UTILITY MAXIMIZATION AND CHOICE Chapter 4 UTILITY MAXIMIZATION AND CHOICE Copyright ©2005 by South-Western, a division of Thomson Learning. All rights reserved.

KENDALA ANGGARAN INDIVIDU Asumsi-asumsi Utama: konsumen akan mencoba untuk memaksimalkan utility 2) seluruh uang akan dibelanjakan 3) pilih kombinasi barang-barang, yang akan membuat konsumen senang.

Kendala Anggaran Asumsi pendapatan sebesar I dialoksikan untuk konsumsi barang X dan Y, maka: pxx + pyy  I Barang Y Individu dapat memilih Kombinasi X dan Y Di dalam segitiga Jika seluruh I Habis untuk Y Jika seluruh I Habis untuk X Barang X

Syarat orde pertama untuk maksimum Untuk menunjukkan proses utilitas maksimum, tambahkan kurva map utilitas, maka: Barang Y U1 A A: tidak efisien karena tidak Menghabiskan anggaran U3 C C: tidak dapat dicapai karena Anggaran tidak cukup U2 B B: Utilitas maksimum Barang X

Syarat orde pertama untuk maksimum Utility Maksimum dicapai jika kedua slopes sama Quantity of y B U2 Quantity of x

Pertanyaan:Bagaimana individu memaksimasi Contoh: Bila: MRS = MUX/MUY = 3 (artinya pada titik ini, kepuasan dari tambahan konsumsi 1 unit X adalah 3 kali lebih tinggi dari tambahan 1 unit Y) dan asumsikan: PX = 8 dan PY = 2, karena itu: PX/PY = 8/2 = 4 (jika harga-harga tetap, artinya biaya untuk X empat kali lebih tinggi dari Y). Pertanyaan:Bagaimana individu memaksimasi utilitasnya? Jawab: X terlalu mahal pada tingkat konsumsi tersebut, sehingga konsumen akan mengurangi konsumsi X sampai MUX/MUY menjadi 4, sehingga akan sama dengan rasio harga (PX/PY).

L = U(x1,x2,…,xn) + (I - p1x1 - p2x2 -…- pnxn) Contoh kasus: Maksimalkan: utility = U(x1,x2,…,xn) kendala Anggaran: I = p1x1 + p2x2 +…+ pnxn Dengan fungsi Lagrange: L = U(x1,x2,…,xn) + (I - p1x1 - p2x2 -…- pnxn)

turunan-turunan parsial pertama menjadi nol dan mencari solusi menurut kendalanya : L/x1 = U/x1 - p1 = 0 L/x2 = U/x2 - p2 = 0 • L/xn = U/xn - pn = 0 L/ = I - p1x1 - p2x2 - … - pnxn = 0

Implikasi dari syarat orde pertama: Untuk kasus 2 barang, Implikasi untuk Alokasi pendpatan yang optimal

Interpretasi dari Langrange  adalah marginal utilitas dari tambahan pendapatan yang dibelanjakan marginal utilitas dari pendapatan

Corner Solutions Jika kita mempunyai solusi pojok (corner solution) dalam maksimisasi, maka satu barang tidak akan dikonsumsi Barang y U2 U1 U3 A Utility maksimum di point A Barang x

Dengan adanya Corner Solution: Fungsi Lagrange juga akan berubah: ∂L/∂Xi = ∂U/∂Xi – λPi ≤ 0 (i = 1, 2, 3 …. N) jika ∂L/∂Xi = ∂U/∂Xi – λPi < 0 maka Pi > MUi/λ dan Xi (KONSUMSI) = 0 Disini , λ adalah opportunity cost dari uang, dan jika harga (Pi) lebih tinggi dari nilai marjinal kepada konsumen (MUi/λ), maka barang tersebut tidak akan dibeli (Xi=0).

Fungsi Permintaan Cobb-Douglas Fungsi Cobb-Douglas : U(x,y) = xy Lagrangian: L = xy + (I - pxx - pyy) Syarat orde Pertama: L/x = x-1y - px = 0 L/y = xy-1 - py = 0 L/ = I - pxx - pyy = 0

Fungsi Permintaan Cobb-Douglas Dari orde pertama: y/x = px/py Karena  +  = 1: pyy = (/)pxx = [(1- )/]pxx Substitusikan ke persamaan garis anggaran: I = pxx + [(1- )/]pxx = (1/)pxx

Fungsi Permintaan Cobb-Douglas Akan didapatkan x: Dan y: Individu akan mengalokasikan  persen dari pendapatannya untuk konsumsi barang x dan  persen untuk barang y

FUNGSI PERMINTAAN CES Masalah dalam fungsi permintaan Cobb-Douglas adalah tidak menyertakan efek “cross-price” dari barang-barang lain dalam permintaan. Karena itu fungsi permintaan Cobb-Douglas terbatas, dan constant elasticity functions (CES) lebih umum. CES lebih dekat pada realitas; permintaan pada satu barang tergantung pada rasio dari harga-harga.

CES Demand Asumsi  = 0.5 U(x,y) = x0.5 + y0.5 Lagrangian: L = x0.5 + y0.5 + (I - pxx - pyy) Syarat orde pertama: L/x = 0.5x -0.5 - px = 0 L/y = 0.5y -0.5 - py = 0 L/ = I - pxx - pyy = 0

CES Demand Artinya: (y/x)0.5 = px/py Substitusikan ke persmaan garis anggaran, maka didapatkan fungsi demand:

CES Demand Fungsi-fungsi permintaan di atas diturunkan dari fungsi CES. Quantitas yang diminta adalah fungsi dari rasio harga-harga. Bagian dari pengeluaran untuk satu barang tidak konstan seperti fungsi permintaan Cobb-Douglas.

