan d=5

Hasil pelabelan total untuk Pelabelan total (a,1) sisi anti-ajaib pada Pola pelabelan:

Pelabelan total (a,1) sisi anti-ajaib pada Cn

Pembuktian Teorema Untuk setiap n ≥ 3, mempunyai pelabelan total (2n+2,1) sisi anti-ajaib Pelabelan total didefinisikan:

Definisikan , 1 ≤ i ≤ n-1 menyatakan bobot sisi pada maka

Misalkan Bf menyatakan bobot sisi pada Jadi untuk setiap n ≥ 3, mempunyai pelabelan total (2n+2,1) sisi anti-ajaib

Hasil pelabelan total untuk Pelabelan total (a,2) sisi anti-ajaib pada Pola pelabelan:

Pelabelan total (a,2) sisi anti-ajaib pada Cn

Pembuktian Teorema Untuk setiap n ≥ 3, mempunyai pelabelan total (2n+2,2) sisi anti-ajaib Pelabelan total didefinisikan:

Definisikan , 1 ≤ i ≤ n-1 menyatakan bobot sisi pada maka

Misalkan Bf menyatakan bobot sisi pada Jadi untuk setiap n ≥ 3, mempunyai pelabelan total (2n+2,2) sisi anti-ajaib

Hasil pelabelan total untuk Pelabelan total (a,3) sisi anti-ajaib pada Pola pelabelan:

Pelabelan total (a,3) sisi anti-ajaib pada

Pembuktian Teorema Untuk setiap n ≥ 3, mempunyai pelabelan total (n+4,3) sisi anti-ajaib Pelabelan total didefinisikan:

Definisikan , 1 ≤ i ≤ n-1 menyatakan bobot sisi pada maka

Misalkan Bf menyatakan bobot sisi pada Jadi untuk setiap n ≥ 3 dan n ganjil, mempunyai pelabelan total (n+4,3) sisi anti-ajaib

Hasil pelabelan total untuk Pelabelan total (a,4) sisi anti-ajaib pada dengan n ganjil Pola pelabelan:

Pelabelan total (a,4) sisi anti-ajaib pada Cn dengan n ganjil

Pembuktian Teorema Untuk setiap n ≥ 3 dengan n ganjil, mempunyai pelabelan total (n+3,4) sisi anti-ajaib Pelabelan total didefinisikan:

Definisikan , 1 ≤ i ≤ n-1 menyatakan bobot sisi pada maka

Misalkan Bf menyatakan bobot sisi pada Jadi untuk setiap n ≥ 3 dan n ganjil, mempunyai pelabelan total (n+3,4) sisi anti-ajaib

Hasil pelabelan total untuk tidak memiliki pelabelan total (a,6) sisi anti-ajaib

Pembuktian Bobot sisi maksimum pada adalah 2n+2n-1+2n-2 = 6n-3 Bobot sisi minimum pada adalah 1+2+3 = 6 Ambil a=6, a minimum untuk membentuk deret aritmatika pada . Maka bobot sisi akan mengikuti deret aritmatika 6,12,…,6n Bobot maksimum = 6n-3 < 6n tidak mempunyai pelabelan total (6,6) sisi anti-ajaib Karena a = 6 minimum maka untuk a > 6 juga tidak punya pelabelan total sisi anti-ajaib. Maka tidak mempunyai pelabelan total (a,6) sisi anti-ajaib

Open Problem Untuk d=4 dengan n genap dan n ≤ 6, siklus mempunyai pelabelan total (a,4) sisi anti-ajaib tetapi masih belum ditemukan rumus umumnya. Berikut contoh pelabelan pada dengan d=4 dan n genap

Open Problem Untuk d=5 dengan n = 4,…,6 , siklus mempunyai pelabelan total (a,5) sisi anti-ajaib tetapi masih belum dapat ditemukan rumus umumnya. Berikut contoh pelabelan pada dengan d=5

TERIMA KASIH