Mata Kuliah Logika Informatika 3 SKS Bab II : Proposisi

Konsep Proposisi Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (True) saja atau salah (Fals) saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah pada saat yang sama. Proposisi juga disebut Statement. Ada juga yang menyebut dengan Kalkulus Proposisi Tipe Proposisi: Proposisi Sederhana (Tunggal) Proposisi Majemuk

Contoh Proposisi Sederhana: # Matahari terbit di sebelah timur # Kucing adalah binatang berkaki empat # Budi mahasiswa Teknik Informatika Contoh di atas masing-masing disebut proposisi sederhana. Untuk menuliskan atau menyingkat sebuah proposisi dapat dilakukan dengan cara memberikan variabel/simbol pada proposisi: p: Matahari terbit di sebelah timur q: Kucing adalah binatang berkaki empat r : Budi mahasiswa Teknik Informatika

B. Proposisi Majemuk Proposisi majemuk adalah proposisi yang dibentuk dari penggabungan dua atau lebih proposisi sederhana. Untuk menggabungkan dua atau lebih proposisi sederhana digunakan kata penghubung. Kata penghubung dasar: Tidak, Dan, Atau, Jika...maka....., Jika dan hanya jika

Misalkan ada dua proposisi sederhana yang dilambangkan dengan variabel p : Semarang ibukota Jawa Tengah q : Jalan rusak dan bergelombang maka kita dapat membuat proposisi majemuk dengan menggunakan kata hubung, misal: Tidak benar Semarang ibukota Jawa Tengah Semarang ibukota Jawa Tengah dan Jalan Rusak dan bergelombang ...... .....

a : IPK saya semester lalu 3.49 b : Thukul Arwana orangnya lucu c : Hari ini cuaca mendung Contoh Proposisi Majemuk: IPK saya semester lalu 3.49 dan Thukul Arwana orangnya lucu Jika Thukul Arwana orangnya lucu maka IPK saya 3.49 Hari ini cuaca tidak mendung atau IPK saya semester lalu 3.49

Catatan: Logika Proposisi tidak membahas “makna” atau “meaning” dari sebuah proposisi, akan tetapi hanya membahas mengenai validitas atau kebenaran suatu proposisi atau kebenaran dalam penarikan kesimpulan dilihat dari struktur proposisi (sintak).

C. Tabel Kebenaran Baik proposisi sederhana ataupun proposisi majemuk selalu mempunyai nilai kebenaran True atau False tapi tidak keduanya Tabel kebenaran yaitu tabel yang memuat semua kemungkinan nilai kebenaran dari proposisi sederhana maupun proposisi majemuk

Jika ada 2 buah proposisi sederhana yaitu p dan q, maka Misalkan ada n buah proposisi sederhana, maka dalam tabel kebenaran ada 2n buah kemungkinan nilai kebenaran Jika ada 2 buah proposisi sederhana yaitu p dan q, maka p q Proposisi majemuk B ? S

Jika ada 3 buah proposisi sederhana yaitu p, q dan r , maka Proposisi majemuk B ? S

Negasi (NOT) Negasi atau Ingkaran atau Penyangkalan,  artinya akan menyangkal sebuah proposisi.  Simbol :  p : Jakarta ibukota RI maka negasinya p : Tidak benar Jakarta ibukota RI p : Jakarta bukan ibukota RI Jika proposisi p bernilai T (True), maka negasinya p bernilai F (False), sebaliknya jika proposisi p bernilai F (False) maka negasinya p bernilai T (True)

Contoh : p : Soekarno presiden RI pertama q : Hari ini hujan r : Bunga mawar berbau harum s : Budi ganteng Tuliskan Negasinya p : q : r : s :

Jika hanya ada 1 buah proposisi sederhana yaitu p, maka table kebenaran dari negasinya adalah:

Konjungsi (DAN/AND) Konjungsi adalah proposisi majemuk yang dibentuk dari dua buah proposisi sederhana yang dihubungkan dengan kata hubung DAN dengan simbol “  “ p : Jakarta ibukota RI q : Budi anak cerdas maka Konjungsinya p  q : Jakarta ibukota RI dan Budi anak cerdas

r : Saya mahasiswa Teknik Informatika s : Saya suka membuat aplikasi komputer maka Konjungsinya r  s : Saya mahasiswa Teknik Informatika dan suka membuat aplikasi komputer Bagaimana dengan r  s : s r : (r  s) :

