Proses Poisson Hasih Pratiwi

Pendahuluan PROSES POISSON Proses Stokastik Rantai Markov Rantai Markov waktu diskrit Rantai Markov waktu kontinyu Proses kelahiran dan kematian PROSES POISSON Proses Poisson

Review Proses Poisson adalah proses kelahiran murni dengan n= untuk n0 dan n=0 untuk n0 Dari persamaan Kolmogorov backward: P0j’(t) = P1j(t) - P0j(t) Pij’(t) = Pi+1,j(t) - Pij(t), untuk semua i>0 diperoleh: Pij(s) = e-s (s)j-i/(j-i)! Proses Poisson

Sistematika 1. Counting process 2. Poisson process 3. Poisson point process 4. Poisson point process dimensi dua Proses Poisson

Counting process Proses stokastik {N(t), t0} adalah counting process jika N(t) menyatakan banyaknya peristiwa yang terjadi sampai dengan t. Jika Tn adalah waktu antara peristiwa ke-(n-1) dan ke-n maka {Tn, n=1,2,…} merupakan waktu antar kedatangan (inter-arrival times). Sn = i=1n Ti, n1 adalah waktu kedatangan (arrival time) peristiwa ke-n atau waktu tunggu (waiting time) peristiwa ke-n. Counting process mempunyai independent increments jika banyaknya peristiwa yang terjadi antara waktu s dan t, N(t) – N(s), independen dari banyaknya peristiwa yang terjadi sampai dengan s. Counting process mempunyai stationary increments jika distribusi banyaknya peristiwa yang terjadi dalam sembarang interval hanya bergantung pada panjang interval. Proses Poisson

Proses Poisson T1 T2 T3 0 1 2 3 Suatu fungsi dikatakan o(h) (order h atau “little oh” h) jika Counting process {N(t), t0} adalah proses Poisson dengan rate >0 jika memenuhi 1. N(0) = 0 2. {N(t), t0} mempunyai independent increments 3. {N(t), t0} mempunyai stationary increments 4. P(N(t+h)-N(t)=1) = h + o(h) P(N(t+h)-N(t)2) = o(h) t peristiwa Proses Poisson

P{N(t+s) – N(s) = n} = (t)n e–t/n!, n=0,1,2,… Proses Poisson Kondisi 3 dan 4 ekuivalen dengan banyaknya peristiwa dalam sembarang interval dengan panjang t berdistribusi Poisson dengan rate t: P{N(t+s) – N(s) = n} = (t)n e–t/n!, n=0,1,2,… t N(t) T2 T1 T3 T4 S1 S2 S3 S4 Waktu antar kedatangan T1, T2, … merup. v.r. berdistribusi eksponensial dengan mean 1/: P(Ti>t) = P(N(t) =0) = e-t Waktu kedatangan peristiwa ke-n (waktu tunggu peristiwa ke-n) berdistribusi gamma Proses Poisson

Compound Poisson process Counting process {X(t), t  0} adalah compound Poisson process jika dengan {N(t), t  0} adalah proses Poisson dan {Yi, i = 1,2, …} v.r. iid dan independen dengan {N(t), t  0}. Dengan sifat N(t) diperoleh Contoh: Misalkan klaim yang terjadi pada suatu perusahaan asuransi berdistribusi Poisson dan Yk adalah nilai klaim ke-k. Maka X(t) =  Yk menyatakan besarnya klaim kumulatif sampai dengan t. Proses Poisson

Proses Poisson nonhomogen Proses Poisson nonstasioner atau nonhomogen dengan fungsi intensitas (t), t  0 adalah counting process {N(t), t  0} yang memenuhi 1. N(0) = 0 2. {N(t), t0} mempunyai independent increments 3. P{N(t+h)-N(t)2} = o(h) 4. P{N(t+h)-N(t)=1} = (t)h + o(h) Proses Poisson

