BAB 6 METODE DEDUKSI UNTUK KALIMAT BERKUANTOR Langkah-langkah metode deduksi : 1. Lambangkan semua premis 2. Hilangkan semua kuantor 3. Terapkan aturan-aturan penurunan kesimpulan 4. Bubuhkan kuantor UNIVERSAL INSTATION (UI) Proses penghilangan kuantor universal Variabel yang diperoleh disebut variabel instan yang merupakan variabel bebas UI adalah aturan penarikan kesimpulan yang menyimpulkan bahwa Pc benar, dimana c adalah variabel anggota dari himpunan yang memiliki sifat universal yang diwakili oleh xP(x) (x)[P(x)]  Pc

(x)[P(x)]  Pc Contoh 1 Semua kucing adalah hewan menyusui Puppy adalah seekor kucing Jadi Puppy adalah hewan menyusui Kx : x kucing Hx : x hewan menyusui p adalah Puppy Pembuktian : 1 x [Kx  Hx] Pr 2 Kp Pr /  Hp 3 Kp  Hp 1, UI 4 Hp 3,2 MP

Contoh 2 Semua orang yang sabar akan berhati tenang Tidak ada orang yang berhati tenang yang cepat naik darah Ratnasari adalah orang yang sabar Jadi Ratnasari tidak cepat naik darah Sx : x orang yang sabar Tx : x berhati tenang Cx : x cepat naik darah R adalah Ratnasari 1 x [Sx  Tx] Pr 2 x [Tx   Cx] 3 Sr Pr /   Cr 4 Sr  Tr 1, UI 5 Tr   Cr 2, UI 6 Sr   Cr 4,5 HS 7  Cr 6,3 MP

UNIVERSAL GENERALIZATION (UG) UG adalah aturan penarikan kesimpulan yang menyatakan bahwa xPx benar, untuk semua variabel c yang merupakan anggota dari himpunan yang semua anggotanya memiliki sifat P Pa x Px Contoh Semua mahasiswa matematika adalah manusia Tak ada manusia yang hidup seribu tahun Jadi, tak ada mahasiswa matematika yang hidup seribu tahun Penyelesaian : Ax : x adalah mahasiswa matematika Bx : x adalah manusia Cx : x hidup seribu tahun 1 x [Ax  Bx] Pr 2 x [Bx   Cx] Pr /  x [Ax   Cx] 3 Aa  Ba 1, UI 4 Ba   Ca 2, UI 5 Aa   Ca 3,4 HS 6 x [Ax   Cx] 5, UG

EKSTENSIAL GENERALIZATION (EG) EG adalah aturan penarikan kesimpulan yang menyatakan bahwa xPx benar, elemen tertentu c dengan Pc diketahui adalah benar Ma (x) [Px] Contoh 1 Semua bilangan prima adalah bilangan asli Jadi, jika 2 adalah bilangan prima, maka beberapa bilangan prima adalah bilangan asli Penyelesaian : Px : x adalah bilangan prima Ax : x adalah bilangan asli d : adalah lambang untuk bilangan 2 (konstan) 1 x [Px  Ax] Pr 2 Pd Pr /  x [Px  Ax] [CP] 3 Pd  Ad 1, UI 4 Ad 3,2 MP 5 Pd  Ad 2,4 Conj 6 x [Px  Ax] 5, EG

Contoh 2 Ada pokok kesusastraan yang tidak menarik Tetapi, semua pokok kesusastraan meluaskan wawasan orang Jadi, ada pokok kesusastraan yang meluaskan wawasan tetapi tidak menarik Penyelesaian : Kx : x pokok kesusastraan Mx : x menarik Wx : x meluaskan wawasan 1 x [Kx  Mx] Pr 2 x[Kx  Wx] Pr /  x [Kx  Wx  Mx] 3 Ka   Ma 1, EI 4 Ka  Wa 2, UI 5 Wa 4, Simp 6  Ma 3, Simp 7 Ka 8 7,5 Conj 9 Ka  Wa  Ma 8,6 Conj 10 x [Kx  Wx  Mx] 9, EG

