Nonparametrik: Data Peringkat 2 Pertemuan 12 Nonparametrik: Data Peringkat 2

A. Pendahuluan 1. Pendahuluan Pembahasan tentang uji hipotesis Wilcoxon dan Mann-Whitney Menggunakan data tanda dan peringkat

2. Pengujian Hipotesis Uji Wilcoxon mencakup Uji median (rerata) melalui satu sampel Uji kesamaan dua populasi melalui sampel berpasangan Uji Mann-Whitney mecakup Uji kesamaan dua populasi melalui sampel tidak perlu berpasangan

B. Uji Wilcoxon Satu Sampel 1. Tujuan Pengujian Hipotesis Pengujian hipotesis dilakukan terhadap median, apakah median sama dengan suatu nilai tertentu M > M0 M < M0 M ≠ M0 Pengujian dapat juga dilakukan terhadap rerata (walaupun pengujian rerata dapat dilakukan secara parametrik), apakah rerata sama dengan suatu nilai tertentu  > 0  < 0  ≠ 0

2. Pembentukan Kelompok Peringkat Data X dikelompokkan berdasarkan letak mereka pada X  M0 atau X  0 Kelompok di atas nilai itu diberi tanda + Kelompok di bawah nilai diberi tanda  Kelompok yang sama dengan nilai itu diberi tanda 0 Selanjutnya data dengan tanda 0 diabaikan (sampel berkurang)

Contoh 1 Data 10 13 14 13 15 11 10 9 12 9 11 13 16 Jika median M0 = 12,5 maka Data Simpangan Data Simpangan X X  M0 X X  M0 10  2,5 9  3,5 13 0,5 12  0,5 14 1,5 9  3,5 13 0,5 11  1,5 15 2,5 13 0,5 11  1,5 16 3,5 10  2,5

Dua kelompok data itu disusun dalam satu peringkat Urutan Pering- Peringkat Tanda peringkat simpangan kat sementara +  0,5 1 2,5 2,5 0,5 2 2,5 2,5 0,5 3 2,5 2,5  0,5 4 2,5 2,5 1,5 5 6 6  1,5 6 6 6  1,5 7 6 6  2,5 8 9 9 2,5 9 9 9  2,5 10 9 9  3,5 11 12 12  3,5 12 12 12 3,5 13 12 12 34,5 56,5 J+ J

Contoh 2 Hitunglah jumlah peringkat pada data berikut 99 100 90 94 135 108 107 111 119 104 127 109 117 105 125 Untuk median M0 = 107 Data simpangan Data simpangan X X  107 X X  107 99  8 119 + 12 100  7 104  3 90  17 127 + 20 94  13 109 + 2 135 + 28 117 + 10 108 + 1 105  2 107 0 125 + 18 111 + 4

Urutan Peringkat Peringkat Tanda peringkat simpangan sementara +  1 1 1 1 2 2 2,5 2,5  2 3 2,5 2,5  3 4 4 4 4 5 5 5  7 6 6 6  8 7 7 7 10 8 8 8 12 9 9 9  13 10 10 10  17 11 11 11 18 12 12 12 20 13 13 13 28 14 14 14 64,5 40,5 J+ J

Contoh 3 (dikerjakan di kelas) Hitunglah jumlah peringkat + dan  terhadap median = 3,50 pada sampel berikut 1,80 3,30 5,65 2,25 2,50 3,50 2,75 3,25 3,10 2,70 3,00

Contoh 4 Hitunglah jumlah peringkat + dan  terhadap median = 97,5 pada sampel berikut 93,6 89,1 97,7 84,4 97 8 94,5 88,3 97,5 83,7 94,6 85,5 82,6 Contoh 5 Hitunglah jumlah peringkat + dan  terhadap median = 8,41 pada sampel berikut 8,30 9,50 9,60 8,75 8,40 9,10 9,25 9,80 10,05 8,15 10,00 9,60 9,80 9,20 9,30

3. Pengujian Hipotesis Pengujian hipotesis berlaku untuk median dan rerata Macam pengujian hipotesis pada Sampel besar (n > 25) Tanpa peringkat sama Ada peringkat sama Sampel kecil (n  25)

4. Uji Hipotesis Sampel Besar Tanpa Peringkat Sama Distribusi probabilitas pensampelan didekatkan ke Distribusi probabilitas normal dengan Rerata Kekeliruan baku

Pengujian hipotesis pada sampel besar Untuk M > M0 J+ diharapkan > J diuji pada ujung atas, atau J diharapkan < J diuji pada ujung bawah Untuk M < M0 J diharapkan > J diuji pada ujung atas, atau J+ diharapkan < J diuji pada ujung bawah Untuk M  M0 J+ dan J diuji pada dua ujung dengan ½

Contoh 6 Pada taraf signifikansi 0,05, uji hipotesis bahwa median populasi lebih dari 100. Sampel adalah 99 98 97 96 95 106 93 108 91 110 89 112 113 114 85 116 117 118 119 120 79 122 123 76 125 126 127 128 129 130 Hipotesis H0 : M = 100 H1 : M > 100

Sampel M0 = 100 Data simpangan Data simpangan Data simpangan 99  1 89  11 79  21 98  2 112 + 12 122 + 22 97  3 113 + 13 123 + 23 96  4 114 + 14 76  24 95  5 85  15 125 + 25 106 + 6 116 + 16 126 + 26 93  7 117 + 17 127 + 27 108 + 8 118 + 18 128 + 28 91  9 119 + 19 129 + 29 110 + 10 120 + 20 130 + 30

Peringkat +  Peringkat +  1 1 16 16 2 2 17 17 3 3 18 18 n = 30 4 4 19 19 5 5 20 20 J+ = 363 6 6 21 21 7 7 22 22 J = 102 8 8 23 23 9 9 24 24 10 10 25 25 11 11 26 26 12 12 27 27 13 13 28 28 14 14 29 29 15 15 30 30 363 102

Distribusi probabilitas pensampelan Distribusi probabilitas normal Rerata Kekeliruan baku

Statistik uji Di sini kita menggunakan J+ Kriteria pengujian Taraf signifikansi 0,05 Pengujian pada ujung atas Nilai kritis z(0,95) = 1,645 Tolak H0 jika z > 1,645 Terima H0 jika z  1,645 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 tolak H0

Contoh 7 Pada taraf signifikansi 0,05, uji median M < 500, jika sampel acak menunjukkan n = 35 J+ = 210 J = 420 Hipotesis H0 : M = 500 H1 : M < 500 Sampel n = 35 J+ = 210 J = 420

Distribusi probabilitas pensampelan DPP : DP normal Rerata Kekeliruan baku

Statistik uji Di sini kita menggunakan J Kriteria pengujian Taraf signifikansi 0,05 Pengujian pada ujung atas Nilai kritis z(0,95) = 1,645 Tolak H0 jika z > 1,645 Terima H0 jika z  1,645 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 tolak H0

Contoh 8 (dikerjakan di kelas) Pada taraf signifikansi 0,05, uji hipotesis bahwa median M lebih dari 500 apabila sampel menunjukkan bahwa n = 50 J+ = 650 J = 625

Contoh 9 Pada taraf sifnifikansi 0,05, uji hipotesis bahwa median M lebih dari 500 jika sampel acak menunjukkan bahwa n = 45 J+ = 530 J = 505 Contoh 10 Pada taraf signifikansi 0,05, uji hipotesis bahwa median kurang dari 200 jikan sampel acak menunjukkan bahwa n = 27 J+ = 178 J = 200

Contoh 11 Pada taraf sifnifikansi 0,05, uji hipotesis bahwa median M kurang dari 400 jika sampel acak menunjukkan bahwa n = 40 J+ = 350 J = 470 Contoh 12 Pada taraf signifikansi 0,05, uji hipotesis bahwa median M tidak sama dengan 320 jika sampel acak menunjukkan bahwa n = 35 J+ = 330 J = 300

5. Uji Hipotesis Sampel Besar dengan Peringkat Sama Diperlukan koreksi peringkat sama pada kekeliruan baku Selain koreksi ini, pengujian hipotesis adalah sama seperti pada kasus tanpa peringkat sama Koreksi peringkat sama untuk setiap peringkat sama Pada peringkat sama terdapat t data Koreksi Kekeliruan baku menjadi

Contoh 13 Pada taraf signifikansi 0,05, diuji M0 ≠ 100, dengan sampel menunjukkan peringkat sebagai berikut Peringkat +  Peringkat +  1 1 16 16 2 2 17 17 3 3 18 18 5 5 20 20 5 5 20 20 5 5 20 20 7 7 22 22 8 8 23 23 9,5 9,5 24 24 9,5 9,5 25,5 25,5 11 11 25,5 25,5 12 12 27 27 13,5 13,5 28 28 13,5 13,5 29 29 15 15 30 30 289 139 J+ J-

Hipotesis H0 : M = 100 H1 : M ≠ 100 Sampel n = 30 J+ = 289 J = 139 Distribusi probabilitas pensampelan Didekatkan ke distribusi probabilitas normal Koreksi peringkat sama Peringkat t (t3 – t) / 48 5 3 0,5 9,5 2 0,125 13,5 2 0,125 20 3 0,5 25,5 2 0,125 Σ T = 1,375

Rerata Kekeliruan baku Statistik uji

Kriteria pengujian Taraf signifikansi 0,05 Pengujian dua ujung Nilai kritis z(0,025) =  1,960 z(0,975) = 1,960 Tolak H0 jika z <  1,960 atau z > 1,960 Terima H0 jika 1,960  z  1,960 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 terima H0 Catatan: Selain menghitung koreksi peringkat sama, pengujian hipotesis sama dengan pengujian hipotesis pada tanpa peringkat sama

