GEOMETRI ANALITIK RUANG YULVI ZAIKA

Jarak suatu titik ke titik asal (O) Jarak dari pusat sumbu O ketitik P (x, y, z) ialah : OP2 = ( x2 + y2 + z2 ) Jika OP = r maka : r 2 = ( x2 + y2 + z2 )

SUDUT ARAH DAN COSINUS ARAH Jika a,b,g, masing-masing sudut antara OP dgn sumbu-sumbu positif maka : x = r cos a cos a = x/r y = r cos b atau cos b = y/r z = r cos g cos g = z/r Dimana a,b,g disebut sudut sudut arah OP cos a cos b cos g disebut cosinus arah OP Dan cos 2a + cos2b + cos 2g = 1

Z P  r   O X Y

BILANGAN ARAH GARIS cos a : cos b : cos g = a : b : c, maka a,b,c disebut bilangan arah garis Jika diketahui a,b,c maka cos a = a / + (a2 + b2 + c2 )1/2 cos b = b / + (a2 + b2 + c2 )1/2 cos g = c / + (a2 + b2 + c2 )1/2 Dimana tanda penyebut + atau – tergantung kuadran.

JARAK DARI DUA TITIK Jarak dari dua titik P1(x1,y1,z1) dan P2 (x2,y2,z2) adalah : d = [(x2-x1)2 + (y2-y1)2 + (z2-z1)2]1/2 Bilangan arah dari garis P1P2 adalah (x2-x1), (y2-y1) dan (z2-z1) Cosinus arah dari garis P1P2 adalah cos a = (x2-x1)/d, cos b = (y2-y1)/d, cos g = (z2-z1)/d

SUDUT ANTARA DUA GARIS Didefinisikan sebagai sudut antara dua garis berpotongan, dan masing masing // dgn satu dari garis yang diketahui. Jika OP1 dan OP2 garis melalui O dan // dua garis yg diketahui, q sudut antara grs itu maka : Cos q = (x1x2 + y1y2 + z1z2) /r1r2 Dimana : r1 2 = ( x12 + y12 + z12 ) r2 2 = ( x22 + y22 + z22 )

Karena X1 = r cos a1 X2 = r cos a2 maka cos q = cos a1 cos a2 + cos b1 cos b2+ cos g1 cos g2 Jika dua grs //, maka : a1= a2 b1= b2 g1= g2 Jika dua garis tegak lurus maka : cos a1 cos a2 + cos b1 cos b2+ cos g1 cos g2 = 0

Jika  sudut antara dua garis dgn bilangan arah a1, b1, c1, dan a2,b2,c2 maka : Jika dua grs //, maka : 𝑎 1 𝑎 2 = 𝑏 1 𝑏 2 = 𝑐 1 𝑐 2 Jika dua garis tegak lurus maka : 𝑎 1 𝑎 2 + 𝑏 1 𝑏 2 + 𝑐 1 𝑐 2 =0 𝑐𝑜𝑠𝜃= 𝑎 1 𝑎 2 + 𝑏 1 𝑏 2 + 𝑐 1 𝑐 2 𝑎 1 2 + 𝑏 1 2 + 𝑐 1 2 1 2 . 𝑎 2 2 + 𝑏 2 2 + 𝑐 2 2 1 2

BIDANG DATAR Bentuk Umum Ax + By + Cz + D = 0 Dimana A, B, C tidak semuanya nol Persamaan Bidang datar melalui titik (xo, yo, zo) adalah : A(x-xo) + B(y-yo) + C(z-zo) = 0

GARIS TEGAK LURUS PADA BIDANG DATAR Syarat supaya garis g dgn blgn arah a, b,c tegak lurus pada bdg Ax + By + Cz + D = 0 ialah a/A = b/B = c/C Persamaan bidang datar melalui P1 (x1,y1,z1) tegak lurus pada garis dgn bilangan arah a,b,c adalah : a(x-x1) + b(y-y1) + c(z-z1) = 0

Contoh soal Suatu bidang yang melalui titik (4,-3,1) dan tegak lurus dengan garis [2,5,6]. Tentukan persamaan bidang tersebut. Garis yang melalui titik asal yang tegak lurus pada bidang tertentu memotong bidang tersebut pada titik (3,-1,5). Tentukan vektor garis tersebut dan persamaan bidangnya.

