II. SISTEM PERSAMAAN LINIER II. SISTEM PERSAMAAN LINIER 2.1 PENDAHULUAN 2.2 METODE PENYELESAIAN 2.2.1 METODE ELIMINASI GAUSS 2.2.2 METODE GAUSS JORDAN 2.2.3 METODE GAUSS SEIDEL 2.3 INVERS MATRIK 2.3.1 APLIKASI GAUSS JORDAN 2.3.2 METODE INVERS SEBAGIAN

2.1 PENDAHULUAN Akar Persamaan: Adalah pasangan bilangan berurutan (x1,x2,x3) yang memenuhi SPL itu. Adalah titik potong/pertemuan ketiga bidang datar (untuk tiga variabel).

Bentuk Matrik: Untuk mencari akar secara numerik, persamaan dinyatakan dalam bentuk matrik yang diperbesar sebagai berikut:

Metode Eliminasi Gauss PRINSIP: Metode Eliminasi Gauss Untuk sistem persamaan yang terdiri dari 3 persamaan: x1 dlm pers. (2) dan (3) dieliminasi. x2 dlm pers. (3) dieliminasi. TAHAPAN METODE ELIMINASI Eliminasi Maju: Menghapus variabel-variabel 2. Substitusi Balik: Mencari nilai semua variabel

ELIMINASI MAJU 1. Eliminasi x1 dalam (2) dan (3) Baris pertama dibagi dengan a11

b. Baris pertama dikalikan dengan a21 dan dikurangkan ke baris kedua.

c. Baris pertama dikalikan dengan a31 dan dikurangkan ke baris ketiga.

2. Eliminasi x2 dalam (3) Baris kedua dibagi dengan a/22

b. Baris kedua dikalikan dgn. a/32 dan dikurangkan ke baris ketiga.

Baris ketiga dibagi dengan a//33

SUBSTITUSI BALIK

Contoh Penyelesaian SPL dengan Eliminasi Gauss 4 3 1 13 2 19 8 1 0,75 0,25 3,25 2,50 2,50 12,5 -1,25 0,25 -1,75

1 0,75 0,25 3,25 2,50 2,50 12,5 -1,25 0,25 -1,75 1 0,75 0,25 3,25 1 1 5 1,5 4,5

1 5 1,5 4,5 0,75 0,25 3,25 1 5 0,75 0,25 3,25 1 3

SUBSTITUSI BALIK x3 = 3 1 5 3 0.75 0.25 3.25 x2 = 5 – x3 = 5 – 3 = 2 1 5 3 0.75 0.25 3.25 x3 = 3 x2 = 5 – x3 = 5 – 3 = 2 x1 = 3,25 – (0,75x2 + 0,25x3) = 1

Metode Gauss Jordan PRINSIP: Bentuk Akhir: Semua variabel pada baris (persamaan) ke m dihapus kecuali xm itu sendiri sehingga tidak diperlukan substitusi balik. Metode Gauss Jordan Bentuk Akhir:

Contoh Penyelesaian SPL dengan Gauss-Jordan 4 3 1 13 2 19 8 1 0,75 0,25 3,25 2,50 2,50 12,5 -1,25 0,25 -1,75

2,50 12,5 -1,25 0,25 -1,75 1 0,75 3,25 1 -0,5 -0,5 1 1 5 1,5 4,5

1 5 1,5 4,5 -0,5 1 1 2 1 3

1 2 3 Jadi Solusi persamaan ini adalah: x1 = 1 x2 = 2 x3 = 3

Metode Iterasi Gauss Seidel (3) (2) (1) (1): (2): (3):

Iterasi 0: x2 = x3 = 0

Iterasi 1:

Contoh Penyelesaian SPL dengan Iterasi Gauss-Seidel

Iter 1 2,6667 0,7778 3,5185 2 1,2346 1,5144 3,4911 3 0,9982 1,8387 3,2162 4 0,9817 1,9524 3,0757 5 0,9906 1,9872 3,0233 6 0,9965 1,9969 3,0064 7 0,9989 1,9993 3,0016 8 0,9997 1,9999 3,0004 9 0,9999 2,0000 3,0000 10 1,0000 2,0000 3,0000

I I B B = A-1 3. INVERS MATRIK 3.1. Menginvers matrik dengan aplikasi Gauss Jordan Gauss Jordan Proses I I B Hubungan antara matrik A dengan matrik B adalah: B = A-1

1 3 4 2 1 3/4 1/4 1/4 5/2 5/2 -1/2 1 -5/4 1/4 -3/4 1 é ù ê ú ë û é ù ê Contoh menginvers matrik dengan metode Gauss Jordan. 1 3 4 2 ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é 1 3/4 1/4 1/4 5/2 5/2 -1/2 1 -5/4 1/4 -3/4 1

1 5/2 -1/2 -5/4 1/4 -3/4 3/4 é ù ê ú ë û 2/5 1 1 -1/2 2/5 -3/10 1 1 ú û ù ê ë é 5/2 -1/2 -5/4 1/4 -3/4 3/4 1 -1/2 2/5 -3/10 1 1 -1/5 2/5 3/2 -1 1/2 1

A-1 = 1 2/5 2/3 -2/3 1/15 1/15 -2/3 2/3 2/3 -2/3 1/15 -3/10 1/2 -1/5 2/5 -3/10 1/2 -1/5 3/2 -1 -1/2 1 2/3 -2/3 1/15 -2/15 1/3 7/15 1/15 -2/15 1/3 7/15 1/15 -2/3 1 -2/3 1/3 2/3 Jadi Invers matrik A adalah A-1 = 2/3 -2/3 1/15 -2/15 1/3 7/15

3.2. Metode Invers Sebagian (Partial Inversion) = x2 x3 x1 b2 b3 x1 = x2 x3 b1 Posisi x1 ditukar dengan b1 Pertukaran xi dengan bi me- nyebabkan terjadi Perub. pada matrik koefisien dan diper oleh hubungan: 2. Posisi x2 ditukar dengan b2 x2 x3 x1 = b2 b3 b1 x2 b3 x1 = b2 x3 b1 3. Posisi x3 ditukar dengan b3

Proses pertukaran: (1) (2) (3) (1b) (1): Substitusi (1b) kedalam (2):

Atau, (2b) Substitusi (1b) kedalam (3): (3b) Persamaan-persamaan (1b), (2b) dan (3b) ditulis dalam bentuk matrik

Secara sederhana dapat ditulis sebagai Terjadi pertukaran posisi antara x1 dengan b1

LANGKAH-LANGKAH MENUKAR POSISI xK DENGAN bK 1. Ganti elemen akk (diagonal pertama k = 1) dengan kebalikannya, 2. Semua elemen kolom ke k, tetapi bukan pada baris ke k diganti dengan: 3. Semua elemen bukan baris k dan bukan kolom k diganti dengan: 4. Elemen baris k tetapi bukan kolom k diganti dengan, Keempat langkah ini diulangi untuk nilai-nilai k = 2 dan k = 3 berturut-turut untuk menukar x2 dengan b2 dan x3 dengan b3

ê ë é 1/4 3/4 - 1/4 - ú û ù ê ë é 2/5 1/2 ú û ù 1/2 5/2 5/2 -1/5 2/5 Contoh menginvers matrik dengan metode invers sebagian. ú û ù ê ë é = - 1 A 1/15 -2/15 1/3 7/15 1/15 -2/3 -2/3 1/3 2/3 k=1 k=3 ê ë é 1/4 3/4 - 1/4 - ú û ù ê ë é 2/5 -3/10 1/2 ú û ù k=2 1/2 5/2 5/2 -1/5 2/5 -1 3/4 5/4 - 1/4 1 -1/2 3/2