5. Uji Hipotesis Sampel Kecil Sampel adalah kecil jika n  25 Ada dua kemungkinan untuk menentukan batas yakni nilai besar di atas rerata untuk ditabelkan (tidak dibuat tabel) Nilai kecil di bawah rerata untuk ditabelkan (dibuat tabel) Disediakan tabel nilai kritis khusus untuk J, yakni nilai yang terkecil di antara J+ dan J- Kriteria pengujian adalah Tolak H0 jika J < Jtabel Terima H0 jika J  Jtabel

Tabel Nilai Kritis J pada Uji Wilcoxon n  = 0,01  = 0,05 n  = 0,01  = 0,05 6 -- 0 16 20 30 7 -- 2 17 23 35 8 0 4 18 28 40 9 2 6 19 32 46 10 3 8 20 38 52 11 5 11 21 43 59 12 7 14 22 49 66 13 10 17 23 55 73 14 13 21 24 61 81 15 16 25 25 68 89

Pengujian hipotesis pada sampel kecil Untuk M > M0 J+ diharapkan > J diuji pada ujung atas, atau J diharapkan < J diuji pada ujung bawah Untuk M < M0 J diharapkan > J diuji pada ujung atas, atau J+ diharapkan < J diuji pada ujung bawah Untuk M  M0 J+ dan J diuji pada dua ujung dengan ½ yang terkecil diuji pada ujung bawah

Contoh 14 Pada taraf signifikansi 0,05, uji hipotesis bahwa median populasi kurang dari 12,5 jika sampel adalah 10 13 14 13 15 11 10 9 12 9 11 13 16 Hipotesis H0 : M = 12,5 H1 : M < 12,5 Sampel (dari contoh 1) n = 13 J+ = 34,5 J = 56,5

Statistik uji Untuk M < 12,5 J kecil adalah J+ sehingga statisik uji adalah J+ = 34,5 Kriteria pengujian Taraf signifikansi  = 0,05 n = 13 dari tabel J = 17 Tolak H0 jika J+ < 17 Terima H0 jika J+  17 Keputusan Terima H0

Contoh 15 (dikerjakan di kelas) Pada taraf signifikansi 0,05, uji hipotesis bahwa median populasi lebih dari 107 jika sampel adalah 99 100 90 94 135 108 107 111 119 104 127 109 117 105 125

Contoh 16 Pada taraf signifikansi 0,05, uji hipotesis bahwa median populasi kurang dari 3,50 jika sampel adalah 1,80 3,30 5,65 2,25 2,50 3,50 2,75 3,25 3,10 2,70 3,00 Contoh 17 Pada taraf signifikansi 0,05, uji hipotesis bahwa median populasi tidak sama dengan 97,5 jika sampel adalah 93,6 89,1 97,7 84,4 97 8 94,5 88,3 97,5 83,7 94,6 85,5 82,6

Contoh 18 Pada taraf signifikansi 0,05, uji hipotesis bahwa median populasi tidak sama dengan 8,41 jika sampel adalah 8,30 9,50 9,60 8,75 8,40 9,10 9,25 9,80 10,05 8,15 10,00 9,60 9,80 9,20 9,30

C. Uji Wilcoxon Sampel Berpasangan 1. Pendahuluan Sampel berpasangan berarti bahwa setiap data di dalam sampel adalah berpasangan Misal Harga Toko X Toko Y beras Xberas Yberas gula Xgula Ygula sabun Xsabun Ysabun Nilai pasangan sampel dikurangi satu dari lainnya maka diperoleh satu nilai selisih Selanjutnya nilai selisih ini dapat diperlakukan seperti pada uji Wilconxon satu sampel

2. Perhitungan J Ada perhitungan untuk sampel Tanpa peringkat sama Ada peringkat sama Cara perhitungan sama dengan cara pada sampel median

Contoh 19 (tanpa peringkat sama) Sampel X Y selisih Data Peringkat +  30 10 + 20  10 1 1 40 15 + 25 + 15 2 2 n = 8 35 20 + 15 + 20 3 3 10 20  10 + 25 4 4 J+ = 27 45 10 + 35 + 30 5 5 J = 9 15 60  45 + 35 6 6 50 20 + 30 + 40 7 7 50 10 + 40  45 8 8 27 9

Contoh 20 (ada peringkat sama) Sampel X Y selisih Data Per Sem Pering +  12 17  5  1 1 1 1 10 15  5  5 2 2,5 2,5 n = 8 20 10 + 10  5 3 2,5 2,5 15 30  15 + 9 4 4 4 J+ = 17 13 26  13 + 10 5 5 5 J = 19 19 10 + 9  13 6 6,5 6,5 14 27  13  13 7 6,5 6,5 21 22  1 + 15 8 8 8 17 19