Garis potong Vektor normal adalah vektor tegak lusrus bidang. Dua bidang dikatakan sejajar bila vektor normalnya sejajar. Dua vektor dikatakan sejajar bila komponen masing-masing vektor sebanding Grs potong Bidang Dua bidang disebut salang tegak lurus bila vektor normal yang satu tegak lurus dengan yang lainnya.

DUA BIDANG SEJAJAR DAN TEGAK LURUS Dua Bidang A1x + B1y + C1z + D1 = 0 dan adalah A2x + B2y + C2z + D2 = 0 - // jika A1/A2 = B1/B2 = C1/C2 - Tegak lurus jika A1.A2 + B1.B2 + C1.C2 =0

BOLA Persamaan x2+ y2 + z2 = R2 adalah bola yg berpusat di O (0,0,0) dgn jari jari R. Persamaan (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 adalah bola yg berpusat di (a,b,c) dgn jari jari R. Persamaan x2+ y2+ z2+2Ax+2By+2Cz+D= R2 adalah pers bola dgn titik pusat M (-A, -B, -C) Jari – jari R = ( A2+ B2 +C2 – D )1/2 Jika R = 0 bola menjadi “bola titik” Jika A2+ B2 +C2 – D > 0 adalah “ bola sejati ” Jika A2+ B2 +C2 – D < 0 adalah “ bola khayal “

PERSAMAAN BIDANG SINGGUNG Jika Pers bola x2+ y2+ z2+2Ax+2By+2Cz+D= 0 atau BI = 0 , Maka : . Pers bidang singgung dititik P(x1,y1,z1) yg terletak pada bola BI = 0 adalah x1x+y1y+z1z+A(x+x1)+B(y+y1)+C(z+z1)+ D =0 Untuk persamaan bola x2+ y2 + z2 = R2 maka persamaan bidang singgung / kutub adalah : x1x + y1y + z1z = R2 - Untuk persamaan bola : (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 maka persamaan bidang singgung / kutub adalah : (x1–a)(x-a) + (y1-b)(y-b) + (z1-c)(z-c) = R2

TABUNG DAN KERUCUT Bidang Tabung adalah bidang yang dilukiskan oleh garis-garis lurus yang arahnya sama sejajar (yg disbt garis lukis) dan selalu memotong sebuah garis lengkung tertentu (yg disbt garis lengkung arah 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 , a<z<b

KERUCUT Bidang kerucut adalah bidang yg dilukiskan oleh garis lurus yang melalui sebuah titik tetap (yg disbt puncak kerucut) dan memotong sebuah garis lengkung tertentu (yg disbt grs lengkung arah)

BIDANG PUTARAN Bdg putaran adalah bdg yg terjadi jk sebuah grs (lengkung/lrs) berputar sekeliling sebuah grs lrs sbg sumbu. Grs lengkung datar : y = 0, f(x,z) = 0; diputar sekeliling sb z, maka pers bid putaran yang terjadi adalah ; 𝑓 𝑥 2 + 𝑦 2 ,z =0 Grs lengkung datar : y = 0, f(x,z) = 0; diputar sekeliling sb x, maka pers bid putaran yang terjadi adalah ; 𝑓 𝑥, 𝑦 2 + 𝑧 2 =0