Nyatakan dalam bentuk simbolik dari proposisi berikut : p : pemuda itu tinggi q : pemuda itu tampan Pemuda itu tinggi dan tampan Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan Tidak benar bahwa pemuda itu pendek dan tidak tampan Pemuda itu tampan namun tidak tinggi

Tabel kebenaran untuk Konjungsi Jika proposisi ke 1 dan ke 2 semuanya bernilai Benar maka Konjungsi bernilai Benar. Selain itu bernilai Salah p q p q B S

Buat Tabel Kebenaranya : a. r  s b. s r c. (r  s) d. s  r

Disjungsi (ATAU/OR) Disjungi adalah proposisi majemuk yang dibentuk dari dua buah proposisi sederhana yang dihubungkan dengan kata hubung ATAU dengan simbol “  “ p : Jakarta ibukota RI q : Budi anak cerdas maka Disjungsinya p  q : Jakarta ibukota RI atau Budi anak cerdas

r : Saya mahasiswa Teknik Informatika s : Saya mahir bahasa pemrograman Java maka Disjungsinya r  s : Saya mahasiswa Teknik Informatika atau Saya mahir bahasa pemrograman Java Bagaimana dengan r  s : s  r : (r  s) :

Nyatakan dalam bentuk simbolik dari proposisi berikut : p : pemuda itu tinggi q : pemuda itu tampan Pemuda itu tidak tampan atau tinggi Pemuda itu tinggi atau tidak tampan Pemuda itu tidak tinggi atau tampan Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan Pemuda itu tampan atau tidak tinggi

Tabel kebenaran untuk Disjungsi Jika proporsi ke 1 dan ke 2 bernilai Salah maka Disjungsi bernilai Salah. Selain itu bernilai Benar p q p q B S

Proposisi p atau q dapat mempunyai dua arti : OR Inklusif (OR) yaitu p = B atau q = B atau keduanya B Contoh: Saya ingin membeli Pizza atau Burger. OR Ekslusif (Ex OR) yaitu p = B atau q = B atau tidak keduanya B Ex-Or dilambangkan dengan “  “ Contoh: Saya berada di Semarang atau Jakarta besok hari Kamis jam 08.00 WIB

Tabel kebenaran OR dan Ex-Or p q p q B S p q p q B S

Buat Tabel Kebenaranya : a. r  s b. s  (r  s) c. (r  s) d. s  r r s r r  s B S r s s r  s s  (r  s) B S (a) (b) r s r  s (r  s) B S r s s r s  r B S (c) (d)

Misal diketahui pernyataan : Implikasi (Jika.....Maka.....) Misal diketahui pernyataan : Jika ABCD belah ketupat maka diagonalnya saling berpotongan ditengah tengah ABCD belah ketupat disebut syarat cukup bagi diagonalnya untuk berpotongan ditengah tengah Akan tetapi diagonalnya saling berpotongan ditengah tengah disebut syarat perlu, tetapi belum cukup, mengapa ?

Pernyataan yang berbentuk “jika p maka q” disebut Implikasi (disebut juga conditional) dilambangkan : p  q Pernyataan p  q dapat dibaca : Jika p maka q p berimplikasi q q jika p p mengakibatkan q p syarat cukup untuk q q syarat perlu untuk p p disebut anteseden (antecedent) atau premis atau hipotesis, sedangkan q disebut konsekuen (consequent) atau kesimpulan

Jika tekanan gas diperbesar, mobil melaju kencang Jika hari hujan maka tanaman akan tumbuh subur Es yang mencair dikutub mengakibatkan permukaan air laut naik Orang itu mau bekerja, jika ia diberi ongkos jalan Anda dapat memperoleh SIM hanya jika berusia 17 tahun

p : Anda berusia 17 tahun q : Anda dapat memperoleh SIM Nyatakan dalam simbol dari pernyataan berikut : Syarat cukup agar anda dapat memperoleh SIM adalah anda berusia 17 tahun (q  p) Anda tidak dapat memperoleh SIM bilamana anda belum berusia 17 tahun (p  q)

Seringkali sebuah implikasi menimbulkan salah pengertian dalam bahasa sehari-hari. Misal, Jika Anda lulus ujian SIM maka Anda memperoleh SIM Bagaimana jika ternyata: “Anda tidak lulus ujian SIM dan kenyataannya Anda memperoleh SIM” …. Artinya Kebohongan atau “Anda lulus ujian SIM tapi tidak memperoleh SIM” .. Artinya Pengingkaran Sebuah logika implikasi hanya akan bernilai Salah jika anteseden bernilai Benar dan Konsekuen bernilai Salah. Perhatikan tabel kebenaran untuk implikasi berikut.