P{N((s,t])=k} = [(t-s)]k e-(t-s)/k!, k=0,1,… Poisson point process The Law of Rare Events: Jika suatu peristiwa terjadi dalam sejumlah kemungkinan dengan probabilitas terjadinya peristiwa tsb kecil, maka total banyaknya peristiwa yang terjadi mendekati distribusi Poisson P(X=k) = k e-/k!, k=0,1,… Misalkan N((s,t]) merupakan v.r. banyaknya peristiwa yang terjadi selama interval (s,t]. Maka N((s,t]) adalah Poisson point process dengan intensitas >0 jika 1. untuk setiap m=2,3,… dan titik2 waktu t0=0<t1<t2<…<tm, v.r. N((t0,t1]), N((t1,t2]), …, N((tm-1,tm]) independen 2. untuk s<t, v.r. N((s,t]) berdistribusi Poisson P{N((s,t])=k} = [(t-s)]k e-(t-s)/k!, k=0,1,… Proses Poisson

Poisson point process N((a,b]) = 3 t a b Proses Poisson

Contoh Plot data gempa tektonik di Jawa dan Bali (BMG, 2000) (Magnitude +: M≤5,5, ∆: 5,5<M≤6,0, o: 6,0<M≤6,5, □: M>6,5) Proses Poisson

Poisson point process Misalkan S adalah suatu himpunan dalam ruang dimensi n dan A keluarga subset S. Suatu point process dalam S adalah proses stokastik N(A) yang terindeks oleh himpunan2 A dalam A dan mempunyai nilai integer nonnegatif {0,1,2, …}. N(A): banyaknya titik dalam A Misalkan S subset real, bidang dimensi 2 atau ruang dimensi 3, A keluarga subset S, dan untuk sembarang AA misalkan |A| menyatakan ukuran (panjang, luas, atau volume) A. {N(A): A A } adalah homogeneous Poisson point process dengan intensitas >0 jika 1. untuk setiap AA , v.r. N(A) berdistribusi Poisson dengan parameter |A| 2. untuk setiap koleksi berhingga {A1,A2,…,An} dari subset S yang saling asing, v.r. N(A1), N(A2),…, N(An) independen. Proses Poisson

Compound & marked Poisson process Misalkan X(t) proses Poisson dengan rate >0, setiap peristiwa dalam proses Poisson berkaitan dengan variabel random yang menyatakan nilai, biaya atau harga. Y1, Y2, … diasumsikan v.r. independen dengan fungsi distribusi bersama G(y) = P{Yk  y}. Compound Poisson process adalah proses nilai kumulatif yang didefinisikan oleh Z(t) = k=1X(t) Yk Marked Poisson process adalah barisan pasangan (W1,Y1), (W2,Y2), … dengan W1, W2, … adalah waktu tunggu atau waktu kejadian dalam proses Poisson X(t). Proses Poisson

Marked Poisson process y Y2 Y3 Y1 t w1 w2 w3 w4 w5 Proses Poisson

Data gempa: Plot magnitude vs waktu 1 3 5 4 7 6 15 11 9 21 14 16 36 27 24 48 40 70 49 136 25 Proses Poisson

Poisson point process Misalkan =(x,y) adalah fungsi nonnegatif yang terdefinisi pada daerah S pada bidang (x,y). Untuk setiap AS, misalkan (A) = A (x,y) dx dy adalah volume A. Nonhomogeneous Poisson point process dengan fungsi intensitas (x,y) adalah point process {N(A);A S} yang memenuhi 1. untuk setiap A S, v.r. N(A) berdistribusi Poisson dengan mean (A) 2. untuk subset A1,…, Am dari S yang saling asing, v.r. N(A1),…, N(Am) independen. Homogeneous Poisson point process: (x,y) =  untuk semua x, y. Proses Poisson

Poisson point process Teorema(Taylor & Karlin, 1994) Misalkan (W1,Y1), (W2,Y2), … adalah marked Poisson process dengan W1, W2, … adalah waktu tunggu atau waktu kejadian dalam proses Poisson dengan rate  dan Y1, Y2, … v.r. kontinu berdistribusi identik dan independen dengan fungsi densitas probabilitas g(y), maka (W1, Y1), (W2, Y2), … membentuk Poisson point process nonhomogen dimensi dua dalam bidang (t,y). Rata-rata banyaknya titik dalam suatu daerah A adalah A =   A g(y) dy dt. Proses Poisson

Terima kasih...