Contoh 21 (dikerjakan di kelas) Hitunglah J+ dan J pada sampel berpasangan berikut ini (a) X 85 90 75 65 70 50 60 50 Y 60 70 85 70 45 85 90 90 (b) X 3,2 2,7 2,2 2,8 2,4 2,9 2,6 3,3 Y 2,9 2,9 2,5 2,5 2,8 3,0 2,4 2,7

Contoh 22 Hitunglah J+ dan J pada sampel berpasangan berikut ini (a) UTS 66 60 64 78 19 51 25 44 65 71 68 35 UAS 77 71 76 61 38 77 10 57 82 85 86 56 (b) UTS 64 72 42 59 74 44 48 74 36 45 71 72 UAS 76 70 70 82 90 20 49 82 53 49 78 70

3. Pengujian Hipotesis Kesamaan Populasi Pengujian hipotesis sama dengan pengujian hipotesis pada antrian dan bilangan acak Ada ujian hipotesis pada sampel besar (n > 25) Tanpa peringkat sama Dengan peringkat sama Ada uji hipotesis sampel kecil (n  25)

Pengujian hipotesis pada sampel besar Untuk M > M0 J+ diharapkan > J diuji pada ujung atas, atau J diharapkan < J diuji pada ujung bawah Untuk M < M0 J diharapkan > J diuji pada ujung atas, atau J+ diharapkan < J diuji pada ujung bawah Untuk M  M0 J+ dan J diuji pada dua ujung dengan ½

Pengujian hipotesis pada sampel kecil Untuk M > M0 J+ diharapkan > J diuji pada ujung atas, atau J diharapkan < J diuji pada ujung bawah Untuk M < M0 J diharapkan > J diuji pada ujung atas, atau J+ diharapkan < J diuji pada ujung bawah Untuk M  M0 J+ dan J diuji pada dua ujung dengan ½ yang terkecil diuji pada ujung bawah

Contoh 23 Pada taraf signifikansi 0,05, uji kesamaan distribusi populasi X dan populasi Y apabila 30 pasangan sampel acak adalah X 17 16 21 14 17 20 21 19 23 16 25 16 20 19 17 Y 19 16 21 13 17 20 17 15 22 15 20 13 15 16 18 X 20 20 17 23 25 19 21 17 19 24 28 24 18 21 19 Y 19 21 12 15 23 17 19 20 21 23 24 16 16 18 20

Contoh 24 Pada taraf signifikansi uji hipotesis bahwa populasi X lebih besar dari populasi Y, jika sampel adalah X 30 40 35 10 45 15 50 50 Y 10 15 20 20 10 60 20 10

Contoh 25 Pada taraf signifikansi uji hipotesis bahwa populasi X kurang dari populasi Y, jika sampel adalah (a) X 85 90 75 65 70 50 60 50 Y 60 70 85 70 45 85 90 90 (b) X 3,2 2,7 2,2 2,8 2,4 2,9 2,6 3,3 Y 2,9 2,9 2,5 2,5 2,8 3,0 2,4 2,7

D. Uji U Mann-Whitney pada Dua Sampel Independen 1. Pendahuluan Pengujian dilakukan dengan data jumlah peringkat seperti pada uji Wilconxon Pengujian dilakukan pada dua populasi independen untuk kesamaan median (atau rerata)

2. Cara perhitungan statistik U Dua sampel, misalkan X dan Y, digabung dan disusun dalam satu peringkat Peringkat untuk X dan Y dipisahkan dan masing-masing dijumlahkan sebagai jumlah peringkat Dari jumlah peringkat ini dihitung statistik U yang digunakan untuk pengujian hipotesis

Peringkat untuk X dipisahkan dan dijumlahkan menjadi wX 3. Jumlah Peringkat dan Statistik U Sampel data X dan sampel data Y digabung dan disusun ke dalam peringkat Peringkat untuk X dipisahkan dan dijumlahkan menjadi wX Peringkat untuk Y dipisahkan dan dijumlahkan menjadi wY Dengan wX dan wy dihitung statistik uji UX, UY, dan statistik U Statistik U digunakan untuk pengujian hipotesis pada taraf signifikansi tertentu

Contoh 26 (tanpa peringkat sama) Sampel X dan Y adalah sebagai berikut X 1,9 0,5 2,8 3,1 Y 2,1 5,3 1,4 4,6 0,9 Digabung dan disusun ke dalam peringkat dan dipilah Asal Data Peringkat Per X Per Y X 0,5 1 1 Y 0,9 2 2 Y 1,4 3 3 X 1,9 4 4 Y 2,1 5 5 X 2,8 6 6 X 3,1 7 7 Y 4,6 8 8 Y 5,3 9 9 18 27 wX wY

Statistik U nX = 4 wX = 18 nY = 5 wY = 27

Contoh 27 (dikerjakan di kelas) Pada taraf signifikansi 0,05, uji kesamaan populasi X dan Y melalui uji Mann-Whitney jika sample adalah X 22,1 24,0 26,3 25,4 24,8 23,7 26,1 23,3 Y 24,1 20,6 23,1 22,5 24,0 26,2 21,6 22,2 21,9 25,4