Contoh 3 Semua mahasiswa Itenas adalah lulusan SMA Ada mahasiswa Itenas dari Ujung Pandang Jadi ada lulusan SMA dari Ujung Pandang Penyelesaian : Mx : x mahasiswa Itenas Lx : x lulusan SMA Ux : x dari Ujung Pandang 1 x [Mx  Lx] Pr 2 x[Mx  Ux] Pr /  x [Lx  Ux] 3 Ma  La 1, UI 4 Ma  Ua 2, EI 5 Ma 4, Simp 6 La 3, 5 MP 7 Ua 8 La  Ua 6,7 Conj 9 x [Lx  Ux] 8, EG

EKSTENSIAL INTATION (EI) EI adalah suatu aturan yang membolehkan kita untuk mengambil c sebagai suatu anggota himpunan tertentu sehingga P(c) benar, jika diketahui xPx benar. (x) [Px] Pc Contoh Semua pemenang beasiswa adalah mahasiswa yang berprestasi Beberapa mahasiswa matematika adalah pemenang beasiswa Jadi beberapa mahasiswa matematika adalah mahasiswa yang berprestasi Penyelesaian : Px : x adalah pemenang beasiswa Bx : x berprestasi Mx: x mahasiswa matematika 1 x [Px  Bx] Pr 2 x [Mx  Px] Pr /  x [Mx  Bx] 3 Py  By 1, UI 4 My  Py 2, EI 5 Py  My 4, Comm 6 Py 5, Simp 7 By 3,6 MP 8 My 4, Simp 9 My  By 8,7 Conj 10 x [Mx  Bx] 9, EI

Aturan pelepasan kuantor dan pembubuhan kuantor Aturan penarikan kesimpulan Nama (x)[Px]  Pc Universal Instation Pa untuk elemen a sembarang  (x)[Px] Universal Generalization (x)[Px]  Pc untuk suatu elemen c Ekstansial Instation Mc untuk suatu elemen c  (x)[Mx] Ekstensial Generalization

Contoh Soal 6.1 Tidak ada mahasiswa Itenas yang ingin berlama-lama di Itenas Semua calon dosen Itenas ingin berlama-lama di Itenas Semua kemenakan saya mahasiswa Itenas Jadi, tidak ada kemenakan saya yang menjadi dosen Itenas Jawab : Mx : x mahasiswa Itenas Lx : x berlama-lama di Itenas Cy: y calon dosen Itenas Kz: z kemenakan saya 1 x [Mx   Lx] Pr 2 y [Cy  Ly] 3 z [Kz  Mz] Pr /  x [Kx   Cx] 4 Mx   Lx 1, UI 5 Cx  Lx 2, UI 6 Kx  Mx 3, UI 7 Kx Pr tambahan (x ditandai) 8 Mx 6,7 MP (x bertanda) 9  Lx 4,8 MP (x bertanda) 10  Cx 5,9 MT (x bertanda) 11 Kx   Cx 7,10 CP 12 x [Kx   Cx] 11, UG

Contoh Soal 6.2 Tidak lulusan Itenas atau lulusan UI yang menjadi nahkoda kapal Pertamina Suwarman nahkoda kapal Pertamina Jadi, dia bukan lulusan UI Jawab : Ix : x lulusan Itenas Ux : x lulusan UI Nx: x nahkoda kapal Pertamina s: Suwarman 1 x [(Ix  Ux)   Nx] Pr 2 Ns Pr /  Us 3 (Is  Us )   Ns 1, UI 4  (Is  Us ) 3,2 MT 5  Is   Us 4, de Morgan 6  Us 5, Simp

PENANGANAN VARIABEL Pada metode deduksi kalimat berkuantor, pelepasan dan pembubuhan kuantor (umum atau khusus) harus dilakukan dengan hati-hati Ada beberapa aturan yang tidak boleh dilanggar Aturan I Jika dalam premis-premis, terdapat dua kalimat berkuantor ekstensial (). Bila pada pelepasan kuantor pertama, variabel instan yang digunakan adalah a, maka pada pelepasan kuantor ekstensial yang kedua, variabel yang digunakan tidak boleh sama dengan a. Contoh Pelepasan kuantor akan dilakukan pada premis-premis : x Rx Rx =Ruler (x) x Tx Tx = Thief (x) 1 x Rx Pr 2 x Tx 3 Ry 1, EI 4 Tz 2, EI (langkah yang benar) 5 Ry  Tz 3,4 Conj 6 x Rx Tz 5, EG 7 yx RxTy 6, EG 1 x Rx Pr 2 x Tx 3 Ry 1, EI 4 Ty 2, EI (langkah yang tidak valid)

Aturan II Dilarang menghilangkan kuantor khusus (), dan mengambil variabel instannya sama dengan variabel bebas yang ada Contoh Pelepasan kuantor akan dilakukan pada premis-premis : x Kx Kx =Kind(x) x Tx Tx = Thief (x) 1 x Kx Pr 2 x Tx 3 Ky 1, UI 4 Ty 2, EI (langkah yang tidak valid) 1 x Kx Pr 2 x Tx 3 Ky 1, UI 4 Tz 2, EI (langkah yang benar) Tidak lazim 1 x Kx Pr 2 x Tx 3 Ty 1, EI 4 Ky 2, UI (langkah yang benar dan lazim)

Aturan III Jangan membubuhkan kuantor universal ()pada suatu konstanta. Pada konstanta hendaknya diberikan kuantor ekstensial () Contoh Tr = Thief (Robinhood) 1 Tr Pr 2 x Tx 1, UG Langkah yang salah 1 Tr Pr 2 x Tx 1, EG Langkah yangbenar

Aturan IV Jangan membubuhkan kuantor universal (), suatu variabel yang tidak jelas karena ada relasi dengan variabel lain Contoh x y Pxy Pxy= Parents(x,y) = x memiliki orang tua y = y adalah orang tua x Setiap orang memiliki orang tua 1 x y Pxy Pr 2 y Pxy 1, UI x bertanda 3 Pxy 2, EI x bertanda, y bertanda 4 x Pxy 3, UG langkah tidak valid y bertanda 5 y x Pxy Tidak valid Ada seseorang yang merupakan orang tua dari semua orang Langkah yang benar : 1 x y Pxy Pr 2 y Pxy 1, UI x bertanda 3 Pxy 2, EI x bertanda, y bertanda 4 x pxy 3, EG y bertanda 5 yx Pxy 4, UG

Urutan pelepasan kuantor yang benar : a). Melepaskan kuantor universal (kuantor terluar), variabel instan x b). Melepaskan kuantor ekstensial (kuantor di dalamnya), variabel instan y Urutan pembubuhan kuantor yang benar : a). membubuhkan kuantor khusus untuk variabel instan y (y bertanda) b). Membubuhkan kuantor umum untuk variabel instan x (x bertanda) Aturan V Jangan membubuhkan kuantor universal (memperumum) variabel instan, yang diambil dari pelepasan kuantor ekstensial Contoh : x Gx = ada x dan x adalah emas 1 x Gx Pr 2 Ga 1, EI 3 x Gx 2, UI Langkah yang tidak valid

Aturan VI Jangan membubuhkan kuantor umum variabel yang muncul karena asumsi. Variabel yang muncul karena asumsi yaitu premis tambahan yang sering digunakan pada IP dan CP Contoh 1 Misalkan diberikan asumsi bahwa x adalah emas Gx 1 Gx Pr tambahan (asumsi) 2 y Gy 1, UG Langkah yang tidak valid 3 Gx  y Gy 1, 2 CP 4 x (Gx  y Gy) 3, UG

Contoh 2 Tidak ada mahasiswa Itenas yang ingin berlama-lama di Itenas

Aturan VII Pada setiap pelepasan kuantor baik universal maupun ekstensial, variabel instan yang digunakan hendaklah variabel bebas, atau variabel yang tidak berkuantor Contoh 1 Kalimat yang memiliki kuantor ganda : x y Pxy Pxy = y adalah orang tua x x memiliki orang tua y 1 x y Pxy Pr 2 y Pyy Langkah yang tidak valid karena variabel instan yang diambil adalah y, yang merupakan variabel terikat (yang memiliki kuanto ekstensial di no. 1) 1 x y Pxy Pr 2 y Pay Langkah yang valid

Contoh 2 Premis-premis yang memiliki kuantor yang berbeda : 1 x Ix  Nx Pr 2 x [Ex  Nx] 3 Ex  Nx 2, EI Langkah tidak valid, karena variabel instan yang diambil adalah variabel terikat x (memiliki kuantor universal di no.1) 1 x Ix  Nx Pr 2 x [Ex  Nx] 3 Ea  Na 2, EI Langkah benar 4 Ia  Na 1, UI Langkah benar