Definisi Rekursif Ada kalanya kita mengalami kesulitan untuk mendefinisikan suatu obyek secara eksplisit. Mungkin lebih mudah untuk mendefinisikan obyek tersebut dengan menggunakan dirinya sendiri. Ini dinamakan sebagai proses rekursif. Kita dapat mendefinikan barisan, fungsi dan himpunan secara rekursif.

Barisan yang didefinisikan secara rekursif Contoh: Barisan bilangan pangkat dari 2 an = 2n untuk n = 0, 1, 2, … . Barisan ini dapat didefinisikan secara rekursif: a0 = 1 an+1 = 2an untuk n = 0, 1, 2, … Langkah-langkah untuk mendefinisikan barisan secara rekursif: Langkah basis: Spesifikasi anggota awal. Langkah rekursif: Berikan aturan untuk membangun anggota baru dari anggota yang telah ada.

Contoh barisan yang didefinisikan secara rekursif Berikan definisi rekursif dari an=rn, dengan rN, r≠0 dan n bilangan bulat positif. Solusi: Definisikan a0=r0=1 dan an+1=r . an untuk n = 0, 1, 2, …

Fungsi yang didefinisikan secara rekursif Langkah-langkah untuk mendefinisikan fungsi dengan domain bilangan cacah: Langkah basis: Definisikan nilai fungsi pada saat nol. Langkah rekursif: Berikan aturan untuk mencari nilai fungsi untuk setiap bilangan bulat berdasarkan nilai fungsi pada bilangan bulat yang lebih kecil. Definisi seperti itu disebut rekursif atau definisi induktif.

Contoh fungsi yang didefinisikan secara rekursif f(n + 1) = 2f(n) + 3 Maka f(1) = 2f(0) + 3 = 23 + 3 = 9 f(2) = 2f(1) + 3 = 29 + 3 = 21 f(3) = 2f(2) + 3 = 221 + 3 = 45 f(4) = 2f(3) + 3 = 245 + 3 = 93

Contoh fungsi yang didefinisikan secara rekursif (2) Bagaimana kita dapat mendefinisikan fungsi faktorial f(n) = n! secara rekursif? f(0) = 1 Karena (n+1)! = n! (n+1) maka f(n + 1) = (n + 1)f(n) f(1) = 1 f(0) = 1  1 = 1 f(2) = 2 f(1) = 2  1 = 2 f(3) = 3 f(2) = 3  2 = 6 f(4) = 4 f(3) = 4  6 = 24

Contoh fungsi yang didefinisikan secara rekursif (3) Bagaimana kita dapat mendefinisikan fungsi secara rekursif?

Contoh terkenal: Bilangan Fibonacci f0 = 0, f1 = 1 fn = fn-1+ fn-2, n=2,3,4,… f0= 0 f1= 1 f2= f1+ f0= 1 + 0 = 1 f3= f2+ f1= 1 + 1 = 2 f4= f3+ f2= 2 + 1 = 3 f5= f4+ f3= 3 + 2 = 5 f6= f5+ f4= 5 + 3 = 8 Tunjukkan bahwa untuk n  3, fn < n dengan  = (1+√5)/2.

Perluasan induksi Induksi matematika dapat diperluas untuk membuktikan hasil-hasil mengenai himpunan yang memiliki sifat terurut dengan baik. Contoh: himpunan N x N

Contoh perluasan induksi Misalkan didefinisikan secara rekursif untuk (m,n) N x N oleh dan Tunjukkan bahwa untuk setiap (m,n) N x N.