Diferensial & Optimalisasi Diferensial Fungsi Majemuk Optimalisasi Penerapan dalam ekonomi

Parsial Diferensial Sebuah fungsi yg hanya mengandung satu variabel bebas hanya akan memiliki satu macam turunan Jika y = f(x) maka turunan y terhadap x: y’ = dy/dx Sedangkan jika fungsi yg bersangkutan memiliki lebih dari satu variabel bebas, maka turunannya akan lebih dari satu macam, tergantung jumlah variabel bebasnya

Parsial Diferensial Jika y = f(x, z) dan disebut derivatif parsial, dan disebut diferensial parsial, sedangkan dy disebut diferensial total Jika p = f(q, r, s)

Parsial Derivatif y = f(x1, x2, x3, …, xn) dimana xi (i = 1, 2, 3, …, n) adalah variabel yg independen satu sama lainnya, tiap variabel dapat berubah tanpa mempengaruhi variabel lainnya (variabel lainnya konstan) Jika variabel x1 mengalami perubahan sebesar ∆x1 sedangkan variabel lainnya (x2, x3, …, xn) tetap, maka y akan berubah sebesar ∆y. Maka kuosien diferensi dapat ditulis:

Parsial Derivatif Derivative y terhadap x1 sebagaimana contoh diatas disebut sebagai derivatif parsial dan dilambangkan dengan: Fungsi turunannya (derivative) adalah:

Contoh (2): Derivative Parsial Carilah turunan parsial terhadap x1 dan x2 dari fungsi y = f(x1, x2) = 3x12 + x1x2 +4x22 dengan menganggap x2 konstan, turunan terhadap x1 adalah: turunan terhadap x2:

Contoh (3): Derivative Parsial Carilah turunan parsial terhadap u dan v dari fungsi y = f(u, v) = (u+4)(3u+2v) dengan menganggap v konstan, turunan terhadap u adalah: turunan terhadap v:

Contoh (4): Derivative Parsial Carilah turunan parsial terhadap u dan v dari fungsi y = f(u, v) = (3u – 2v)/(u2+3v) dengan menganggap v konstan, turunan terhadap u adalah: turunan terhadap v:

Derivatif dari Parsial Derivatif Sama seperti diferensial fungsi sederhana, derivatif fungsi majemuk juga dapat diturunkan kembali Jika y = x3 + 5z2 -4x2z – 6xz2 + 8z – 7, maka turunan pertama y terhadap x dan z: turunan ke-2: 1 2 1a 2a 1b 2b

Derivatif dari Parsial Derivatif turunan ke-3: 1aa 2aa 1ab 2ab 1ba 2ba 1bb 2bb

Nilai Ekstrim Untuk y = f(x, z) maka y akan mencapai titik ekstrimnya jika (necessary condition): Untuk mengetahui apakah titik ekstrim yg tercapai adalah maksimum atau minimum, maka (sufficient condition): dan dan Maksimum dan Minimum

Contoh (5): Titik Ekstrim Carilah titik ekstrim dari fungsi: y = -x2 + 12x – z2 + 10z - 45 selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi tersebut merupakan titik maksimum atau minimum! 1) Titik ekstrim: yx dan yz = 0 y = -(6)2 + 12(6) – (5)2 + 10(5) – 45 = 16 letak titik ekstrim adalah (6, 16, 5) → 3-dimensi

Contoh (5): Titik Ekstrim Carilah titik ekstrim dari fungsi: y = -x2 + 12x – z2 + 10z - 45 selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi tersebut merupakan titik maksimum atau minimum! 2) Jenis titik ekstrim: yxx dan yzz : Maka titik ekstrim adalah titik maksimum dengan ymax = 16

Latihan Carilah titik ekstrim dari fungsi: p = 3q2 – 18q + r2 – 8r + 50 selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi tersebut merupakan titik maksimum atau minimum!