Tabel kebenaran untuk Implikasi hanya akan bernilai Salah jika proposisi ke 1 (Anteseden) bernilai Benar dan proposisi ke 2 (Konsekuen) bernilai Salah p q p q B S

Contoh : p : matahari bersinar q : udara terasa hangat r : permukaan air laut naik Buatlah Tabel kebenaran dari pernyataan berikut : a. (pq)  (rq) b. (pq)  (rp) c. (pr)  (qr)

5. Bi-Implikasi (atau Bi-Kondisional) Misal diketahui pernyataan : Saya memakai mantel jika dan hanya jika saya merasa dingin Pengertian pernyataan itu adalah : Jika saya memakai mantel maka saya merasa dingin dan Jika saya merasa dingin maka saya memakai mantel Dalam hal ini, saya memakai mantel adalah syarat perlu dan cukup bagi saya merasa dingin dan sebaliknya

Pernyataan yang berbentuk “ p jika dan hanya jika q” atau pernyataan bersyarat ganda disebut Bi Implikasi p  q p jika dan hanya jika q berarti : Jika p maka q dan jika q maka p, sehingga p syarat perlu dan cukup bagi q dan sebaliknya

Anda membeli es krim jika dan hanya jika udara di luar panas sama saja dengan Jika udara di luar panas maka saya membeli es krim dan jika anda membeli es krim maka udara di luar panas Anda naik jabatan jika dan hanya jika punya koneksi Sama saja dengan Anda naik jabatan jika anda punya koneksi dan anda punya koneksi jika anda naik jabatan

Tabel kebenaran untuk Bi Implikasi bernilai Benar jika proposisi ke 1 dan proposisi ke 2 bernilai Sama p q p q B S

Contoh : p : matahari bersinar q : udara terasa hangat r : permukaan airlaut naik Buatlah Tabel kebenaran dari pernyataan berikut : a. (pq)  (rq) b. (p q)  ( rp) c. (p r)  (qr)

D. Ekivalensi Logika Dua buah proposisi yaitu : P(p, q, r, ....) dan Q(p, q, r, ....) disebut ekivalen atau equel (logically equivalent) dinotasikan : P(p, q, r, ....)  Q(p, q, r, ....) Jika kedua proposisi tersebut mempunyai Tabel Kebenaran yang sama

Contoh : Tidak benar bahwa mawar berwarna merah dan melati berwarna ungu Eqivalen dengan Mawar tidak berwarna merah atau melati tidak berwarna ungu Secara simbolik: p: mawar berwarna merah q: melati berwarna ungu (pq)  p  q

Tabel Kebenaran p q p q (pq) pq B S Jadi terbukti bahwa (pq)  p  q Latihan Apakah pq  p  q eqivalen ? Apakah (pq)(qp)  pq eqivalen ? Tunjukan dengan Tabel Kebenaran

a. Tautologi Tautologi adalah proposisi yang selalu bernilai Benar. Misal : Junus masih bujang atau junus bukan bujang Jika p = Junus masih bujang, maka p = Junus bukan bujang Tabel kebenarnya adalah : p p p  p B S Tabel Kebenaran p  p bernilai selalu Benar, maka proposisi p  p disebut Tautologi

Contoh Selidiki dengan tabel kebenaran apakah proposisi berikut Tautologi atau bukan a. p  (p  q) b. (p  q)  (q  p) c. (p  q)  (p  q) d. (q  p) e. p  (p  q)

p p p  p B S b. Kontradiksi Kontradiksi adalah proposisi yang selalu bernilai Salah. Misal : Pratiwi seorang mahasiswa dan bukan mahasiswa Jika p = Pratiwi seorang mahasiswa, maka p = Pratiwi bukan mahasiswa Tabel kebenarnya adalah : p p p  p B S Tabel Kebenaran p  p bernilai selalu Salah, maka proposisi p  p disebut Kontradiksi

Selidiki dengan tabel kebenaran, apakah proposisi berikut Kontradiksi atau bukan a. (p  q)  (p  q) b. p  (q  p) c. (p  (p  q))  q d.  p  p e. (p  q)  (q  p)