STATISTIK NONPARAMETRIK Kuliah 10: Uji k-Sampel Berhubungan: Uji Friedman Dosen: Dr. Hamonangan Ritonga, MSc Sekolah Tinggi Ilmu Statistik Jakarta Tahun 2013

Uji Friedman (1) Kegunaan Uji Friedman berguna untuk menguji apakah 3 atau lebih-sampel berpasangan berasal dari populasi yang sama atau tidak. Karena 3 atau lebih-sampel tersebut berpasangan, maka jumlah kasus pada setiap sampel adalah sama. Uji ini dilakukan dengan mempelajari kelompok subyek yg sama dibawah k-kondisi. Uji Friedman bermanfaat untuk melihat perbedaan dampak perlakuan (kondisi) terhadap kelompok-kelompok berpasangan yang diteliti. Uji ini merupakan alternatif untuk Uji ANOVA pada Uji statistik parametrik. Asumsi Data berbentuk peringkat. Data tidak harus mengikuti distribusi normal. Syarat Data setidak-tidaknya berskala ordinal Bentuk Hipotesa Ho: 3 atau lebih sampel berpasangan berasal dari populasi yang sama Ha: 3 atau lebih sampel berpasangan berasal dari populasi yang berbeda

Uji Friedman (2) Prosedur: Pada Uji Friedman, data dibuat dalam tabel dua arah, dengan N-baris dan k-kolom; dimana N-baris merepresentasikan variasi kelompok berpasangan, dan k-kolom merepresentasikan variasi kondisi. Misalkan kita ingin mempelajari skor-skor dari 3 variasi kelompok berpasangan dibawah 4 variasi kondisi. Dengan demikian kelompok (N) =3, kondisi (k)=4. Tiap-tiap kelompok berpasangan terdiri dari 4 subyek/kasus dan masing-masing satu subyek dihadapkan pada satu kondisi. Misalkan skor-skor menurut variasi kelompok (baris) dan variasi kondisi (kolom) pada Tabel 1: Skor-skor 3 variasi kelompok berpasangan di bawah 4 variasi kondisi . Variasi Kelompok Variasi Kondisi I II III IV Kelompok A Kelompok B Kelompok C 9 6 4 5 1 2 7 8

Uji Friedman (3) Tahapan prosedur: Untuk melakukan Uji Friedman dengan data pada Tabel 1, maka dilakukan tahapan prosedur sebagai berikut: 1) Berikan ranking kepada skor-skor dalam setiap baris dari 1 sampai k, dengan rangking 1 untuk skor yang terendah, rangking 2 untuk skor terendah berikutnya, …, rangking k untuk skor tertinggi . Bila rangking ada yang sama, maka nilai rangkingnya adalah rata-rata rangking yang sama. 2) Tentukan jumlah rangking untuk masing-masing kolom (kondisi). Tabel 2 dibawah ini menunjukkan rangking berdasarkan Tabel 1 berikut jumlah rangking untuk masing-masing kondisi: . Kelompok Berpasangan Kondisi I II III IV Kelompok A Kelompok B Kelompok C 4 3 2 1 Rj 11 5 10

Uji Friedman (4) Tahapan Prosedur (Lanjutan): Catatan: a) Jika Ho benar atau semua subyek menurut kondisi (kolom) berasal dari populasi yang sama, maka distribusi ranking pada tiap-tiap kolom hanyalah tersusun secara kebetulan. Dengan kata lain, rangking 1.2,3, dan 4 muncul disetiap kolom dengan frekuensi yang relatif sama. b) Jika skor-skor subyek dipengaruhi kondisi-kondisi yang ditentukan (Ho salah), maka jumlah keseluruhan ranking akan berbeda antara kolom yang satu dengan kolom lainnya. 3) Uji Friedman pada dasarnya menguji apakah jumlah keseluruhan rangking (Rj) berbeda secara siginikan atau tidak. Uji Friedman menghitung nilai statistik yang disebut Friedman r2 dengan formula: . r2 = {12 /Nk(k+1)} {k  j=1 (Rj) 2} - {3 N (k+1)} dimana k = banyaknya kolom (kondisi) N = banyaknya baris (juga disebut kelompok berpasangan) R j = jumlah rangking atau peringkat pada kolom ke-j

