Waniwatining II. HIMPUNAN 1. Definisi Kumpulan objek-objek yang berbeda dan mempunyai sifat-sifat tertentu yang sama. Setiap objek yang terdapat dalam himpunan disebut anggota atau unsur atau elemen. Anggota-anggota himpunan ditulis dalam tanda kurung kurawal.

2. Penyajian Himpunan 4 cara menyajikan himpunan : Waniwatining 2. Penyajian Himpunan 4 cara menyajikan himpunan : Tabulasi atau enumerisasi Simbol-simbol baku Notasi pembentuk himpunan (set builder) Diagram Venn

Tabulasi atau Enumerisasi Waniwatining Tabulasi atau Enumerisasi Metode tabulasi adalah cara menulis atau menyatakan himpunan dengan jalan menuliskan semua anggotanya. Jika A adalah himpunan bilangan 1,2,3,4 maka himpunan tersebut ditulis dalam bentuk A = { 1, 2, 3, 4}

Simbol-simbol Baku Simbol baku yang biasa digunakan untuk Waniwatining Simbol-simbol Baku Simbol baku yang biasa digunakan untuk mendefinisikan himpunan yang sering digunakan antara lain : P = himpunan bilangan bulat positif Z = himpunan bilangan bulat. Q = himpunan bilangan rasional. R = himpunan bilangan riil.

Notasi Pembentuk Himpunan Waniwatining Notasi Pembentuk Himpunan Himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh anggotanya. Notasi:{x | syarat yang harus dipenuhi x } A adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil dari 5. A = { x | x  P, x < 5 } A = { 1, 2, 3, 4 }

Diagram Venn Diagram Venn menyajikan himpunan secara grafis. Waniwatining Diagram Venn Diagram Venn menyajikan himpunan secara grafis. Diagram Venn terdiri dari himpunan atau himpunan-himpunan yang dilambangkan dengan lingkaran dan himpunan semesta dilambangkan dengan persegi panjang.

Waniwatining Contoh : A = {1, 2, 3, 4 } B = {3, 4, 5, 6, 7, 8 } S mempunyai anggota bilangan asli < 10

3. Kardinalitas Kardinalitas menunjukan jumlah anggota suatu himpunan. Waniwatining 3. Kardinalitas Kardinalitas menunjukan jumlah anggota suatu himpunan. Jika terdapat himpunan A, maka kardinal A ditulis dengan lambang n (A) atau |A |. Contoh : A={x | x bilangan prima, x  10} A={2, 3, 5, 7 } maka |A | = 4

Waniwatining 4. Himpunan Kosong Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong dilambangkan dengan  atau { }. Contoh : K={x | x bilangan ril, x2 + 1 = 0} Maka |K | =  atau { }

5. Himpunan Bagian (subset) Waniwatining 5. Himpunan Bagian (subset) Sebuah himpunan dapat merupakan bagian dari himpunan lain. Anggota yang terkandung pada himpunan tersebut juga terkandung pada himpunan yang lain. Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Notasi : A  B

Diagram Venn Himpunan Bagian Waniwatining Diagram Venn Himpunan Bagian A B

Suatu himpunan merupakan himpunan bagian dari himpunan itu sendiri. Waniwatining Suatu himpunan merupakan himpunan bagian dari himpunan itu sendiri. Jika terdapat suatu himpunan L, maka berlaku L  L. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari suatu himpunan. Jika terdapat himpunan kosong dan himpunan M, maka berlaku   M.

Waniwatining 6. Kesamaan Himpunan Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika A adalah himpunan bagian B dan B merupakan himpunan bagian A. Dengan menggunakan lambang matematika. A = B  A  B dan B  A

Waniwatining 7. Ekivalensi Himpunan Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal A = kardinal B. Dengan menggunakan lambang matematika, A  B  A = B

Waniwatining 8. Himpunan Saling Lepas Himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika keduanya tidak mempunyai anggota yang sama. Dalam bentuk lambang dapat ditulis : A // B.

Diagram Venn Himpunan Saling Lepas Waniwatining Diagram Venn Himpunan Saling Lepas

Waniwatining 9. Himpunan Kuasa Himpunan kuasa adalah suatu himpunan A yang anggota-anggotanya merupakan suatu himpunan bagian A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A itu sendiri. Himpunan kuasa dari himpunan A dilambangkan dengan : P (A) atau 2A

10. Operasi Himpunan. Irisan Waniwatining 10. Operasi Himpunan. Irisan Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan semua unsur yang termasuk di dalam A dan di dalam B. Irisan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A  B.