Contoh 28 Pada taraf signifikansi 0,05, uji kesamaan populasi X dan Y melalui uji Mann-Whitney jika sampel adalah (a) X 34 28 46 42 56 85 48 25 37 49 Y 43 49 41 55 39 45 65 50 47 51 (b) X 102 114 127 111 122 108 117 115 Y 105 114 120 124 132 118 125 125 123 (c) X 64 59 47 74 48 55 48 71 59 63 64 Y 73 58 55 72 64 62 63 72 49 55

Contoh 27 (ada peringkat sama) Hitunglah wX dan UX serta wY dan UY pada sampel berikut X 16 20 13 24 18 21 19 16 Y 25 32 17 11 24 12 21 10 Asal Data Peringkat Per X Per Y Asal Data Peringkat Per X Per Y Y 10 1 1 X 19 9 9 Y 11 2 2 X 20 10 10 Y 12 3 3 X 21 11,5 11,5 X 13 4 4 Y 21 11,5 11,5 X 16 5,5 5,5 X 24 13,5 13,5 X 16 5,5 5,5 Y 24 13,5 Y 17 7 7 Y 25 15 X 18 8 8 Y 32 16 16 67 54

Statistik U nX = 8 wX = 67 nY = 8 wY = 54

Contoh 28 (dikerjakan di kelas) Hitunglah w dan U pada sampel data berikut ini X 15 18 14 22 25 16 Y 23 11 26 24 17 19 15 Contoh 29 (a) X 43 38 39 44 53 42 55 47 Y 41 40 52 48 46 51 57 45 (b) X 16 20 13 24 18 21 19 16 Y 25 32 17 11 24 12 21 10

Contoh 30 Hitunglah w dan U pada sampel data berikut ini X 70 70 30 70 90 55 90 30 45 70 60 65 63 30 35 25 20 Y 20 10 75 66 95 66 82 67 70 70 10 30 47 15 35 60 30 30 90 80 50 30 66 83

3. Pengujian hipotesis Bergantung kepada ukuran sampel, pengujian hipotesis dipilah menjadi tiga kategori (1) nterbesar  8 (2) 9  nterbedar  20 (3) nterbesar > 20 Kategori (1) 1 menggunakan tabel khusus langsung ke nilai probabilitas Kategori (2) menggunakan tabel khusus Kategori (3) menggunakan distribusi probabilitas pensampelan yang didekatkan ke distribusi probabilitas normal

4. Uji Hipotesis pada n > 20 Tanpa Peringkat Sama Distribusi probabilitas pensampelan didekatkan ke distribusi probabilitas normal dengan Rerata Kekeliruan baku Rarata U terletak sama jauh dari Ux dan UY sehingga pengujian hipotesis dapat menggunakan U yang besar untuk pengujian pada ujung atas U yang kecil untuk pengujian pada ujung bawah

Asal Peringkat Per X Per Y Asal Peringkat Per X Per Y X 1 1 Y 11 11 Contoh 31 Pada taraf signifikansi 0,05 uji kesamaan distribusi probabilitas populasi X dan Y untuk sampel acak Asal Peringkat Per X Per Y Asal Peringkat Per X Per Y X 1 1 Y 11 11 Y 2 2 Y 12 12 Y 3 3 X 13 13 Y 4 4 Y 14 14 X 5 5 Y 15 15 Y 6 6 Y 16 16 Y 7 7 Y 17 17 Y 8 8 Y 18 18 Y 9 9 X 19 19 Y 10 10 Y 20 20

Asal Peringkat Per X Per Y Y 22 22 nx = 8 wX = 134 X 23 23 nY = 22 wY = 331 Y 24 24 X 25 25 Y 26 26 UX = 134 – (8)(9)/2 = 98 X 27 27 UY = 331 – (22)(23)/2 = 78 Y 28 28 Y 29 29 Y 30 30 134 331

Hipotesis H0 : Populasi X dan Y sama H1 : Populasi X dan Y tidak sama Sampel nX = 8 wX = 134 UX = 98 nY = 22 wY = 331 UY = 78 Distribusi probabilitas pensampelan Distribusi probabilitas normal dengan Rerata Kekeliruan baku

Statistik uji Kriteria pengujian Taraf signifikansi 0,05 Pengujian pada ujung atas Nilai kritis z(0,95) = 1,645 Tolak H0 jika z > 1,645 Terima H0 jika z  1,645 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 terima H0 (Catatan: pengujian dapat juga dilakukan pada ujung bawah dengan mengambil Ukecil)

Pada suatu peringkat sama terdapat t data maka koreksi menjadi 5. Uji Hipotesis pada n > 20 dengan Peringkat Sama Adanya peringkat sama menyebabkan dilakukannya koreksi karena peringkat sama Pada suatu peringkat sama terdapat t data maka koreksi menjadi Kekeliruan baku mengalamai koreksi sehingga menjadi