Optimalisasi Bersyarat Optimalisasi suatu fungsi objektif (fungsi yg akan dioptimalkan—baik maksimum atau minimum) atas suatu fungsi kendala dapat diselesaikan dgn (1) metode substitusi dan (2) metode Lagrange Nilai optimum diperoleh ketika turunan pertama dari fungsi tersebut sama dengan nol (necessary condition) Sedangkan untuk mengetahui apakah nilai tersebut adalah maksimum atau minimum, dapat diselidiki dari turunan keduanya (sufficient condition): Jika turunan kedua < 0, maka maksimum Jika turunan kedua > 0, maka minimum

Metode Substitusi Jika fungsi objektif: z = f(x, y) s.t. u = g(x, y) → fungsi kendala manipulasi fungsi kendala menjadi persamaan salah satu variabel Substitusi persamaan tersebut kedalam fungsi objektifitasnya Cari turunan pertama dari fungsi tersebut (untuk mencari nilai ekstrim) Selidiki maksimum/minimum dengan mencari turunan kedua sesuai dengan persyaratan

Contoh (6) Metode Substitusi π = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y .…...… (1) s.t. X + Y = 12 .......... (2) Rearrange (2): X = 12 – Y ………. (3) Substitusi (3) ke (1): = 80(12 – Y) – 2(12 – Y)2 – (12 – Y)Y – 3Y2 + 100Y = 960 – 80Y – 2(144 – 24Y – Y2) – 12Y + Y2 – 3Y2 + 100Y = –4Y2 + 56Y +672 ………. (4)

Contoh (6) Metode Substitusi Derivasi order ke-1 persamaan (4): dπ/dY = 0 –8Y + 56 = 0 ↔ Y* = 7 Substitusi nilai Y ke (3): X* = 12 – 7 = 5 Profit (π): π = 80(5) – 2(5)2 – (5)7 – 3(7)2 + 100(7) = $868 Jenis titik ekstrim: d2π/dY2 = -8 < 0 → titik ekstrim maksimum

Metode Lagrange Jika fungsi objektif: z = f(x, y) s.t. u = g(x, y) → fungsi kendala maka: L(x, y, λ) = f(x, y) + λ(g(x, y) – u) Nilai optimum terjadi pada saat Lx dan Ly = 0 (necessary condition) Nilai optimum adalah maksimum jika Lxx dan Lyy < 0 dan minimum jika Lxx dan Lyy > 0 (sufficient condition)

Contoh (7) Metode Lagrange π = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y .…...… (1) s.t. X + Y = 12 .......... (2) Fungsi Lagrangian: L = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y + λ(X + Y – 12) Dengan menggunakan derivatif parsial, solusi ditemukan pada saat f’(z) = 0: ………. (3)

Contoh (7) Metode Lagrange Persamaan (3) dikurangi (4): 80 – 4X – Y + λ = 0 100 – X – 6Y + λ = 0 –20 – 3X + 5Y = 0 ………. (4) ………. (5) ………. (6)

Contoh (7) Metode Lagrange Kali (5) dengan 3 dan jumlahkan dengan (6): 3X + 3Y – 36 = 0 –3X + 5Y – 20 = 0 8Y – 56 = 0 ↔ Y* = 7 X + 7 – 12 = 0 ↔ X* = 5 π = 80(5) – 2(5)2 – 5(7) – 3(7)2 + 100(7) = $868 Jenis titik ekstrim: d2π/dX2 = -4 < 0 d2π/dY2 = -8 < 0 Masukkan nilai Y* & X* ke (3) atau (4), nilai λ: λ = –5 – 42 + 100 = –53 titik esktrim maksimum

Latihan Carilah titik ekstrim dari fungsi: z = 2x + 2y dengan kendala (syarat) x2 + y2 = 8 Jelaskan jenis titik ekstrim dan tentukan nilai ekstrim fungsi tersebut!

Penerapan dalam Ekonomi

Permintaan Marjinal Apabila 2 macam barang mempunyai hubungan dalam penggunaannya, maka permintaan atas masing-masing barang akan fungsional terhadap harga kedua barang tersebut Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb) maka: Permintaan marjinal akan A berkenaan dengan Pa Permintaan marjinal akan B berkenaan dengan Pa Permintaan marjinal akan A berkenaan dengan Pb Permintaan marjinal akan B berkenaan dengan Pb

Elastisitas Permintaan Parsial Elastisitas permintaan (price elasticity of demand) Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb), maka elastisitas permintaan atas perubahan harga barang itu sendiri: Barang a Barang b

Elastisitas Permintaan Parsial Elastisitas Silang (cross elasticity of demand) Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb), maka elastisitas silang yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang berkenaan dengan perubahan harga barang lainnya: Elastisitas silang barang a dengan barang b Elastisitas silang barang b dengan barang a

Elastisitas Permintaan Parsial Elastisitas Silang (cross elasticity of demand) Jika dan < 0 untuk Pa dan Pb tertentu, maka hubungan antara barang a dan barang b adalah saling melengkapi (komplementer); karena kenaikan harga salah satu barang akan diikuti penurunan permintaan atas keduanya Jika dan > 0 untuk Pa dan Pb tertentu, maka hubungan antara barang a dan barang b adalah saling menggantikan (substitusi); karena kenaikan harga salah satu barang akan diikuti kenaikan permintaan barang lainnya

Contoh (8) Elastisitas 2 Barang Fungsi permintaan atas 2 barang ditunjukkan sbb: Qda(Pa2)(Pb3) – 1 = 0 Qdb(Pa3)(Pb) – 1 = 0 Hitunglah elastisitas permintaan masing-masing barang dan bagaimanakah hubungan antara kedua barang tersebut? Elastisitas permintaan: manipulasi bentuk persamaan permintaan:

Contoh (8) Elastisitas 2 Barang Elastisitas permintaan: cari Qda’ dan Qdb’: bentuk persamaan elastisitas permintaannya: Barang a: elastis, barang b: elastis-uniter

Contoh (8) Elastisitas 2 Barang Elastisitas silang: cari turunan pertama atas a dan b: bentuk persamaan elastisitas silangnya: Hubungan kedua barang adalah komplementer

Fungsi Biaya Gabungan Andaikan sebuah perusahaan memproduksi 2 barang A dan B, dimana fungsi permintaan atas kedua barang dicerminkan oleh QA dan QB sedangkan fungsi biaya C = f(QA, QB) maka: Penerimaan dari barang A: RA = QA x PA = f(QA) Penerimaan dari barang B: RB = QB x PB = f(QB) Penerimaan total: R = RA + RB = f(QA) + f(QB) Fungsi keuntungannya: П = R – C = [f(QA) + f(QB)] – f(QA, QB) = g(QA, QB)

Fungsi Biaya Gabungan Keuntungan akan optimum ketika П’ = 0: Titik optimum adalah maksimum jika П’’ < 0:

Contoh (9) Fungsi Biaya Gabungan Biaya total yg dikeluarkan sebuah perusahaan yg memproduksi dua barang, X dan Y, adalah: C = QX2 + 3QY2 +QXQY Harga jual per unit masing-masing barang adalah PX = 7 dan PY = 20 Berapa unit tiap barang harus diproduksi agar keuntungan maksimum? Berapakah besarnya keuntungan maksimum?

Contoh (9) Fungsi Biaya Gabungan Berapa unit tiap barang harus diproduksi agar keuntungan maksimum? RX = PXQX = 7QX RY = PYQY = 20QY R = 7QX + 20QY П = 7QX + 20QY – QX2 – 3QY2 – QXQY 7 – 2(20 – 6QY) – QY = 0 33 – 11QY = 0 → QY = 3 QY = 3 → 20 – 6(3) – QX = 0 → QX = 2

Contoh (9) Fungsi Biaya Gabungan Jika ПXX dan ПYY < 0 maka titik maksimum: Besarnya keuntungan maksimum: П = 7(2) + 20(3) – (2)2 – 3(3)2 – (2)(3) П = 37 Soal ini juga dapat diselesaikan melalui persamaan marjinalnya, П akan maksimum ketika MR = MC: MRX = MCX dan MRY = MCY

MU dan Keseimbangan Konsumsi Jika kepuasan konsumen U dan barang-barang yg dikonsumsinya qi = (i = 1, 2, 3, …, n) maka: U = f(q1, q2, q3, …, qn ) Seandainya untuk penyerderhanaan, diasumsikan bahwa seorang konsumen hanya mengkonsumsi 2 macam barang, X dan Y, maka fungsi utilitasnya: U = f(x, y) Fungsi utilitas U = f(x, y) merupakan persamaan kurva indiferensi (indifference curve)—kurva yg menunjukkan berbagai kombinasi konsumsi X dan Y yang memberikan tingkat kepuasan yang sama

MU dan Keseimbangan Konsumsi Derivatif pertama dari U terhadap X dan Y merupakan fungsi utilitas marjinal parsialnya: Budget Line (garis anggaran): garis yang mencerminkan kemampuan konsumen membeli berbagai macam barang berkenaan dgn harga masing-masing barang dan pendapatan konsumen. Jika M adalah pendapatan konsumen dan Px dan Py harga barang X dan Y maka: M = xPx + yPy Utilitas marjinal berkenaan dengan barang X Utilitas marjinal berkenaan dengan barang Y

