Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Analisis Rangkaian Listrik Sesi-3 1

Disajikan oleh Sudaryatno Sudirham melalui 2

Dalam sesi ke-3 ini kita akan membahas Model Sinyal 3

Telah kita sadari bahwa dalam analisis rangkian listrik, kita memindahkan rangkaian listrik ke atas kertas dalam bentuk gambar yang kita kenal sebagai diagram rangkaian 4 Berasan-besaran listrik yang ada dalam rangkaian pun harus kita pindahkan ke atas kertas Pemindahan ke atas kertas itu kita lakukan dengan membuat model sinyal yang tidak lain adalah pernyataan secara matematis dari besar dan bentuk sinyal Dengan model sinyal inilah kita melakukan perhitungan-perhitungan dalam analisis. Sinyal biasanya merupakan fungsi waktu dan kita sebut sebagai bentuk gelombang sinyal

Bentuk gelombang sinyal adalah suatu persamaan atau suatu grafik yang menyatakan sinyal sebagai fungsi dari waktu. Ada dua macam bentuk gelombang, yaitu: Bentuk Gelombang Dasar Hanya ada 3 macam bentuk gelombang dasar yaitu: Anak tangga (step) Eksponensial Sinus Bentuk Gelombang Komposit Bentuk gelombang komposit merupakan kombinasi (penjumlahan, pengurangan, perkalian) dari bentuk gelombang dasar. 5

t v Anak tangga t v Sinus t 0 v Eksponensial Gelombang persegi t v 0 Gigi gergaji t v 0 Segi tiga t v 0 t v 0 Eksponensial ganda Deretan pulsa t v 0 t v 0 Sinus teredam Tiga Bentuk Gelombang Dasar Contoh Bentuk Gelombang Komposit 6

7 v 0 1 t Fungsi Anak-Tangga ( Fungsi Step ) Fungsi anak tangga satuan adalah fungsi anak tangga yang memiliki amplitudo = 1 satuan, dan muncul pada t = 0. Bentuk Gelombang Dasar dan persamaannya adalah: Fungsi ini dapat digambarkan sebagai berikut

8 v 0 VAVA t v 0 VAVA TsTs t Amplitudo = V A Muncul pada t = 0 Faktor u(t-T s ) menunjukkan bahwa sinyal muncul pada t = T s atau kita katakan tergeser positif sebesar T s Jika fungsi anak tangga memiliki amplitudo = V A satuan, dan muncul pada t = 0, maka bentuk kurva dan persamaannya adalah sebagai berikut Jika fungsi anak tangga memiliki amplitudo = V A satuan, dan muncul pada t = T s, maka bentuk kurva dan persamaannya adalah sebagai berikut

Bentuk Gelombang Eksponensial v t /  Persamaan gelombang eksponensial ini menunjukkan: VAVA 9 Bentuk gelombang eksponensial yang akan kita bahas adalah gelombang kausal. Ia muncul pada t = 0. Bentuk gelombang dan persamaannya adalah sebagai berikut: V A : Amplitudo gelombang  : konstanta waktu, yang menentukan berapa cepat amplitudo menurun faktor u(t) membuat fungsi ini bernilai 0 untuk t < 0 Pada t =  amplitudo sinyal sudah menurun sampai 36,8 % V A V A Pada t = 5  sinyal telah menurun sampai 0,00674V A, kurang dari 1% V A. Oleh karena itu didefinisikan bahwa durasi (lama berlangsungnya) sinyal eksponensial adalah 5 . Makin besar konstanta waktu, makin lambat sinyal menurun.

Contoh t [detik] v1v1 v2v2 v3v v [V] Konstanta waktu = 2 Konstanta waktu = 4 Makin besar konstanta waktu, makin lambat gelombang menurun 10

Gelombang Sinus T0T0 VAVA t 0 VAVA v v = V A cos(2  t / T o ) ( Nilai puncak pertama terjadi pada t = 0 ) T0T0 TSTS t VAVA 0 v VA VA ( Nilai puncak pertama terjadi pada t = T S ) Sinus tergeser dapat ditulis Maka dapat juga ditulis 11 sinus tergeser

Fungsi Impuls t v 0 T 1 T 2 A t v 0 T1T1 A Fungsi impuls dapat dipandang sebagai terdiri dari dua fungsi anak tangga Muncul pada t = T 1 Muncul pada t = T 2 A A T2T2 12 Bentuk Gelombang Komposit anak tangga pertama anak tangga ke dua

Impuls Satuan (t)(t) t v 0 t v 0 Kita pandang: Impuls simetris terhadap sumbu tegak, yang memiliki luas = 1 Jika lebar impuls terus diperkecil dengan tetap mempertahankan luas = 1, maka kita peroleh impuls satuan yang didefinisikan sebagai: Lebar impuls yang simetris thd sumbu tegak ini diperkecil namun dengan mempertahankan luas tetap 1 13

Fungsi Ramp r(t)r(t) t v 0 t r 0 Fungsi Ramp Tergeser T0T0 r(t)r(t) Amplitudo ramp berubah secara linier Persamaan fungsi ramp yang muncul pada pada t = T 0 dan mempunyai kemiringan K adalah: Kemiringan fungsi ramp Pergeseran sebesar T 0 14 Persamaan fungsi ramp dengan kemiringan = 1 dan muncul pada t = 0 adalah:

Sinus Teredam Fungsi sinus beramplitudo 1 Fungsi eksponensial beramplitudo V A t VAVA 0 v Maksimum pertama fungsi sinus < V A 15 Fungsi ini merupakan perkalian antara fungsi sinus dan fungsi eksponensial. Faktor eksponensial menyebabkan teredamnya fungsi sinus.

(bentuk gelombang anak tangga dan kompositnya) 0 t v V v 2 =  3u(t  2) V v 1 = 4u(t) V 4V 0 t v1v1 v 2 =  3 u(t  2) V  3V 0 t v2v CONTOH: 16 Bentuk gelombang ini tersusun dari dua gelombang anak tangga v 3 = v 1 +v 2 = 4u(t)  3u(t  2) V 1V 0 t v3v V

v 4 = 4u(t)  7u(t  2)+3u(t  5) V  7V 0 t v4v V v a = 4u(t) V v b =  7u(t  2) V v c = 3u(t  5) V v 4 dipandang sebagai tersusun dari tiga gelombang anak tangga  3V 0 t v4v V 17 CONTOH:

(fungsi ramp dan kompositnya) 2tu(t) V 0 t v V  2(t  2) u(t  2) V v 1 = 2t u(t) V 0 t v1v V v 2 =  2(t  2) u(t  2) V 0 t v2v  4V CONTOH: 18 Fungsi ini tersusun dari dua fungsi ramp 0 t V v 3 = v 1 +v 2 = 2tu(t)  2(t  2) u(t  2) V

v 1 +v 2 +v 3 = 2tu(t)  4(t  2)u(t-2) V 0 t v4v V CONTOH: 0 t v1v V v 1 = 2tu(t) V 19 0 t v2v V v 2 =  2(t  2) u(t  2) V 0 t v4v V v 1 +v 2 = 2tu(t)  2(t  2) u(t  2) V v 3 =  2(t  2) u(t  2) V

20 v 5 = 2tu(t)  2(t  2)u(t  2)  4u(t  5) 0 t v5v V v 6 = 2tu(t)  2(t  2)u(t  2)  4u(t  2) t v6v V CONTOH:

sinus teredam yang dapat diabaikan nilainya pada t > 0,5 detik karena  = 0,1 detik CONTOH: v1v1 v2v2 t [detik] V sinus teredam sinus 21

Suatu sinyal periodik dapat diuraikan atas komponen-komponen penyusunnya. Komponen-komponen penyusun tersebut merupakan sinyal sinus. Kita juga dapat menyatakan sebaliknya, yaitu susunan sinyal-sinyal sinus akan membentuk suatu sinyal periodik. Berikut ini adalah suatu contoh penjumlahan sinyal sinus yang akhirnya membentuk gelombang persegi. Komponen sinus dengan frekuensi paling rendah disebut komponen sinus dasar, sedang komponen sinus dengan frekuensi lebih tinggi disebut komponen-komponen harmonisa. Komponen harmonisa memiliki frekuensi yang merupakan kelipatan bulat dari frekuensi sinus dasar. Jika sinus dasar memiliki frekuensi f 0, maka harmonisa ke-3 mempunyai frekuensi 3f 0, harmonisa ke-7 memiliki frekuensi 7f 0, dst. 22 Spektrum Sinyal

sinus dasar sin dasar + harmonisa 3 sin dasar + harmonisa sin dasar + harmonisa sin dasar + harmonisa 3 s/d 21 Contoh : Susunan sinyal sinus yang membentuk Gelombang Persegi 23

Frekuensi0f0f0 2 f 0 4 f 0 Amplitudo (V) ,5 Sudut fasa  00 90  180  Sinyal: Uraian: Uraian amplitudo setiap komponen membentuk spektrum amplitudo Uraian sudut fasa setiap komponen membentuk spektrum sudut fasa Kedua spektrum tersebut digambarkan sebagai berikut: 24 Berikut ini kita melihat suatu penjumlahan sinyal sinus yang kemudian kita analisis komponen per komponen.

Spektrum Sudut Fasa Frekwensi [ x f o ] Sudut Fasa [ o ] Spektrum Amplitudo Frekwensi [ x f o ] Amplitudo [ V ] Dalam spektrum ini, frekuensi sinyal terendah adalah nol, yaitu komponen arus searah Frekuensi komponen sinus terendah adalah f 0. Frekuensi komponen sinus tertinggi adalah 4f 0. 25

Lebar pita adalah selisih dari frekuensi tertinggi dan terendah Lebar Pita (band width) Frekuensi tertinggi adalah batas frekuensi dimana amplitudo dari harmonisa-harmonisa yang frekuensinya di atas frekuensi ini dapat diabaikan Batas frekuensi terendah adalah frekuensi sinus dasar jika bentuk gelombang yang kita tinjau tidak mengandung komponen searah. Jika mengandung komponen searah maka frekuensi terendah adalah nol 26

Deret Fourier Suatu fungsi periodik dapat dinyatakan sebagai: Komponen searah Amplitudo komponen sinus Sudut Fasa komponen sinus dimana: atau yang disebut sebagai koefisien Fourier 27 Spektrum sinyal periodik merupakan uraian bentuk gelombang sinyal menjadi deret Fourier

Simetri Genap T 0 /2 y(t) A ToTo -T 0 /2 t Simetri Ganjil y(t) t T0T0 A AA Jika sinyal simetris terhadap sumbu-y, banyak koefisien Fourier bernilai nol 28

Contoh: simetri ganjil - Penyearahan Setengah Gelombang T0T0 t v Contoh: simetri genap - Sinyal Segitiga v t T0T0 A 29

Contoh: Uraian Penyearahan Setengah Gelombang Koefisien FourierAmplitudo  [rad] a0a0 0,318 a1a1 00,51,57 b1b1 0,5 a2a2 -0,2120,2120 b2b2 0 a4a4 -0,0420,0420 b4b4 0 a6a6 -0,0180,0180 b6b6 0 Uraian ini dilakukan hanya sampai pada harmonisa ke-6 Dan kita mendapatkan spektrum amplitudo sebagai berikut: harmonisa [V] 30

harmonisa [V] Jika dari spektrum yang hanya sampai harmonisa ke-6 ini kita jumlahkan kembali, kita peroleh bentuk gelombang: Terdapat cacat pada bentuk gelombang hasil penjumlahan v hasil penjumlahan [V] [o][o] Sinus dasar Sampai harmonisa ke berapa kita harus menguraikan suatu bentuk gelombang periodik, tergantung seberapa jauh kita dapat menerima adanya cacat yang mungkin terjadi pada penjumlahan kembali spektrum sinyal 31

Kuliah Terbuka Analisis Rangkaian Listrik di Kawasan Waktu Sesi-3 Sudaryatno Sudirham 32