Contoh 32 Pada taraf signifikansi 0,05, melalui Mann-Whitney, uji hipotesis kesamaan populasi X dan Y X 70 70 30 70 90 55 90 30 45 70 60 65 63 30 35 25 20 Y 20 10 75 66 95 66 82 67 70 70 10 30 47 15 35 60 30 30 90 80 50 30 66 83

6. Uji Hipotesis pada Ukuran Sampel 9  nbesar  20 Dasar pengujian hipotesis adalah sama dengan pengujian pada sampel besar Hipotesis H0 menunjukkan bahwa ada keseimbangan di antara UX dan UY Jika salah satu U terlalu besar, melampaui batas keacakan, maka H0 ditolak Jika salah satu U terlalu kecil, melampaui batas keacakan, maka H0 ditolak Batas ini disusun dalam tabel nilai kritis sebagai kriteria pengujian hipotesis Batas yang ditabelkan adalah U yang kecil sehingga dalam pengujian hipotesis ini U adalah nilai terkecil di antara UX dan UY

Tabel Nilai Kritis untuk Statistik U Pada Uji Mann-Whitney = 0,001 pada satu ujung atau  = 0,002 pada dua ujung n2 n1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 0 0 0 0 4 0 0 0 1 1 1 2 2 3 3 3 5 1 1 2 2 3 3 4 5 5 6 7 7 6 2 3 4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 3 5 6 7 8 9 10 11 13 14 15 16 8 5 6 8 9 11 12 14 15 17 18 20 21 9 7 8 10 12 14 15 17 19 21 23 25 26 10 8 10 12 14 17 19 21 23 25 27 29 32 11 10 12 15 17 20 22 24 27 29 32 34 37 12 12 14 17 20 23 25 28 31 34 37 40 42 13 14 17 20 23 26 29 32 35 38 42 45 48 14 15 19 22 25 29 32 36 39 43 46 50 54 15 17 21 24 28 32 36 40 43 47 51 55 59 16 19 23 27 31 35 39 43 48 52 56 60 65 17 21 25 29 34 38 43 47 52 57 61 66 70 18 23 27 32 37 42 46 51 56 61 66 71 76 19 25 29 34 40 45 50 55 60 66 71 77 82 20 26 32 37 42 48 54 59 65 70 76 82 88

Tabel Nilai Kritis untuk Statistik U Pada Uji Mann-Whitney = 0,01 pada satu ujung atau  = 0,02 pada dua ujung n2 n1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 0 0 0 0 0 0 1 1 3 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 5 4 3 3 4 5 5 6 7 7 8 9 9 10 5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 7 8 9 11 12 13 15 16 18 19 20 22 7 9 11 12 14 16 17 19 21 23 24 26 28 8 11 13 15 17 20 22 24 26 28 30 32 34 9 14 16 18 21 23 26 28 31 33 36 38 40 10 16 19 22 24 27 30 33 36 38 41 44 47 11 18 22 25 28 31 34 37 41 44 47 50 53 12 21 24 28 31 35 38 42 46 49 53 56 60 13 23 27 31 35 39 43 47 51 55 59 63 67 14 26 30 34 38 43 47 51 56 60 65 69 73 15 28 33 37 42 47 51 56 61 66 70 75 80 16 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 82 87 17 33 38 44 49 55 60 66 71 77 82 88 91 18 36 41 47 53 59 65 70 76 82 88 94 100 19 38 44 50 56 63 69 75 82 88 94 101 107 20 40 47 53 60 67 73 80 87 93 100 107 114

Tabel Nilai Kritis untuk Statistik U Pada Uji Mann-Whitney = 0,025 pada satu ujung atau  = 0,05 pada dua ujung n2 n1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 4 4 5 6 7 8 9 10 11 11 12 13 13 5 7 8 9 11 12 13 14 15 17 18 19 20 6 10 11 13 14 16 17 19 21 22 24 25 27 7 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 8 15 17 19 22 24 26 29 31 34 36 38 41 9 17 20 23 26 28 31 34 37 39 42 45 48 10 20 23 26 29 33 36 39 42 45 48 52 55 11 23 26 30 33 37 40 44 47 51 55 58 62 12 26 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 13 28 33 37 41 45 50 54 59 63 67 72 76 14 31 36 40 45 50 55 59 64 67 74 78 83 15 34 39 44 49 54 59 64 70 75 80 85 90 16 37 42 47 53 59 64 70 75 81 87 93 98 17 39 45 51 57 63 67 75 81 87 93 99 105 18 42 48 55 61 67 74 80 86 93 99 106 112 19 45 52 58 65 72 78 85 92 99 106 113 119 20 48 55 62 69 76 83 90 98 105 112 119 127