Diagram Venn Operasi Irisan Waniwatining Diagram Venn Operasi Irisan

Gabungan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A  B. Waniwatining Gabungan Gabungan himpunan A dan himpunan B adalah semua unsur yang termasuk di dalam A atau di dalam B. Gabungan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A  B. A  B ={X:x  A, x  B, atau x  AB }

Diagram Venn Operasi Gabungan Waniwatining Diagram Venn Operasi Gabungan

Jika himpunannya A maka himpunan komplemennya dilambangkan A’ atau Waniwatining Komplemen Himpunan komplemen adalah himpunan semua unsur yang tidak termasuk dalam himpunan yang diberikan. Jika himpunannya A maka himpunan komplemennya dilambangkan A’ atau

Diagram Venn Komplemen Waniwatining Diagram Venn Komplemen

Selisih himpunan A dan himpunan B dilambangkan A – B atau A  B’ Waniwatining Selisih Selisih himpunan A dan B adalah semua unsur A yang tidak termasuk di dalam B. Selisih himpunan A dan himpunan B dilambangkan A – B atau A  B’

Diagram Venn Operasi Selisih Waniwatining Diagram Venn Operasi Selisih

Waniwatining Beda Setangkup Beda setangkup himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya hanya merupakan anggota himpunan A saja atau B saja.

Diagram Venn Beda Setangkup Waniwatining Diagram Venn Beda Setangkup

Waniwatining Perkalian Kartesian Jika terdapat himpunan A dan himpunan B maka perkalian kartesian A x B adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan pasangan terurut dengan komponen pertama berasal dari himpunan A dan komponen kedua berasal dari himpunan B. A x B ={(a,b) | a  A dan b  B }

Contoh Perkalian Kartesian Waniwatining Contoh Perkalian Kartesian Misal : A = { 1, 2, 3 } B = { a, b } Maka : A x B = {(1,a) ,(1,b) ,(2,a) ,(2,b), (3,a) , (3,b)} Pasangan berurut (a,b) berbeda dengan (b,a), dengan kata kain (a,b)  (b,a)

Waniwatining Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A x B  B x A, dengan syarat A atau B tidak kosong Jika A = Ø atau B = Ø, maka A x B = B x A = Ø Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka : |A x B | = | A | . | B |

Prinsip Inklusi Eksklusi Waniwatining Prinsip Inklusi Eksklusi AB = A + B - A  B ABC

Sifat-sifat Operasi Himpunan dan prinsip dualitas Waniwatining Sifat-sifat Operasi Himpunan dan prinsip dualitas

11. Himpunan Ganda & Operasinya Waniwatining 11. Himpunan Ganda & Operasinya Pada himpunan ganda, terdapat satu anggota yang muncul lebih dari satu kali. Jumlah kemunculan anggota dari suatu himpunan ganda disebut multiplisitas. Contoh : Q = { 1,1,2,2,2,4,7,8,8,9} Multiplisitas 2 adalah 3 Multiplisitas 8 adalah 2

Waniwatining Operasi Gabungan Operasi gabungan pada multiset akan menghasilkan multiplisitas anggota-anggotanya sama dengan multiplisitas maksimum anggota-anggota pada himpunan ganda. Contoh : S = { 1,1,2,2,2,3} T = { 1,1,1,2,2,3,3,4} ST = { 1,1,1,2,2,2,3,3,4}

Waniwatining Operasi Irisan Operasi irisan pada multiset akan menghasilkan multiset yang multiplisitas anggota-anggotanya sama dengan multiplisitas minimum anggota-anggota pada himpunan ganda. Contoh : S = { 1,1,2,2,2,3} T = { 1,1,1,2,2,3,3,4} ST = { 1,1,2,2,3}

Waniwatining Operasi Selisih Misal S dan T adalah multiset. Operasi selisih S – T akan menghasilkan multiset yang multiplisitas anggota-anggotanya ditentukan dengan cara : Jika multiplisitas anggota yang sama antara S dan T lebih besar pada S maka S – T . Jika multiplisitas anggota yang sama antara S dan T lebih besar pada T, maka multiplisitas anggota yang sama tersebut sama dengan 0

Waniwatining Operasi Jumlah Misal S dan T adalah multiset. Operasi penjumlahan S + T akan menghasilkan multiset yang multiplisitas anggota-anggotanya merupakan jumlah dari multiplisitas masing-masing anggota yang sama.

12. Pembuktian Pernyataan Himpunan Waniwatining 12. Pembuktian Pernyataan Himpunan Pernyataan himpunan dapat dibuktikan dengan menggunakan : Diagram Venn Tabel keanggotaan Sifat operasi himpunan

Pembuktian dengan menggunakan Diagram Venn Waniwatining Pembuktian dengan menggunakan Diagram Venn Untuk membuktikan kebenaran dari pernyataan himpunan dengan menggunakan diagram Venn : Gambarkan diagram Venn untuk ruas kiri dan ruas kanan kesamaa. Jika ternyata kedua gambar dari diagram Venn tersebut sama maka kesamaan tersebut terbukti benar.

Pembuktian dengan menggunakan tabel keanggotaan. Waniwatining Pembuktian dengan menggunakan tabel keanggotaan.

Pembuktian dengan menggunakan sifat operasi himpunan. Waniwatining Pembuktian dengan menggunakan sifat operasi himpunan.