1. Jk grs lurus : x/a + z/b = 1, y = 0 diputar sekeliling sb z, maka terjadi : 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑎 + 𝑧 𝑏 =1 atau 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑎 2 = 𝑏−𝑧 2 𝑏 2 …………..kerucut 2. Jk lingkaran x2+ y2 = a2 , y = 0 diputar sekeliling sb z, maka x2+ y2 + z2 = a2 adalah bola 3. Jk parabola : x2 = 2pz, y = 0 diputar sekeliling sb z, mk terjadi x2+ y2 = 2pz adalah parabolaida putaran

4. Jk ellips : x2 /a2 + z2/b2 = 1, y = 0 diputar sekeliling sb z maka terjadi (x2+ y2)/ a2 + z2 /b2 = 1 atau x2/a2 + y2/a2 + z2/b2 = 1 adalah sebuah elipsoida putaran 5.Jk hiperbola : x2 /a2 - z2/b2 = 1, y = 0 diputar sekeliling sb z maka terjadi (x2+ y2)/ a2 - z2 /b2= 1 atau x2/a2 + y2/a2 - z2/b2 = 1 ialah sebuah hiperbola putaran daun satu. 6. Jk hiperbola : x2 /a2 - z2/b2 = -1, y = 0 diputar sekeliling sb z maka terjadi (x2+ y2)/ a2 - z2 /b2= -1 atau - (x2/a2) - y2/a2 + z2/b2 = 1 ialah sebuah hiperbola putaran daun dua. 7. Jk grs lurus x = a, y = 0 diputar sekeliling sb z, mk terjadi : (x2+ y2)1/2 = a atau x2+ y2 = a2 Ialah sebuah tabung silinder

BIDANG DERAJAT DUA Elipsoida x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1 Perpotonganya dgn bid koordinat berupa ellips. Pers bid singgung dititik P(x1,y1,z1) adalah x1x/a2 + y1y/b2 + z1z/c2 = 1 2. Parabola Eliptik x2/a2 + y2/b2 = (2p/a2) z2 3. Perpotongan dgn bid z = k > 0 x2/a2 + y2/b2 = (2pk/a2) z2 berupa ellips - Perpotongan dgn bid y = 0 berupa parabola - Perpotongan dgn bid x= 0 berupa parabola Persamaan bidang singgung dititik T(x1,Y1,z1) adalah : x1x/a2 + y1y/b2 = (p/a2) .(z+z1)

3. Hiperbola daun satu x2/a2 + y2/b2 - z2/c2 = 1 - Perpotongan dgn bid koordinat : Dengan bid z = 0 berupa ellips Dengan bid x = 0 berupa hiperbola Dengan bid y = 0 berupa hiperbola Persamaan bidang singgung dititik P(x1,Y1,z1) adalah : x1x/a2 + y1y/b2 – z1z/c2 = 1 4.Hiperbola daun dua x2/a2 - y2/b2 - z2/c2 = 1 - Perpotongan dgn bid koordinat : Dengan bid z = 0 berupa hiperbola Dengan bid x = 0 berupa elips khayal y2/b2 + z2/c2 = -1 Dengan bid y = 0 berupa hiperbola Dengan bid x = k dimana k>a adalah y2/b2 + z2/c2 = k2/a2 -1 berupa ellips real (k2/a2 -1) > 0 - Persamaan bidang singgung dititik P(x1,Y1,z1) adalah : x1x/a2 - y1y/b2 – z1z/c2 = 1 -

5. Parabolaida hiperbolik x2/a2 - y2/b2 = 2pz/a2 - Perpotongan dgn bid z = 0 , y2= b2x2 /a2, y = bx/a ,berupa dua grs lrs - Dengan bid z = k : x2/a2 - y2/b2 = 2pk/a2 berupa hiperbola - Dengan bid y = 0 : x2 = 2pz berupa parabola - Dengan bid x = 0 : y2 = -b2 2pz /a2 berupa parabola - Persamaan bidang singgung dititik P(x1,y1,z1) adalah : x1x/a2 - y1y/b2 = p/a2 (z+z1)