Tabel Nilai Kritis untuk Statistik U Pada Uji Mann-Whitney = 0,05 pada satu ujung atau  = 0,10 pada dua ujung n2 n1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 0 0 2 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 3 3 4 5 5 6 7 7 8 9 9 10 11 4 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 17 18 5 9 11 12 13 15 16 18 19 20 22 23 25 6 12 14 16 17 19 21 23 25 26 28 30 32 7 15 17 19 21 24 26 28 30 33 35 37 39 8 18 20 23 26 28 31 33 36 39 41 44 47 9 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 10 24 27 31 34 37 41 44 48 51 55 58 62 11 27 31 34 38 42 46 50 54 57 61 65 69 12 30 34 38 42 47 51 55 60 64 68 72 77 13 33 37 42 47 51 56 61 65 70 75 80 84 14 36 41 46 51 56 61 66 71 77 82 87 92 15 39 44 50 55 61 66 72 77 83 88 94 100 16 42 48 54 60 65 71 77 83 89 92 101 107 17 45 51 57 64 70 77 83 89 96 102 109 115 18 48 55 61 68 75 82 88 95 102 109 116 123 19 51 58 65 72 80 87 94 101 109 116 123 130 20 54 62 69 77 84 92 100 107 115 123 130 138

Asal Peringkat Per X PerY Asal Peringhkat Per X Per Y Y 1 1 Y 10 10 Contoh 33 Pada taraf signifikansi 0,05, uji kesamaan distribusi probabilitas populasi X dan Y, pada sampel acak yang berbentuk peringkat berikut Asal Peringkat Per X PerY Asal Peringhkat Per X Per Y Y 1 1 Y 10 10 X 2 2 X 11 11 Y 3 3 Y 12 12 X 4 4 Y 13 13 Y 5 5 Y 14 14 X 6 6 Y 15 15 Y 7 7 Y 16 16 Y 8 8 32 104 X 9 9 wX wY

Hipotesis H0 : Populasi X dan Y adalah sama H1 : Populasi X dan Y tidak sama Sampel nX = 5 wX = 32 nY = 11 wY = 104 Yang terkecil di antaranya dijadikan U U = 17

Kriteria pengujian Taraf signifikansi 0,05 Pengujian dua ujung Dari tabel pada  = 0,05 dua ujung untuk n1 = 5 dan n2 = 11 Utabel = 9 Tolak H0 jika U < 9 Terima H0 jika U  9 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 terima H0

7. Uji Hipotesis pada ukuran Sampel nbesar  8 Pengujian hipotesis untuk sampel  8 menggunakan tabel nilai kritis khusus Tabel nilai kritis ini telah langsung dihitung dalam bentuk probabilitas P(U) Nilai p ditemukan melalui n1, n2, dan U; di sini U adalah yang terkecil di antara UX dan UY Nilai p langsung dibandingkan dengan taraf signifikansi  dengan Tolak H0 jika P(U) <  Terima H0 jika P(U)  

Tabel Probabilitas Kritis untuk Statistik U Pada Uji Mann-Whitney n2 = 3 n2 = 4 n1 n1 U 1 2 3 U 1 2 3 4 0 0,250 0,100 0,050 0 0,200 0,067 0,028 0,014 1 0,500 0,200 0,100 1 0,400 0,133 0,057 0,029 2 0,750 0,400 0,200 2 0,600 0,267 0,114 0,057 3 0,600 0,350 3 0,400 0,200 0,100 4 0,500 4 0,600 0,314 0,171 5 0,650 5 0,429 0,243 6 0,571 0,343 7 0,443 8 0,557

Tabel Probabilitas Kritis untuk Statistik U Pada Uji Mann-Whitney n2 = 5 n1 U 1 2 3 4 5 0 0,167 0,047 0,018 0,008 0,004 1 0,333 0,095 0,036 0,016 0,008 2 0,500 0,190 0,071 0,032 0,016 3 0,667 0,286 0,125 0,056 0,028 4 0,429 0,196 0,095 0,048 5 0,571 0,286 0,143 0,075 6 0,393 0,206 0,111 7 0,500 0,278 0,155 8 0,607 0,365 0,210 9 0,452 0,274 10 0,548 0,345 11 0,421 12 0,500 13 0,579

Tabel Probabilitas Kritis untuk Statistik U Pada Uji Mann-Whitney n2 = 6 n1 U 1 2 3 4 5 6 0 0,143 0,036 0,012 0,005 0,002 0,001 1 0,286 0,071 0,024 0,010 0,004 0,002 2 0,428 0,143 0,048 0,019 0,009 0,004 3 0,571 0,214 0,083 0,033 0,015 0,008 4 0,321 0,131 0,057 0,026 0,013 5 0,429 0,190 0,086 0,041 0,021 6 0,571 0,274 0,129 0,063 0,032 7 0,357 0,176 0,089 0,047 8 0,452 0,238 0,123 0,066 9 0,548 0,305 0,165 0,090 10 0,381 0,214 0,120 11 0,457 0,268 0,155 12 0,545 0,331 0,197 13 0,396 0,242 14 0,465 0,294 15 0,535 0,350 16 0,409 17 0,469 18 0,531