MU dan Keseimbangan Konsumsi Keseimbangan konsumsi—suatu keadaan atau tingkat kombinasi konsumsi beberapa barang yang memberikan tingkat kepuasan optimum—tercapai pada saat kurva indiferensi bersinggungan (tangent) dengan budget line konsumen Optimalisasi dpt diselesaikan dengan membentuk persamaan Lagrange dan derivatif pertama = 0: L = f(x, y) + λ(xPx + yPy – M)

MU dan Keseimbangan Konsumsi Manipulasi Lx dan Ly: Utilitas marjinal (MU) = U’ = f ‘(x, y), maka: Keseimbangan konsumsi tercapai apabila hasilbagi utilitas marjinal dari setiap barang atas harganya adalah sama

Contoh (10) Utilitas Optimum Kepuasan seorang konsumen dari mengkonsumsi barang X dan Y ditunjukkan oleh persamaan: U = x2y3 Jumlah pendapatan konsumen Rp 1000 dan harga barang X dan Y adalah Rp 25 dan Rp 50 Carilah fungsi utilitas marjinal untuk setiap barang Berapakah utilitas marjinal jika konsumen mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y? Apakah dengan mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y konsumen memaksimumkan utilitasnya? Jika tidak, carilah kombinasi barang X dan Y akan memberikan tingkat kepuasan optimum

Contoh (10) Utilitas Optimum Carilah fungsi utilitas marjinal untuk setiap barang Berapakah utilitas marjinal jika konsumen mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y?

Contoh (10) Utilitas Optimum Apakah dengan mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y konsumen memaksimumkan utilitasnya? Kombinasi X dan Y yg memaksimumkan utilitas:

Contoh (10) Utilitas Optimum Kombinasi X dan Y yg memaksimumkan utilitas: Substitusi nilai y = ¾ x kedalam persamaan λ: x = 16, maka Utilitas maksimum:

MP dan Keseimbangan Produksi Jika jumlah keluaran P dan input yang digunakan xj = (j = 1, 2, 3, …, n) maka fungsi produksinya: P = f(x1, x2, x3, …, xn ) Seandainya diasumsikan bahwa seorang produsen hanya menggunakan 2 macam input, K dan L, maka fungsi produksinya: P = f(k, l) Fungsi produksi P = f(k, l) merupakan persamaan kurva isoquant—kurva yg menunjukkan berbagai kombinasi penggunaan input K dan L yang memberikan tingkat produksi yang sama

MP dan Keseimbangan Produksi Derivatif pertama dari P terhadap K dan L merupakan fungsi produk marjinal parsialnya: Isocost: garis yang mencerminkan kemampuan produsen membeli berbagai macam input berkenaan dgn harga masing-masing input dan jumlah dana yg dimiliki. Jika M adalah jumlah dana yg dianggarkan, PK dan PL harga input K dan L maka: M = K x PK + L x PL Produksi marjinal berkenaan dengan input K Produksi marjinal berkenaan dengan input Y

MP dan Keseimbangan Produksi Keseimbangan produksi—suatu keadaan atau tingkat penggunaan kombinasi faktor-faktor produksi secara optimum, yakni tingkat produksi maksimum dengan kombinasi biaya terendah (least cost combination)—tercapai pada saat kurva isoquant bersinggungan (tangent) dgn isocost Optimalisasi dpt diselesaikan dengan membentuk persamaan Lagrange dan derivatif pertama = 0: Z = f(K, L) + λ(KPK + LPL – M)

MP dan Keseimbangan Produksi Manipulasi Lx dan Ly: Utilitas marjinal (MP) = P’ = f ‘(K, L), maka: Produksi optimum dgn kombinasi biaya terendah akan tercapai jika hasibagi produk marginal masing-masing input terhadap harganya adalah sama

Fungsi Produksi Cobb-Douglas Dinyatakan dengan: dimana: A : Total factor productivity K : Capital L : Labor α dan β : elastisitas output Jika: α + β = 1 → constant return to scale α + β > 1 → increasing return to scale α + β < 1 → decreasing return to scale

Contoh (11) Utilitas Optimum Seorang produsen mencadangkan Rp 96 untuk membeli input K dan L. Harga per unit input K adalah 4 rupiah dan input L adalah 3 rupiah. Jika fungsi produksi adalah P = 12KL, berapa unit tiap input harus digunakan agar produksi optimum dan berapakah produksi optimum tersebut?