Uji Friedman (5) Prosedur (lanjutan): . Pada contoh diatas (Tabel 2) dapat dihitung nilai statistik r2 sbb: r2 = {12 /Nk(k+1)} {k  j=1 (Rj) 2} - {3 N (k+1)} = {12/(3)(4)(4+1)} { (11) 2 + (5) 2 + (4) 2 + (10) 2} - { (3) (3) (4+1)} = 7,4 4) Menentukan nilai probabilitaas kejadian dibawah Ho yang berhubungan dengan nilai observasi r2. Penentuannya didasarkan pada jumlah N dan k: a) Gunakan Tabel N (Lampiran) untuk k=3 ; N=2 s/d 9, dan k=4; N=2 s/d 4 b) Gunakan distribusi Chi-Square (Tabel C Lampiran) untuk N dan/atau k yang lebih besar dgn derajat bebas atau degrees of freedom (df)=k-1 Pada contoh diatas, digunakan Tabel N. Dengan k = 4 dan N = 3. Tabel N menunjukkan nilai probabilitas (p) yang berkaitan dengan nilai r2  7,4 adalah p=0,033. 5) Jika nilai probabilitas p ≤  maka Tolak Ho. Pada contoh diatas p = 0,033. Kita dapat menolak Ho bahwa keempat sampel berpasangan tersebut ditarik dari populasi yang sama sehubungan dengan parameter lokasi (mean ranking) pada taraf nyata 0,033.

Uji Friedman (6) Langkah-langkah Uji Friedman: 1. Rumuskan Hipotesa Ho: k-sampel berpasangan berasal dari populasi yang sama Ha: k-sampel berpasangan berasal dari populasi yang berbeda 2. Tentukan Uji Statistik-nya, sesuai rumusan hipotesa dan skala data  alasan menggunakan Uji Friedman 3. Tentukan taraf nyata () 4. Tentukan distribusi sampling 5. Tentukan daerah tolak 6. Buat keputusan 1

Uji Frieman (7): Contoh N dan/atau k besar Suatu penelitian dilakukan untuk mengetahui akibat tiga pola pemberian dorongan terhadap perbedaan derajat belajar pada tikus. Tiga sampel berpasangan (k=3) terdiri dari 18 himpunan tikus (N=18) dilatih dibawah 3 pola dorongan. Pasangan ditentukan dengan menggunakan 18 himpunan sekelahiran, masing-masing terdiri dari 3 tikus . Walaupun ke-54 tikus tersebut menerima dorongan (imbalan) dalam jumlah yang sama , pola pemberian dorongan berbeda-beda untuk setiap kelompok. Kelompok berpasangan pertama dilatih dengan dorongan 100% (RR), kelompok berpasangan kedua dilatih dengan dorongan sebagaian dimana setiap rangkaian berakhir dengan usaha yang tidak diberi dorongan (RU), dan kelompok berpasangan ketiga dilatih dengan dorongan sebagian dimana setiap rangkaian usaha berakhir dengan usaha yang diberi dorongan (UR). Setelah latihan, tingkat belajar diukur dengan dasar kecepatan tikus mempelajari kebiasaan “yang berlawanan”, dimana sebelumnya tikus-tikus dilatih berlari menuju tujuan warna putih, sekarang menuju tujuan warna hitam. Semakin baik pelajaran terdahulu, seharusnya semakin lambat pengalihan pelajaran tsb (Hasil penelitian menurut rangking pada Tabel 1). Uji apakah pola-pola pemberian dorongan mengakibatkan perbedaan belajar sebagaimana ditunjukkan oleh kemampuan mengalihkan pada taraf nyata 5 % 1

Uji Frieman (8): Contoh N dan/atau k besar Tabel 1: Rangking skor pengalihan kebiasaan tikus Kelompok berpasangan Pola Dorongan RR RU UR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2,5* R j 39,5 42,5 26,0 * = Jika rangking sama , maka nilai rangkingnya adalah nilai rata-ratanya

Uji Frieman (9): Contoh N dan/atau k besar Jawab: 1) Ho:perbedaan pola dorongan tidak membawa akibat perbedaan H1: perbedaan pola dorongan membawa akibat perbedaan. 2) Uji Statistik: Uji Friedman  Sesuai untuk menguji perbedaan dengan data ordinal dan 3 atau lebih kelompok berpasangan 3) Taraf nyata:  = 5 %, N = 18= himpunan tikus di setiap 3 kelompok berpasangan 4) Distribusi sampling: Nilai statistik r2 mengikuti distribusi Chi- square dengan df =k-1 karena N dan/atau k besar. Gunakan Tabel C 1

