Proses Stokastik

Definisi proses stokastik : adalah suatu keluarga peubah acak Xt atau X(t), di mana t  T dengan T = {1, 2, 3, …} untuk t diskret dan T = {0,} untuk t kontinu. Contoh Pada percobaan pelemparan mata uang berkali – kali X1 adalah peubah acak yang berhubungan dengan pelemparan pertama X2 adalah peubah acak yang berhubungan dengan pelemparan kedua ⋮ Xn adalah peubah acak yang berhubungan dengan pelemparan ke-n X1 sampai Xn ini disebut keluarga peubah acak yang dapat juga disebut proses stokastik.

Contoh Perhatikan banyaknya kelahiran di suatu tempat pada suatu hari. Bila Xt adalah banyaknya kelahiran pada (0,t) dengan t  [0,1440], maka kumpulan dari Xt adalah proses stokastik.

RANTAI MARKOV Definisi Proses Markov adalah proses stokastik yang mempunyai sifat bahwa jika nilai Xt telah diketahui, maka Xs di mana s > t tidak dipengaruhi oleh Xu di mana u < t. Definisi tersebut memiliki arti bahwa fenomena masa datang hanya dipengaruhi oleh fenomena masa sekarang dan tidak dipengaruhi oleh masa lalu. Rantai Markov dengan waktu diskret (Diskret Time Markov Chain) adalah suatu proses markov dengan waktu diskret dan Xt memiliki nilai diskret.

Secara matematis Proses Markov dapat dinyatakan sebagai berikut: P(Xn+1=j| X1 = i1, X2=i2, …, Xn=in) = P(Xn+1 =j|Xn = in) Xn = j artinya rantai markov pada waktu n berada pada state j. Peluang Xn+1 berada pada state j jika Xn berada pada state i dilambangkan dengan

Peluang ini juga dinamakan peluang transisi satu langkah (one-step transition probability) dan secara matematis dapat dinyatakan sebagai berikut P(Xn+1=j|Xn=i). Bila peluang transisi satu langkah bebas terhadap peubah waktu n, maka rantai markov mempunyai peluang transisi yang stasioner atau = Pij

Secara umum, peluang transisi diatur dalam suatu matriks yang dinamakan matriks peluang transisi. Baris ke – i+1 dari P adalah sebaran peluang dari nilai Xn+1 dibawah kondisi Xn= i. Jika banyaknya state terhingga maka P adalah matriks kuadrat terhingga

Nilai Pij memenuhi kondisi Pij  0 untuk semua i dan j dan untuk i = 0, 1, 2, …

Jika matriks peluang transisi P dan sebaran peluang X0 diketahui, maka perilaku dari rantai markov dapat diketahui. Pernyataan ini akan ditunjukkan dalam penjelasan berikut: Misalkan diketahui matriks peluang transisi dan P(X0=i) = pi, maka kita dapat mencari P(X0=i0, X1=i1, X2 = i2, …, Xn=in) Berdasar definisi peluang bersyarat kita dapatkan P(X0=i0, X1=i1, X2 = i2, …, Xn=in) =P(Xn=in| X0=i0, X1=i1, X2 = i2, …, Xn-1=in-1)  P(X0=i0, X1=i1, X2 = i2, …, Xn-1=in-1)

Berdasar definisi rantai markov kita dapatkan P(X0=i0, X1=i1, X2 = i2, …, Xn=in) = P(Xn=in| Xn-1=in-1)  P(X0=i0, X1=i1, X2 = i2, …, Xn-1=in-1) = P(X0=i0, X1=i1, X2 = i2, …, Xn-1=in-1) Melalui induksi akan kita dapatkan P(X0=i0, X1=i1, X2 = i2, …, Xn=in) =

Matriks Peluang Transisi Rantai Markov Analisis dari rantai markov berpusat pada perhitungan peluang kemungkinan realisasi proses yang mungkin. Perhitungan ini berpusat pada matriks peluang transisi n langkah P(n) = . melambangkan peluang proses pindah dari state i ke state j dalam n langkah. Secara formal dapat dinyatakan sebagai =P(Xm+n=j|Xm=i).

Sifat Markov memungkinkan kita menyatakan dalam theorema berikut Theorema Peluang transisi n langkah dari rantai markov memenuhi Di mana Dari teori matriks, maka persamaan dalam teorema ini adalah rumus untuk perkalian matriks, sehingga P(n) = PP(n-1). Dengan mengiterasikan rumus ini kita dapatkan Dengan kata lain, peluang transisi n langkah adalah isi matriks Pn.

THE LONG RUN BEHAVIOR OF MARKOV CHAIN Matriks Peluang Transisi Reguler Misalkan P (matriks peluang transisi) mempunyai sifat jika dipangkatkan k, Pk mempunyai elemen yang semuanya positif, maka P dikatakan reguler Rantai Markov yang reguler memiliki limiting probability distribution  = (0, 1, …, N); di mana j>0 dan =1 dan sebaran ini bebas dari state awal

Untuk matriks peluang transisi yang regular , j = 0, 1, …, N Contoh Rantai Markov regular dengan matriks peluang transisi Mempunyai limiting probability distribution 0 1

Contoh numerik dapat ditunjukkan, misalkan rantai markov memiliki matriks peluang transisi Beberapa pangkat pertama dari P adalah Limiting distribution-nya adalah b/(a+b) = 0.5282 dan a/(a+b) = 0.4718.

Untuk semua matriks peluang transisi dengan state 0, 1, 2, …,N yang memenuhi dua kondisi berikut adalah regular Untuk setiap pasang state i,j, terdapat path (jalur) k1, k2, …, kr di mana Pik1Pk1k2 ... Pkrj>0 Terdapat minimal satu state di mana Pii>0

Theorema Misalkan P adalah matriks peluang transisi suatu rantai markov regular dengan state 0, 1, 2, …, N, maka limiting probability distribution =(0, 1, 2, …,N) adalah solusi unik dari sistem persamaan berikut  = P dan

Contoh Bila diketahui rantai markov dengan matriks peluang transisi 0 1 2 Carilah limiting probability distributionnya!

Jawab =P Sehingga kita memiliki persamaan, yaitu Solusi dari sistem persamaan di samping adalah 0 = 0.077, 1 = 0.625, 2 = 0.298

Sehingga limiting probability distribution-nya adalah 0 1 2