Penyelesaian Persamaan Linear (Metode Gauss Jordan)

Pendahuluan Karena adanya kelemahan pada model Gauss, seorang penemu bernama Jordan, membuat model baru yang dinamakan Metode Eliminasi Gauss Jordan Pada model ini tidak lagi digunakan model substitusi, murni menggunakan reduksi baris

Pengertian Metode Gauss-Jordan Metode Gauss-Jordan merupakan suatu variasi dari Eliminasi Gauss dan dalam bahasa analitik biasanya lebih dikenal dengan nama reduksi baris. Perbedaan utamanya dengan eliminasi Gauss adalah bila sebuah variabel yang tidak diketahui dieliminasikan dengan metode Gauss-Jordan maka ia deliminasikan dari setiap persamaan lainnya. Ini merupakan bentuk matrik kesatuan, sedang eliminasi Gauss merupakan matrik triangular.

Pengertian Metode Gauss-Jordan Prosedur untuk mengubah sebarang matriks ke bentuk eselon baris tereduksi disebut eliminasi Gauss-Jordan.

DASAR TEORI Penambahan Matrik sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal  Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai b1,b2,b3,…,bn dan atau a1 = b1,a2 = b2,a3=b3,….,an=bn

DASAR TEORI Teknik yang digunakan dalam metode eliminasi Gauss-Jordan ini sama seperti metode eliminasi Gauss yaitu menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer). Hanya perhitungan penyelesaian secara langsung diperoleh dari nilai pada kolom terakhir dari setiap baris .

Satu cara yang gamblang untuk menghitung inversi ialah dengan menggunakan metode Gauss-Jordan. Untuk melakukan ini,matriks koefisien diperluas dengan sebuah matriks kesatuan. Kemudian metode Gauss Jordan diterapkan agar mengurangi matriks koefisien menjadi sebuah matriks kesatuan. Jika telah selesai, ruas kanan matriks yang diperluas akan mengandung inversi.

Langkah-langkah Eliminasi Gauss-Jordan 1.Tentukan kolom tak nol paling kiri. 2.Jika unsur paling atas dari kolom tak nol paling kiri yang didapatkan pada langkah 1 adalah 0, pertukarkanlah baris teratas dengan baris lain. 3.Jika unsur teratas yang sekarang pada kolom yang didapatkan di dalam langkah 1 atau 2 adalah a, kalikanlah baris pertama dengan 1/a untuk memperoleh 1 utama.

Langkah-langkah Eliminasi Gauss-Jordan 4. Tambahkanlah kelipatan yang sesuai dari baris teratas ke baris-baris dibawahnya sehingga semua unsur di bawah 1 utama menjadi 0. 5. Abaikan baris teratas di dalam matriks tersebut dan mulailah sekali lagi dengan langkah 1 - 4 yang dikerjakan pada submatriks yang masih tersisa. Teruskanlah cara ini sampai keseluruhan matriks tersebut berada dalam bentuk eselon baris. 6. Dimulai dari baris tak nol terakhir dan dikerjakan ke arah atas, tambahkanlah kelipatan yang sesuai dari baris tersebut ke baris-baris diatasnya untuk mendapatkan nol di atas 1 utama.

Contoh Eliminasi Gauss-Jordan x + y + 2z = 9 1 1 2 9 dan diusahakan berbentuk 1 0 0 ? 0 1 0 ? 0 0 1 ?

Penyelesaian dari soal contoh Lakukan Eliminasi Gauss mengusahakan bentuk 1 0 0 ? 0 1 0 ? 0 0 1 ?

Penyelesaian dari soal contoh Lakukan Eliminasi Gauss mengusahakan bentuk 1 0 0 ? 0 1 0 ? 0 0 1 ?

disambung dengan : + * = - * = - = baris 3 baris 3 baris 2 baris 2 + + * = - * = - = baris 2 + baris 3 baris 1 - 2 * baris 3 baris 1 - baris 2

TUGAS 1 2x+y+4z=16 3x+2y+z=10 X+3y+3z=16

TUGAS 2 w + 2x + 2y + 4z = 5 w - x - y - 3z = -2 2w + 3x + y + z = 0 -2w + x + 3y - 2z = 1

Summary Penyelesaian sistem persamaan linear dapat diselesaikan dengan lebih dari 1 metode, dan untuk semua metode tersebut dihasilkan nilai yang sama.