SISTEM PERSAMAAN LINIER BAB II SISTEM PERSAMAAN LINIER

2.1 Definisi Persamaan linier adalah persamaan aljabar yang terdiri dari satu atau lebih peubah dan masing-masing peubah mempunyai derajad satu. Sebagai contoh persamaan ax + by + cz + dw = h adalah persamaan linier yang terdiri dari empat peubah, yaitu x, y, z, dan w. Sedangkan a, b, c, dan d adalah koefisien-koefisien. Jika nilai h pada persamaan tersebut = 0, maka persamaan linier tersebut dikatakan persamaan linier homogen. Apabila nilai h tidak sama  0 , maka dikatakan persamaan linier tak homogen.

Bentuk umum sistem persamaan (2.1) Jika seluruh nilai b1, b2, … , bm sama dengan nol, maka persamaan 2.1 disebut sistem persamaan linier homogen. Akan tetapi, jika setidak-tidaknya ada salah satu dari nilai b1, b2, … , bm  0, maka persamaan 2.1 disebut sistem persamaan linier tak homogen. Persamaan 2.1 dapat ditulis dalam bentuk matriks berikut. (2.2)

Contoh 2.1 Berikut diberikan beberapa contoh sistem persamaan linier Contoh 2.2 Tulis contoh 2.1 dalam bentuk matriks Penyelesaian

2.2 Penyelesaian Sistem Persaman Linier 2.2.1 Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss Selain dengan cara balikan matriks, kita juga dapat menyelesaikan sistem persamaan linier dengan cara eliminasi Gauss. Untuk tujuan tersebut persamaan 2.1 ditulis dalam bentuk matriks yang diperluas (augmented matrix). Untuk melakukan eliminasi Gauss, kita harus mereduksi matriks A menjadi bentuk eselon baris atau matriks segitiga atas. Langkah-langkah untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan eliminasi Gauss:

Jika a11 ≠ 0, maka a11 merupakan elemen pivot. Jika a11 = 0, lakukan pertukaran baris. 2. Eliminasi a21 dengan menggunakan rumus R2 – (a21/a11)R1 a31 dengan menggunakan rumus R3 – (a31/a11)R1 am1 dengan menggunakan rumus Rm – (am1/a(m-1)1)R(m-1) : 3. Eliminasi a32 dengan menggunakan rumus R3 – (a32/a22)R2 a42 dengan menggunakan rumus R3 – (a42/a22)R2 am2 dengan menggunakan rumus Rm – (am2/a22 )R2 : 4. dst. sampai baris m dan kolom ke (n–1)

Contoh 2.3 Selesaikan sistem persamaam linier berikut! Penyelesaian: R2 – ½ R1 R3 – 3R1 R3 – (–16/3)R2

2/3 R2 3/11R3 x3 = –64/11 x2 + 1/3 x3 = –5/3  x2 = - 1/3 x3 - 5/3 = 3/11 x1 + 3x2 + x3 = 8  x1= - 3x2 - x3 = -9/11 + 64/11 = 5 2.2.2 Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss-Jordan Cara lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linier adalah dengan metode eliminasi Gauss-Jordan. Sistem persamaan linier dapat ditulis dalam bentuk [A|b].

Selanjutnya lakukan transformasi sehingga matriks A menjadi matriks eselon baris yang tereduksi atau matriks identitas [I]. Langkah-langkah untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan eliminasi Gauss-Jordan: Jika a11 ≠ 0, maka a11 merupakan elemen pivot. Jika a11 = 0, lakukan pertukaran baris. 2. Jika a11 ≠ 1, bagi elemen a11 dengan a11, sehingga a11=1 3. Eliminasi a21 dengan menggunakan rumus R2 – a21 R1 a31 dengan menggunakan rumus R3 – a31 R1 : am1 dengan menggunakan rumus Rm – am1Rm–1 4. Jika setelah langkah 3, a22 ≠ 0, maka a22 merupakan elemen pivot. Jika a22 = 0, lakukan pertukaran baris.

5. Jika a22 ≠ 1, bagi elemen a22 dengan a22, sehingga a22=1 6. Eliminasi a12 dengan menggunakan rumus R1 – a12 R2 a32 dengan menggunakan rumus R3 – a32 R2 : am2 dengan menggunakan rumus Rm – am2R2 7. dst. sampai seluruh elemen di luar diagonal terleliminasi, sehingga matriks A berhasil ditransformasikan menjadi matriks identitas. Contoh 2.4 Selesaikan sistem persamaam linier berikut! Penyelesaian:

½ R1 R2 – R1 R3 – 6R1

2.2.3 Penyelesaian dengan Aturan Cramer Selain metode penyelesaian yang telah dijelaskan terdahulu, sistem persamaan linier dapat juga diselesaikan dengan menggunakan Aturan Cramer. Telah dijelaskan terdahulu bahwa sistem persamaan linier dapat ditulis dalam bentuk matriks berikut.

Aturan Cramer (2.4) xn = Nilai variabel yang akan dicari |An| = Determinan matriks A, dengan terlebih dahulu mengganti kolom ke n dengan elemen-elemen pada matriks b |A| = Determinan matriks A

Dari persamaan (2.4) secara tersirat diketahui bahwa aturan Cramer hanya dapat digunakan jika |A|  0 Artinya, jumlah persamaan dalam sistem persamaan linier harus sama dengan jumlah variabel. Contoh 2.5 Selesaikan sistem persamaam linier berikut dengan menggunakan aturan Cramer! Penyelesaian

2.3 Sistem Persamaan Linier Homogen Telah dijelaskan sebelumnya bahwa sistem persamaan linier homogen mempunyai bentuk: Setiap sistem persamaan linier homogen konsisten, karena mempunyai penyelesaian: x1 = 0 , x2 = 0 , …, xn = 0. Solusi yang menghasilkan seluruh nilai variabel atau faktor = 0 disebut solusi trivial. Jika terdapat solusi lain, selain dari 0, maka solusi tersebut dinamakan solusi non-trivial.

Selesaikan sistem persamaan linier berikut. Hanya terdapat 2 kemungkinan solusi persamaan linier homogen: - Solusi trivial (nilai seluruh variabel hanya = 0) Solusi Non-trivial (nilai variabel mempunyai tak- hingga jenis nilai, selain 0). Jika sistem persamaan linier mempunyai lebih banyak variabel / faktor dibandingkan dengan jumlah persamaan, maka dipastikan solusi yang diperoleh adalah non-trivial. Contoh 2.6 Selesaikan sistem persamaan linier berikut. 2x1 + 2x2 – x3 + x5 = 0 –x1 – x2 + 2x3 – 3x4 + x5 = 0 x1 + x2 – 2x3 – x5 = 0 x3 + x4 + x5 = 0

Penyelesaian: Reduksi matriks diatas menjadi bentuk eselon baris tereduksi Jika x5 = t, maka x3 = – t Jika x2 = s, maka x1 = – s – t x4 = 0

2.4 Ringkasan Jika seluruh nilai b1, b2, … , bm = 0 maka sistem persamaan linier disebut homogen. Jika setidak-tidaknya ada salah satu dari nilai b1, b2, … , bm  0 sitem persamaan linier disebut tak homogen.

Sistem persamaan linier dapat ditulis dalam bentuk matriks. Jika Maka Ax = b

Penyelesaian dengan Balikan Matriks Persamaan 10.2 adalah sistem persmaan linier yang ditulis dalam bentuk matriks. Jika dimisalkan,

Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss Selain dengan cara balikan matriks, kita juga dapat menyelesaikan sistem persamaan linier dengan cara eliminasi Gauss. C adalah matriks segitiga atas.