CES Demand Jika  = -1, U(x,y) = -x -1 - y -1 Syarat orde pertama: y/x = (px/py)0.5 Fungsi demand menjadi:

I = pxx + pyy = pxx + py(x/4) CES Demand Jika  = -, U(x,y) = Min(x,4y) Individu akan memilih kombinasi untuk setiap x = 4y Artinya: I = pxx + pyy = pxx + py(x/4) I = (px + 0.25py)x

CES Demand Sehingga fungsi demand:

Fungsi Utilitas Tidak langsung It is often possible to manipulate first-order conditions to solve for optimal values of x1,x2,…,xn These optimal values will depend on the prices of all goods and income • x*n = xn(p1,p2,…,pn,I) x*1 = x1(p1,p2,…,pn,I) x*2 = x2(p1,p2,…,pn,I)

Contoh: Fungsi Utilitas Cobb-Douglas (3) Penyelesaian untuk X menghasilkan: PENYELESAIAN UNTUK X MENGHASILKAN Konsumen akan alokasikan  persent pendapatannya untuk X and  persen untuk Y

Fungsi Utilitas Tidak Langsung Perhatikan, di atas solusi optimal diperoleh: Artinya, X* = f (Px,I) dan Y* = g (Py,I) Generalisasi: dan • X*n = Xn(P1,P2,…,Pn, I) X*1 = X1(P1,P2,…,Pn,I) X*2 = X2(P1,P2,…,Pn,I)

Fungsi Utilitas Tidak Langsung Jadi, Utilitas Maksimum,U= U(X*1,X*2,…,X*n) Substitusikan masing-masing X*I , maka diperoleh Utilitas maksimum, U= V(P1,P2,…,Pn,I) Jadi, utilitas optimal akan tergantung secara tidak langsung pada harga dan pendapatan

Utilitas tidak Langsung dalam Fungsi Cobb-Douglas Jika, U = X0.5Y0.5, kita tahu bahwa Substitusikan ke dalam fungsi utilitas di atas, maka diperoleh

Memaksimumkan Kepuasan dengan Minimisasi Pengeluaran Problem dual untuk maksimisasi utilitas Alokasi pendapatan sedemikian rupa sehingga tercapai target kepuasan dengan anggaran paling rendah

Memaksimumkan Kepuasan dengan Minimisasi Pengeluaran Titik A adalah solusi untuk dual problem Expenditure level E2 provides just enough to reach U1 Kuantitas Y Expenditure level E3 will allow the indiividual to reach U1 but is not the minimal expenditure required to do so Expenditure level E1 is too small to achieve U1 U1 Kuantitas X

Minimisasi Pengeluaran Persoalan dari konsumen adalah memilih X1,X2,…,Xn untuk meminumkan E = P1X1 + P2X2 +…+PnXn dengan pembatas U1 = U(X1,X2,…,Un) Kuantitas optimal dari X1,X2,…,Xn akan tergantung pada harga barang Xi dan tingkat utilitas yang diinginkan

Pengeluaran minimal = E(P1,P2,…,Pn,U) Fungsi pengeluaran Fungsi pengeluaran menunjukkan pengeluaran minimum untuk mencapai suatu tingkat utilitas tertentu yg diinginkan Pengeluaran minimal = E(P1,P2,…,Pn,U)

Fungsi Pengeluaran dari Cobb-Douglas (1) Minimumkan E = PXX + PYY , dengan pembatas U’=X0.5Y0.5 di mana U’ target utilitas Bentuk Persamaan Lagrangian: L = PXX + PYY + (U’ - X0.5Y0.5) Persyaratan turunan pertama adalah L/X = PX - 0.5X-0.5Y0.5 = 0 L/Y = PY - 0.5X0.5Y-0.5 = 0 L/ = U’ - X0.5Y0.5 = 0

Fungsi Pengeluaran dari Cobb-Douglas (2) Implikasi dari persyaratan turun pertama PXX = PYY Substitusikan ke dalam persamaan pengeluaran di atas : E = PXX* + PYY* = 2PXX* Pemecahan untuk nilai optimal dr X* dan Y*:

Fungsi Pengeluaran dari Cobb-Douglas (3) Substitusikan ke fungsi utilitas, maka kita akan dapatkan fungsi utilitas tidak langsung Sehingga fungsi pengeluaran menjadi E = 2U’PX0.5PY0.5

Indirect Utility Function We can use the optimal values of the xs to find the indirect utility function maximum utility = U(x*1,x*2,…,x*n) Substituting for each x*i, we get maximum utility = V(p1,p2,…,pn,I) The optimal level of utility will depend indirectly on prices and income if either prices or income were to change, the maximum possible utility will change

The Lump Sum Principle Taxes on an individual’s general purchasing power are superior to taxes on a specific good an income tax allows the individual to decide freely how to allocate remaining income a tax on a specific good will reduce an individual’s purchasing power and distort his choices

The Lump Sum Principle Pajak penghasilan memungkinkan individu untuk memutuskan secara bebas bagaimana mengalokasikan pendapatan sisa (setelah dikurangi pajak) Pajak atas barang tertentu akan mengurangi daya beli individu dan mendistorsi pilihannya

The Lump Sum Principle A tax on good x would shift the utility-maximizing choice from point A to point B B U2 Quantity of y A U1 Quantity of x

The Lump Sum Principle An income tax that collected the same amount would shift the budget constraint to I’ I’ Quantity of y Utility is maximized now at point C on U3 U3 C I A B U1 U2 Quantity of x