Tabel Probabilitas Kritis untuk Statistik U Pada Uji Mann-Whitney n 2 = 7 n1 U 1 2 3 4 5 6 7 0 0,125 0,028 0,008 0,003 0,001 0,001 0,000 1 0,250 0,056 0,017 0,006 0,003 0,001 0,001 2 0,375 0,111 0,033 0,012 0,005 0,002 0,001 3 0,500 0,167 0,058 0,021 0,009 0,004 0,002 4 0,625 0,250 0,092 0,036 0,015 0,007 0,003 5 0,333 0,133 0,055 0,024 0,011 0,006 6 0,444 0,192 0,082 0,037 0,017 0,009 7 0,556 0,258 0,115 0,053 0,026 0,013 8 0,333 0,158 0,074 0,037 0,019 9 0,417 0,206 0,101 0,051 0,027 10 0,500 0,264 0,134 0,069 0,036 11 0,583 0,324 0,172 0,090 0,049 12 0,394 0,216 0,117 0,064 13 0,464 0,265 0,147 0,082

Tabel Probabilitas Kritis untuk Statistik U Pada Uji Mann-Whitney n2 = 7 n1 U 1 2 3 4 5 6 7 14 0,538 0,319 0,183 0,104 15 0,378 0,223 0,130 16 0,438 0,267 0,159 17 0,500 0,314 0,191 18 0,562 0,365 0,228 19 0,418 0,267 20 0,473 0,310 21 0,527 0,355 22 0,402 23 0,451 24 0,500 25 0,549

Tabel Probabilitas Kritis untuk Statistik U Pada Uji Mann-Whitney n2 = 8 n1 U 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0,111 0,022 0,006 0,002 0,001 0,000 0,000 0,000 1 0,222 0,044 0,012 0,004 0,002 0,001 0,000 0,000 2 0,333 0,089 0,024 0,008 0,003 0,001 0,001 0,000 3 0,444 0,133 0,042 0,014 0,005 0,002 0,001 0,001 4 0,556 0,200 0,067 0,024 0,009 0,004 0,002 0,001 5 0,267 0,097 0,036 0,015 0,006 0,003 0,001 6 0,356 0,139 0,055 0,023 0,010 0,005 0,002 7 0,444 0,188 0,077 0,033 0,015 0,007 0,003 8 0,556 0,248 0,107 0,047 0,021 0,010 0,005 9 0,315 0,141 0,064 0,030 0,014 0,007 10 0,387 0,184 0,085 0,041 0,020 0,010 11 0,461 0,230 0,111 0,054 0,027 0,014 12 0,539 0,285 0,142 0,071 0,036 0,019 13 0,341 0,177 0,091 0,047 0,025 14 0,404 0,217 0,114 0,060 0,032 15 0,467 0,262 0,141 0,076 0,041 16 0,533 0,311 0,172 0,095 0,052

Tabel Probabilitas Kritis untuk Statistik U Pada Uji Mann-Whitney n2 = 8 n1 U 1 2 3 4 5 6 7 8 17 0,362 0,207 0,116 0,065 18 0,416 0,245 0,140 0,080 19 0,472 0,286 0,168 0,097 20 0,528 0,331 0,198 0,117 21 0,377 0,232 0,139 22 0,426 0,268 0,164 23 0,475 0,306 0,191 24 0,525 0,347 0,221 25 0,389 0,253 26 0,433 0,287 27 0,478 0,323 28 0,522 0,360 29 0,399 30 0,439 31 0,480 32 0,520

Contoh 34 Pada taraf signifikansi 0,05, uji kesamaan distribusi probabilitas populasi X dan Y untuk sampel X 1,9 0,5 2,8 3,1 Y 2,1 5,3 1,4 4,6 0,9 Hipotesis H0 : Populasi X dan Y adalah sama H1 : Populasi X dan Y tidak sama Sampel Dari contoh 26 diketahui nx = 4, nY = 5, wX = 18, wY = 27, Ux = 8, UY = 12 sehingga U = 8

Kriteria pengujian Taraf signifkansi  = 0,05 Dari tabel n2 = 5, n1 = 4, dan U = 8, ditemukan bahwa P(U) = 0,365 P(U) > 0,05 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05, terima H0

Contoh 35 (dikerjakan di kelas) Pada taraf signifikansi 0,05, uji hipotesis kesamaan populasi X dan Y melalui uji Mann-Whitney, jika sampel adalah X 16 20 13 24 18 21 19 16 Y 25 32 17 11 24 12 21 10

Contoh 36 Pada taraf signifikansi 0,05, melalui uji Mann-Whitney, uji kesamaan populasi X dan Y, jika sampel adalah (a) X 15 18 14 22 25 16 Y 23 11 26 24 17 19 15 (b) X 43 38 39 44 53 42 55 47 Y 41 40 52 48 46 51 57 45 (c) X 16 20 13 24 18 21 19 16 Y 25 32 17 11 24 12 21 10