Program Linear Bab I BAB I BAB II BAB III DAFTAR ISI Bab I Program Linear BAB I BAB II BAB III Program Linear dan Model Matematika BAB IV Nilai Optimum suatu Fungsi Objektif BAB V BAB VI RINGKASAN LATIHAN

Program Linear Bab I A. Program Linear dan Model Matematika DAFTAR ISI Bab I Program Linear A. Program Linear dan Model Matematika BAB I Program linear digunakan untuk menyelesaikan model matematika yang memiliki tujuan yang hendak dicapai Program Linear dan Model Matematika SPLDV (Sistem Persamaan Linear Dua Variabel) 𝒂 𝟏 𝒙+ 𝒃 𝟏 𝒚= 𝒄 𝟏 𝒂 𝟐 𝒙+ 𝒃 𝟐 𝒚= 𝒄 𝟐 𝒂 𝟏 , 𝒃 𝟏 , 𝒄 𝟏 , 𝒂 𝟐 , 𝒃 𝟐 , 𝒄 𝟐 ∈𝑅 𝒂 𝟏 , 𝒃 𝟏 , 𝒂 𝟐 , 𝒃 𝟐 ≠𝟎 Nilai Optimum suatu Fungsi Objektif Model Matematika : perumusan dari persoalan-persoalan dalam kehidupan nyata ke dalam bentuk matematika Bentuk SPtLDV (Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel) 𝒂 𝟏 𝒙+ 𝒃 𝟏 𝒚≤ 𝒄 𝟏 𝒂 𝟐 𝒙+ 𝒃 𝟐 𝒚≤ 𝒄 𝟐 𝒂 𝟏 , 𝒃 𝟏 , 𝒄 𝟏 , 𝒂 𝟐 , 𝒃 𝟐 , 𝒄 𝟐 ∈𝑅 𝒂 𝟏 , 𝒃 𝟏 , 𝒂 𝟐 , 𝒃 𝟐 ≠𝟎 Tanda ≤ dapat diganti dengan ≥, >, dan< RINGKASAN LATIHAN Program linear adalah metode untuk menyelesaikan permasalahan berupa sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan yang optimum (maksimum atau minimum)

Contoh Soal Program Linear DAFTAR ISI Contoh Soal Program Linear BAB I Seorang pengusaha mebel memiliki data sebagai berikut. Program Linear dan Model Matematika Lemari Meja Persediaan Biaya Rp 40.000,00 Rp 30.000,00 Rp 1.200.000,00 Bahan 9 3 270 Keuntungan Rp 30.500,00 Rp 15.000,00 Nilai Optimum suatu Fungsi Objektif RINGKASAN Buatlah model matematika untuk masalah tersebut, jika keuntungan bersih yang diharapkan sebesar-besarnya. LATIHAN

DAFTAR ISI Penyelesaian: Misalnya jumlah lemari yang diproduksi 𝑥 buah dan meja yang diproduksi 𝑦 buah. Biaya yang diperlukan adalah 40.000𝑥 + 30.000𝑦. Bahan yang diperlukan adalah 9𝑥 + 3𝑦. BAB I Karena modal yang dimiliki adalah Rp1.200.000,00 dan bahan yang tersedia adalah 270 lembar, maka harus dipenuhi pertidaksamaan: Program Linear dan Model Matematika 40.000𝑥 + 30.000𝑦 ≤ 1.200.000 ⟹ 4𝑥 + 3𝑦 ≤ 120 9𝑥 + 3𝑦 ≤ 270 ⟹ 3𝑥 + 𝑦 ≤ 90 Nilai Optimum suatu Fungsi Objektif Dengan mengingat bahwa 𝑥 dan 𝑦 menyatakan banyaknya barang, maka 𝑥 dan 𝑦 tidak mungkin bernilai negatif dan harus merupakan bilangan cacah. Dengan demikian 𝑥 dan 𝑦 memenuhi pertidaksamaan 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 dan 𝑥,𝑦 ∈ 𝐶. Keuntungan bersih 30.500𝑥 + 15.000𝑦. RINGKASAN Jadi, model matematika untuk persoalan di atas adalah mencari nilai maksimum dari 30.500𝑥 + 15.000𝑦 yang memenuhi LATIHAN 4𝑥+3𝑦≤120 3𝑥+𝑦≤90 𝑥≥0 𝑦≥0 dengan 𝑥, 𝑦∈𝐶

B. Nilai Optimum suatu Fungsi Objektif DAFTAR ISI B. Nilai Optimum suatu Fungsi Objektif Fungsi Objektif (𝑎𝑥+𝑏𝑦) BAB I Program Linear Terdiri dari Kendala Program Linear dan Model Matematika Metode untuk menentukan nilai optimum suatu fungsi objektif adalah metode uji titik pojok dan garis selidik Nilai Optimum suatu Fungsi Objektif Metode Uji Titik pojok: Menghitung nilai-nilai 𝑎𝑥+𝑏𝑦 untuk setiap titik pojok pada daerah himpunan penyelesaian. RINGKASAN LATIHAN Nilai terbesar adalah nilai maksimum Nilai terkecil adalah nilai minimum

DAFTAR ISI Contoh soal penyelesaian program linear menggunakan metode uji titik pojok BAB I Tentukan nilai maksimum dari 17.500𝑥+8.000𝑦 dengan model matematika program linear berikut. Program Linear dan Model Matematika 2𝑥+𝑦≤10 6𝑥+2𝑦≤30 𝑥≥0 𝑦≥0 dengan 𝑥, 𝑦∈𝐶 Nilai Optimum suatu Fungsi Objektif Penyelesaian: Mula-mula kita tentukan himpunan penyelesaian model matematika tersebut, sehingga didapat daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear tersebut diperlihatkan oleh daerah yang diraster seperti pada gambar di samping. RINGKASAN LATIHAN

