Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma TRANSFORMASI LAPLACE Matematika Lanjut 2 Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma Definisi: Transformasi Laplace adalah transformasi dari suatu fungsi waktu f(t), t≥0 menjadi fungsi frekuensi F(s). Transformasi dilakukan dengan operasi perkalian dan integrasi yang didefinisikan sebagai berikut: L{f(t)} = = F(s) Dimana: e = bilangan Euler = 2.71828….. s = konstanta frekuensi kompleks Faktor perkalian membuat fungsi F(s) konvergen untuk batasan s tertentu. Notasi L disebut operator Laplace. Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma Contoh: Tentukan transformasi Laplace dari fungsi ! Jawab: L{f(t)} = Untuk s > 0, akan berlaku: Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma 2. Tentukan transformasi Laplace dari fungsi ! Jawab: Sekali lagi, untuk s > 0, akan berlaku: Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

Dengan demikian, secara umum transformasi Laplace untuk fungsi waktu adalah: L{tn} = F(s) = ; dengan syarat s > 0 Coba anda buktikan!! Bagaimana jika s ≤ 0?? Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma Dengan menggunakan definisi transformasi Laplace dan melakukan operasi integrasi seperti pada contoh-contoh sebelumnya, maka akan diperoleh hasil transformasi Laplace untuk beberapa fungsi umum sebagai berikut: f(t) F(s) 1 Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma Kilasan Fungsi Gamma Notasi Г menyatakan fungsi Gamma, yaitu fungsi yang didefinisikan sebagai berikut: Memiliki sifat: , dan Akan dipelajari lebih lanjut dalam bab berikutnya. Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma Perhatikan contoh berikut: L{2t+t} = Dengan menggunakan sifat integral, akan diperoleh: = L{t2} + L{2t} Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma Sehingga secara umum untuk sembarang fungsi waktu f(t), g(t) dan sembarang skalar k, berlaku: L{k.f(t) ± g(t)} = k.L{f(t)} ± L{g(t)} Dengan kata lain, transformasi Laplace memenuhi sifat linieritas terhadap penjumlahan dan perkalian skalar. Dan operator Laplace L merupakan operator linier. Sifat linieritas dari transformasi Laplace ini dapat digunakan untuk menghitung hasil transformasi Laplace dari fungsi-fungsi yang melibatkan penjumlahan dua fungsi atau lebih dan perkalian skalar didalamnya. Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

Transformasi Laplace untuk Fungsi Tangga Satuan Definisi fungsi tangga: Untuk sembarang bilangan riil a, maka fungsi : disebut fungsi tangga satuan. Transformasi Laplace untuk fungsi tangga s(t-a) adalah: L{ } = ; dengan syarat s > 0 Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma Soal Latihan: Tentukanlah transformasi Laplace dari fungsi-fungsi waktu berikut: 1. 2. 3. 4. 5. Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

Invers dari Transformasi Laplace Hasil transformasi Laplace dari suatu fungsi waktu yaitu F(s) dapat dikembalikan lagi menjadi fungsi asalnya, dengan operator L-1 yang disebut invers dari transformasi Laplace. Secara matematis dapat ditulis: Sehingga, L-1 dst… Jika L{f(t)} = F(s), maka L-1{F(s)} = f(t) Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma Contoh: L-1 L-1 = L-1 = 2. L-1 L-1 L-1 = Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

Teorema-Teorema dalam Transformasi Laplace Teorema 1 [Transformasi Laplace dari Turunan Fungsi] L {f’(t)} = s. L{f(t)} – f(0) dimana f(0) adalah nilai awal untuk fungsi f, atau disebut juga initial value Teorema 2 [Transformasi Laplace dari Turunan Fungsi] L{fn(t)} = sn. L{f(t)}-sn-1.f(0)-sn-2.f’(0)-sn-3.f”(0)- ….. – f(n-1)(0) Teorema 3 [Teorema Translasi Pertama] Jika L{f(t)} = F(s), maka L {eatf(t)} = F(s-a). Sehingga juga L-1{F(s-a)} = eatf(t) Teorema 4 [Teorema Translasi Kedua] Jika L{f(t)} = F(s), maka L { .f(t)} = e-as.F(s) Sehingga juga L-1{e-as.F(s)} = .f(t) Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma Teorema 5 Jika L{f(t)} = F(s), maka L {f(at)} =(1/a). F(s/a) Sehingga juga L-1 {F(s/a)} = a.f(at) Teorema 6 Jika L{f(t)} = F(s), maka untuk n =1,2,3,… berlaku L {tnf(t)} = (-1)n.F(n)(s) Sehingga berlaku juga L-1{F(n)(s)} = (-1)ntnf(t) Teorema 7 [Teorema Fungsi Periodik] Jika f(t) adalah fungsi periodik dengan periode P > 0, yaitu f(t+P) = f(t) maka L {tnf(t)} = Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma Teorema 8 [Teorema Pengintegralan] Jika L{f(t)} = F(s), maka L Sehingga juga berlaku L-1 Teorema 9 Jika ada dan L{f(t)} = F(s), maka Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma Teorema 10 [Teorema Konvolusi] Jika L{f(t)} = F(s) dan L{g(t)} = G(s), maka L Sehingga juga berlaku: L-1{F(s).G(s)} = Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma Soal Latihan: Buku diktat halaman 262-265. Soal nomor 28-33!! Buku diktat halaman 288-270. Soal nomor 39-44!! Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma