Relasi

Relasi Hubungan antara anggota-anggota himpunan direpresentasikan dengan menggunakan struktur yang disebut relasi. Untuk mendeskripsikan relasi antara anggota-anggota dua himpunan A dan B, dapat digunakan pasangan terurut dengan anggota pertamanya diambil dari A dan anggota keduanya diambil dari B. Karena ini merupakan relasi antara dua himpunan, maka disebut relasi biner. Definisi. Misalkan A dan B himpunan. Suatu relasi biner dari A ke B adalah subhimpunan dari AB. Untuk relasi biner R berlaku R  AB. Digunakan notasi aRb untuk menyatakan (a,b)R dan aRb untuk menyatakan (a,b)R. Jika (a, b) merupakan anggota R, a dikatakan berelasi dengan b oleh R.

Contoh 1 Misalkan O himpunan orang, A himpunan angkutan kota, dan N relasi yang mendeskripsikan siapa yang menaiki angkot tertentu. O = {Aang, Bida, Charlie, Dina}, A = {Cicaheum-Ledeng (CL), Kelapa-Dago (KD), Stasiun- Sadang Serang (SS)} N = {(Aang, CL), (Bida, CL), (Bida, KD), (Charlie, SS)} Artinya Aang naik Cicaheum-Ledeng, Bida naik Cicaheum-Ledeng dan Kelapa-Dago, Charlie naik Stasiun-Sadang Serang, dan Dina tidak menaiki salah satu dari angkot tersebut.

Fungsi sebagai Relasi Fungsi f dari A ke B memasangkan tepat satu anggota B pada setiap anggota A. Graf dari f adalah himpunan pasangan terurut (a,b) sehingga b = f(a). Karena graf dari f merupakan subhimpunan dari AB, maka graf merupakan relasi dari A ke B. Untuk setiap aA, terdapat tepat satu pasangan terurut di dalam graf dengan a sebagai anggota pertama. Sebaliknya, jika R suatu relasi dari A ke B sehingga setiap anggota A merupakan anggota pertama dari tepat satu pasangan terurut di R, maka dapat didefinisikan suatu fungsi dengan R sebagai grafnya. Ini dilakukan dengan memasangkan pada setiap anggota aA tepat satu bB sehingga (a, b)R. Relasi adalah perumuman dari fungsi.

Relasi pada Himpunan Solusi. R = { (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), Definisi. Suatu relasi pada himpunan A adalah relasi dari A ke A. Relasi pada himpunan A adalah subhimpunan dari AA. Contoh 2. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}. Himpunan terurut manakah yang terdapat dalam relasi R = {(a, b) | a < b} ? Solusi. R = { (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}

Contoh 2… 1 1 R 1 2 3 4 X X X 2 2 X X 3 3 X 4 4

Banyaknya Relasi pada Himpunan Ada berapa relasi berbeda yang dapat didefinisikan pada himpunan A dengan n anggota? Suatu relasi pada A adalah subhimpunan dari AA. Ada berapa anggota AA ? Terdapat n2 anggota AA Ada berapa subhimpunan dari AA? Banyaknya subhimpunan yang dapat dibentuk dari suatu himpunan dengan m anggota adalah 2m. Jadi, ada 2n2 subhimpunan dapat dibentuk dari AA. Sehingga, dapat didefinisikan 2n2 relasi berbeda pada A.

Sifat Relasi Definisi. Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a,a)R untuk setiap anggota aA. Apakah relasi berikut pada {1, 2, 3, 4} refleksif? R = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 3), (4, 4)} Tidak. R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 3), (4, 4)} Ya. R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} Tidak. Definisi. Relasi R pada himpunan A disebut simetris jika (b,a)R setiap kali (a,b)R untuk setiap a,bA. Relasi R pada himpunan A disebut antisimetris jika a = b setiap kali (a,b)R dan (b,a)R.

simetris atau antisimetris? Contoh 3 Apakah relasi berikut pada {1, 2, 3, 4} simetris atau antisimetris? R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 4)} simetris simetris & antisimetris R = {(1, 1)} R = {(1, 3), (3, 2), (2, 1)} antisimetris R = {(4, 4), (3, 3), (1, 4)} antisimetris

Sifat Relasi (2) Definisi. Relasi R pada himpunan A disebut transitif jika setiap kali (a,b)R dan (b,c)R, maka (a,c)R untuk a,b,cA. Apakah relasi berikut pada {1, 2, 3, 4} transitif? R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 1), (3, 3)} Ya. R = {(1, 3), (3, 2), (2, 1)} Tidak. R = {(2, 4), (4, 3), (2, 3), (4, 1)} Tidak.

Menghitung Relasi Ada berapa banyak relasi refleksif yang berbeda yang dapat didefinisikan pada himpunan A yang memuat n anggota? Solusi. Relasi pada A adalah subhimpunan dari AA, yang memuat n2 anggota. Jadi, relasi yang berbeda pada A dapat dibangun dengan memilih subhimpunan yang berbeda dari n2 anggota, sehingga terdapat 2n2 relasi. Namun, suatu relasi refleksif harus memuat n anggota (a,a) untuk setiap aA. Konsekuensinya, kita hanya dapat memilih di antara n2 – n = n(n – 1) anggota untuk membangun relasi refleksif, sehingga terdapat 2n(n – 1) relasi.

Kombinasi Relasi Relasi adalah himpunan, sehingga operasi himpunan dapat diaplikasikan. Jika ada dua relasi R1 dan R2, dan keduanya dari himpunan A ke himpunan B, maka terdapat kombinasi R1  R2, R1  R2, atau R1 – R2 yang merupakan suatu relasi dari A ke B. Definisi. Misalkan R relasi dari A ke B dan S relasi dari B ke C. Komposisi dari R dan S adalah relasi yang memuat himpunan terurut (a,c), dengan aA, cC, di mana terdapat anggota bB sehingga (a,b)R dan (b,c)S. Komposisi dari R dan S dinotasikan oleh SR. Jika relasi R memuat pasangan (a, b) dan relasi S memuat pasangan (b,c), maka SR memuat pasangan (a,c).

Contoh 4 SD = { (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} Misalkan D dan S relasi pada A = {1, 2, 3, 4}. D = {(a, b) | b = 5 - a} “b sama dengan (5 – a)” S = {(a, b) | a < b} “a lebih kecil dari b” D = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} S = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} SD = { (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} D memetakan suatu anggota a ke anggota (5 – a), dan setelah itu S memetakan (5 – a) pada semua anggota yang lebih besar dari (5 – a), yang menghasilkan SD = {(a,b) | b > 5 – a} atau SD = {(a,b) | a + b > 5}.

Rn = RR … R (sebanyak n kali) Kuasa dari Relasi Definisi. Misalkan R relasi pada himpunan A. Kuasa Rn, n = 1, 2, 3, …, didefinisikan secara induktif R1 = R Rn+1 = RnR Dengan kata lain: Rn = RR … R (sebanyak n kali) Teorema. Relasi R pada A transitif jika dan hanya jika Rn  R untuk setiap bilangan bulat positif n.

matriks nol-satu dan graf beraraf (digraf). Representasi Relasi Beberapa cara untuk merepresentasikan relasi: e.g., pasangan terurut. Dua cara: matriks nol-satu dan graf beraraf (digraf). Jika R relasi dari A = {a1, a2, …, am} ke B = {b1, b2, …, bn}, maka R dapat direpresentasikan oleh matriks nol-satu MR = [mij] dengan mij = 1, jika (ai,bj)R, dan mij = 0, jika (ai,bj)R. MR merupakan matriks bujursangkar.

Representasi Relasi dengan Matriks Contoh. Bagaimana merepresentasikan relasi R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2)} sebagai matriks nol-satu ? Solusi. Matriks MR diberikan oleh

Sifat Matriks Representasi Relasi Matriks yang merepresentasikan relasi refleksif? Setiap elemen diagonal dari matriks Mref haruslah 1. Matriks yang merepresentasikan relasi simetris? Matriksnya juga simetri, yaitu MR = (MR)t. matriks simetri, relasi simetris. matriks tak-simetri, relasi tak-simetris.

Operasi pada Matriks Representasi Misalkan relasi R dan S direpresentasikan oleh matriks Apakah matriks yang merepresentasikan RS and RS? Solusi: Matriks-matriks tersebut adalah

cij = (ai1  b1j)  (ai2  b2i)  …  (aik  bkj). Hasil kali Boolean Misalkan A = [aij] matriks nol-satu mk and B = [bij] matriks nol-satu kn . Maka hasil kali Boolean dari A dan B, dinotasikan oleh AB, adalah matriks mn dengan entri ke-(i, j) [cij], dengan cij = (ai1  b1j)  (ai2  b2i)  …  (aik  bkj). cij = 1 jika dan hanya jika paling sedikit satu dari (ain  bnj) = 1 untuk suatu n; selain itu cij = 0.

Matriks komposit Misalkan diasumsikan bahwa matriks nol-satu MA = [aij], MB = [bij] dan MC = [cij] mrepresentasikan matriks A, B, dan C. Untuk MC = MA  MB: cij = 1 jika dan hanya jika paling sedikit satu dari bentuk (ain  bnj) = 1 untuk suatu n; selain itu cij = 0. Dalam bahasa relasi, ini berarti C memuat (xi, zj) jika dan hanya jika terdapat elemen yn sehingga (xi, yn) anggota relasi A dan (yn, zj) anggota relasi B. Jadi, C = B  A (komposisi dari A dan B).

Komposisi dan Komposit Ini memberikan aturan berikut: MBA = MAMB Jadi, matriks yang merepresentasikan komposisi dari relasi A dan B adalah hasil kali Boolean dari matriks yang merepresentasikan A dan B. Secara analog, kita dapat menemukan matriks yang merepresentasikan kuasa dari relasi: MRn = MR[n] (kuasa Boolean ke-n).

Contoh Cari matriks yang merepresentasikan R2, dengan matriks yang merepresentasikan R sbb Solusi: Matriks untuk R2 diberikan oleh

Digraf Definisi: Graf berarah (atau digraf) memuat himpunan titik (atau vertex) V dan himpunan E yang terdiri dari pasangan terurut dari anggota-anggota V yang disebut sisi (atau arc). Vertex a disebut vertex awal dari sisi (a,b), dan vertex b disebut vertex akhir dari sisi ini. Kita dapat menggunakan panah untuk mengilustrasikan digraf.

Representasi Relasi dengan Digraf Contoh: Ilustrasikan digraph dengan V = {a, b, c, d}, E = {(a, b), (a, d), (b, b), (b, d), (c, a), (c, b), (d, b)}. a b d c Sisi dalam bentuk (b, b) disebut loop.

Korespondensi satu-satu antara Relasi dan Digraf Jelas kita dapat merepresentasikan setiap relasi R pada himpunan A dengan menggunakan digraf di mana anggota A adalah vertex dan pasangan (a, b)R sisi. Sebaliknya, setiap digraf dengan vertex V dan sisi E dapat direpresentasikan oleh relasi pada V yang memuat setiap pasangan di E. Korespondesi satu-satu antara relasi dan digraf berarti bahwa setiap pernyataan yang berlaku untuk relasi juga berlaku untuk digraf, dan sebaliknya.