Titik-titik pojok yang terletak pada daerah himpunan penyelesaiannya DAFTAR ISI Titik-titik pojok yang terletak pada daerah himpunan penyelesaiannya adalah titik O(0, 0), A(5, 0), dan B(0, 10), titik A adalah titik potong antara garis 2x + y = 10 dengan garis 6x + 2y = 30. Nilai fungsi objektif 17.500x + 8.000y untuk setiap koordinat titik pojok dapat dilihat pada tabel di bawah ini. BAB I Program Linear dan Model Matematika Titik Pojok (𝒙,𝒚) Bentuk 17.500𝑥+8.000𝑦 𝑂(0,0) 𝐴(5,0) 87.500 𝐵(0,10) 80.000 Nilai Optimum suatu Fungsi Objektif RINGKASAN Dari tabel tersebut tampak bahwa nilai maksimum dari fungsi objektif sama dengan 87.500 yang dicapai di titik A(5, 0). Hasil-hasil tersebut dapat ditafsirkan bahwa keuntungan bersih setiap hari sebesar-besarnya adalah Rp87.500,00. Hal ini tercapai kalau setiap hari diproduksi lemari sebanyak 5 buah dan meja 0 buah. LATIHAN

DAFTAR ISI Metode Garis Selidik BAB I Langkah-langkah: Program Linear dan Model Matematika Tetapkan persamaan garis selidik 𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑘 𝑘∈𝑅 . Ambil nilai 𝑘 tertentu misalnya, untuk 𝑘=0 diperoleh 𝑎𝑥+𝑏𝑦=0, kemudian lukis garis tersebut. Buatlah garis-garis yang sejajar dengan garis 𝑎𝑥+𝑏𝑦=0. Nilai Optimum suatu Fungsi Objektif RINGKASAN LATIHAN

Nilai Optimum dengan Metode Garis Selidik DAFTAR ISI Nilai Optimum dengan Metode Garis Selidik Jika garis 𝑎𝑥+𝑏𝑦= 𝑘 2 terletak paling dekat dari titik pangkal dan melalui titik 𝐶( 𝑥 2 , 𝑦 2 ) dimana titik 𝐶( 𝑥 2 , 𝑦 2 ) terletak pada daerah himpunan penyelesaian, maka titik 𝐶( 𝑥 2 , 𝑦 2 ) merupakan titik yang menjadikan fungsi objektif 𝑎𝑥+𝑏𝑦 minimum. BAB I Program Linear dan Model Matematika Nilai Optimum suatu Fungsi Objektif Jika garis 𝑎𝑥+𝑏𝑦= 𝑘 1 terletak paling jauh dari titik pangkal dan melalui titik 𝐴( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) dimana titik 𝐴( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) terletak pada daerah himpunan penyelesaian, maka titik 𝐴( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) merupakan titik yang menjadikan fungsi objektif 𝑎𝑥+𝑏𝑦 maksimum. RINGKASAN LATIHAN

DAFTAR ISI Contoh soal penyelesaian program linear menggunakan metode garis selidik Tentukan nilai maksimum fungsi objektif 2𝑥 + 3𝑦 pada SPtLDV berikut. BAB I 2𝑥+4𝑦≤36 4𝑥+2𝑦≤24 𝑥≥0 𝑦≥0 dengan 𝑥, 𝑦∈𝑅 Program Linear dan Model Matematika Penyelesaian: Nilai Optimum suatu Fungsi Objektif Himpunan penyelesaian SPtLDV terlihat pada gambar di samping. Kita lukis garis selidik 2x + 3y = k, untuk k = 6 diperoleh garis 2x + 3y = 6. Garis yang sejajar dengan garis 2x + 3y = 6 dan terletak paling jauh dari titik pangkal adalah garis yang melalui titik B(2, 8). RINGKASAN LATIHAN Jadi, titik B(2, 8) adalah titik pada daerah himpunan penyelesaian yang menyebabkan fungsi objektif 2x + 3y maksimum. Nilai maksimumnya adalah 2 × 2 + 3 × 8 = 28.

DAFTAR ISI RINGKASAN BAB I Program linear adalah metode matematika dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan yang optimum Program Linear dan Model Matematika Program linear terdiri atas 2 bagian, yaitu fungsi objektif dan kendala. Nilai Optimum suatu Fungsi Objektif Nilai optimum suatu fungsi objektif dapat dicari dengan dua metode berikut. Metode uji titik pojok Metode garis selidik RINGKASAN LATIHAN

DAFTAR ISI LATIHAN Tentukan nilai optimum (nilai maksimum atau nilai minimum) fungsi objektif setiap model matematika berikut. 2𝑥+𝑦≤36 𝑥+𝑦≤24 𝑥≥0 𝑦≥0 dengan 𝑥, 𝑦∈𝑅 BAB I Program Linear dan Model Matematika Nilai Optimum suatu Fungsi Objektif Sebuah perusahaan memproduksi kebaya A dan B. Kedua jenis kebaya itu dalam pembuatannya harus menggunakan mesin bordir I dan mesin bordir II. Kebaya A memerlukan waktu 4 menit pada mesin I dan 6 menit pada mesin II, sedangkan kebaya B memerlukan 3 menit pada mesin I dan 2 menit pada mesin II. Mesin I dan mesin II setiap harinya masing-masing bekerja selama 24 jam dan 6 jam. Bila kebaya A memberikan keuntungan Rp110.000,00 dan kebaya B keuntungan Rp130.000,00 dan semua kebaya yang diproduksi habis terjual, dengan menggunakan garis selidik tentukan keuntungan maksimum yang bisa diraih perusahaan tersebut. RINGKASAN LATIHAN