Uji Frieman (10): Contoh N dan k besar Jawaban Nilai r2 = {12 /Nk(k+1)} {k  j=1 (Rj) 2} - {3 N (k+1)} = {12/(18)(3)(3+1)} { (39,5) 2 + (42,5) 2 + (26,0) 2 } - { (3) (18) (3+1)} = 8,4 Bandingkan dengan nilai probabilitas (p) Chi-Square Tabel Lampiran C , dimana r2 = 8,4 ketika df = k-1 = 3-1 =2 signifikan antara 0,02 dan 0,01. 5) Keputusan: Karena p < 0,05, maka tolak Ho Kesimpulan: perbedaan pola dorongan membawa akibat perbedaan pada pengalihan kebiasaan 1

Uji Frieman (11): Kekuatan Uji Friedman vs Uji Uji parametrik-Anova Friedman (1937) melaporkan 56 analisis terpisah Uji Nonparametrik-Uji Friedman yang juga bisa diuji dengan Uji parametrik-Uji Anova (F-test). Perbandingan hasil menunjukkan bahwa 45 dari 56 analisis tersebut menunjukkan bahwa pada tingkat kemungkinan yang dihasilkan kedua uji tersebut menghasilkan kesimpulan yang pada dasarnya sama. Selebihnya ada perbedaan pada taraf nyata antara 0,00 dan 0,05. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa Uji Nonparametrik-Friedman r2 menunjukkan efisiensi yang baik jika dibandingkan dengan Uji Parametrik k-sampel berpasangan yang paling kuat, yaitu Uji F. 1

Uji Frieman (12): Soal Latihan untuk N dan k kecil Seorang peneliti ingin mengetahui tingkat kepuasan masyarakat terhadak kebijakan presiden menaikkan harga BBM pada kondisi interval waktu berikut: 1) satu bulan sebelum harga BBM naik, 2) satu bulan setelah harga BBM naik, dan dua bulan setelah harga BBM naik. Untuk itu diambil sebanyak 8 responden berpasangan pengguna kenderaan roda-4 di Rukun Tetangga “X” (data fiktif). Pengukuran kepuasan menggunakan skala ordinal: 1) tidak puas, 2) cukup puas, 3) puas, dengan hasil observasi sbb: Sebulan sebelum kenaikan harga BBM: 3 3 3 3 2 3 2 2 Sebulan setelah kenaikan harga BBM : 2 2 3 2 1 2 3 2 Dua bulan setelah kenaikan harga BBM: 2 2 2 1 1 2 1 1 Dengan taraf nyata 5 %, uji hipotesis apakah tingkat kepuasan pengguna kenderaan roda-4 sama sebelum kenaikan harga BBM dan sesudah satu bulan dan dua bulan harga BBM naik di RT “X”. 1

Uji Frieman (13): Soal Latihan untuk N dan/atau k besar 1. Seorang peneliti ingin mengetahui apakah tiga gaya kepemimpinan, yaitu: direktif, supprotif, dan partisipatif di satu unit kerja mempengaruhi efektivitas kerja pegawai. Ketiga gaya kepemimpinan tersebut diuji pada 12 kelompok berpasangan, masing-masing terdiri dari sebanyak 3 subyek. Selanjutnya emelalui instrumen penelitian tertentu (misalnya kuesioner) dilakukan pengukuran efektivitas kerja pegawai. Data skor efektivitas pegawai menurut gaya kepemimpinan adalah sbb: Direktif : 32 48 57 56 58 44 41 44 42 45 42 20 Supportif : 47 30 47 44 49 38 39 41 28 23 35 21 Partisipatif : 55 43 53 50 40 53 54 25 28 32 42 31 Dengan taraf nyata 5 %, uji hipotesis yang menyatakan bahwa ke-3 gaya kepemimpinan mempunyai pengaruh terhadap efektivitas kerja pegawai. 2. Soal Lain: Buat rencana penelitian (dengan menggunakan data simulasi) untuk menganalisis perubahan opini terhadap calon Bupati/Gubernur/Presiden pada Pilkada /Pemilu di suatu daerah. 1