BAB 6. INTEGRASI VEKTOR PENDAHULUAN Pada bab ini terdapat 4 sub-bab yg perlu diperhatikan Ke-4 sub-bab itu merupakan dasar dari Integrasi Vektor Empat sub-bab yg harus dipelajari meliputi : 1. Integral biasa vektor ⇨ integral tak-tentu dan tertentu 2. Integral Garis (Kurva) ⇨ integral suatu lintasan 3. Integral Permukaan ⇨ integral luas bidang datar 4. Integral Volume ⇨ integral isi bidang tertutup

6.1. INTEGRAL BIASA Misalkan R(u) = R1(u) i + R2(u) j + R3(u) k sebuah vektor yg bergantung pd variabel skalar tunggal u, dimana R1(u), R2(u), R3(u) kontinue dalam selang waktu yg ditentukan. Maka ∫ R(u) du = i ∫ R1(u) du + j ∫ R2(u) du + k ∫ R3(u) du disebut integral tak-tentu dari dari R(u). Bila terdapat sebuah vektor S(u) sehingga R(u) = 𝑑 𝑑𝑢 S(u), maka ∫ R(u) du = ∫ 𝑑 𝑑𝑢 S(u) du = S(u) + c dimana c adalah vektor konstan sebarang yg tak bergantung pada u. Integral tertentu antara limit-limit u = a dan u = b, dalam hal ini dapat dituliskan : 𝑎 𝑏 𝐑(𝑢) du = 𝑎 𝑏 . 𝑑 𝑑𝑢 S(u) du = S(u) + c | 𝑏 𝑎 = S(b) – S(a)

Bila A adalah gaya F pada sebuah partikel yg bergerak sepanjang C maka integral garis ini menyatakan usaha yg dilakukan oleh gaya. Jika C adalah kurva tertutup, yg mana dianggap sebagai kurva tertutup sederhana, yaitu kurva yg tak memotong dirinya sendiri, maka integral mengelilingi C sering ditunjukkan oleh : 𝑨·𝑑𝑟 = A1 dx + A2 dy + A3 dz Pada umumnya setiap integral yg dihitung sepanjang kurva disebut integral garis. TEOREMA Bila A = 𝛁φpada semua titik dalam suatu daerah R dari ruang yg didefinisikan oleh : a1⩽ x ⩽ a2 , b1⩽ y ⩽ b2 , c1⩽ z ⩽ c2 dimana φ(x,y,z) berharga tunggal dan memiliki turunan2 yg kontinu dalam R, maka 1. 𝑃1 𝑃2 𝑨 · 𝑑𝑟 , tidak bergantung pada lintasan C dalam R yg meng . hubungkan P1 dan P2

6.2. INTEGRAL GARIS Misalkan r(u) = x(u) i + y(u) j + z(u) k dimana r(u) adalah vektor posisi dari (x,y,z) mendefinisikan sebuah kurva C yg menghubungkan titik2 P1 dan P2 , dimana u = u1 dan u = u2 untuk masing2nya. Anggaplah bahwa C tersusun dari sejumlah berhingga kurva2 dimana untuk masing2nya r(u) memiliki turunan yg kontinu. Bila A(x,y,z) = A1 i + A2 j + A3 k sebuah fungsi vektor dari posisi yg didefinisikan dan kontinu sepanjang C, maka integral dari komponen tangensial A sepanjang C dari P1 ke P2 dituliskan : 𝑃1 𝑃2 𝑨 · 𝑑𝑟 = 𝐶 . 𝑨 ·𝑑𝑟= 𝐶 . A1 dx + A2 dy + A3 dz yg merupakan contoh integral garis.

2. 𝐶 . 𝑨 ·𝑑𝑟= 0 , mengelilingi setiap kurva tertutup dalam R. Dalam hal demikian A disebut medan vektor konservatif dan φ . adalah potensial skalarnya. Sebuah medan vektor A adalah konservatif jika dan hanya jika 𝛁 x A = 0 atau juga ekivalen dengan A = 𝛁φ. Dalam hal ini, A · dr = A1 dx + A2 dy + A3 dz = dφ, suatu diferensial eksak.

6.3. INTEGRAL PERMUKAAN - Bila S sebuah permukaan bersisi-dua, misalkan sisi yg satu dari S di- . pandang sebagai sisi positif, jika S adalah permukaan tertutup ini di- . ambil sebagai sisi luar. - Sebuah normal satuan n pada sebarang titik dari sisi positifnya S . disebut satuan normal positif dalam hal ini arahnya ke atas. - Berkaitan dengan permukaan kecil dS dari permukaan S dapat di- . bayangkan adanya vektor dS yg besarnya sama dengan dS dan arah- . nya sama dengan n. Maka dS = ndS , sehingga diperoleh Integral . Permukaan(luas) : 𝑆 . 𝐀 ·𝐝𝐒 = 𝑆 . 𝐀 ·𝐧 dS ini merupakan integral permukaan yg disebut fluks dari A terhadap S

Integral-integral permukaan (luas) lainnya 𝑆 . φ ·dS 𝑆 . φ 𝐧 ·dS 𝑆 . 𝐀 x dS dimana φ adalah sebuah fungsi skalar. Integral2 demikian dapat di- definisikan dari segi pandangan limit jumlah seperti dalam kalkulus elementer. Notasi 𝑆 . . terkadang dipakai untuk menyatakan integrasi melalui permukaan tertutup S. Untuk agar tidak menimbulkan kebingungan umumnya digunakan notasi 𝑆 . .

Untuk menghitung integral permukaan (luas) akan lebih mudah dengan memproyeksikan S pada salah satu bidang koordinat lalu . menghitung integral lipat-dua dari proyeksinya. Maka integral dari medan vektor A pada permukaan S, sbb : 1. Bila S diproyeksikan pada bidang xy L = 𝑆 . 𝐀 ·𝐧 dS = 𝑆 . 𝐀 ·𝐧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 | 𝑛 · 𝑘 | 2. Bila S diproyeksikan pada bidang xz L = 𝑆 . 𝐀 ·𝐧 dS = 𝑆 . 𝐀 ·𝐧 𝑑𝑥 𝑑𝑧 | 𝑛 · 𝑗 | 3. Bila S diproyeksikan pada bidang yz L = 𝑆 . 𝐀 ·𝐧 dS = 𝑆 . 𝐀 ·𝐧 𝑑𝑦 𝑑𝑧 | 𝑛 · 𝑖 | dimana : . n =φ 𝛁φ | 𝛁 φ | adalah vektor normal permukaan S A = medan vektor permukaan S, φ = medan skalar dan dS = luas S

6.4. INTEGRAL VOLUME Bila terdapat fungsi 3-peubah w = f(x,y,z), maka untuk untuk menentukan integral volume dari w = f(x,y,z) terhadap suatu balok B misalnya, maka bagilah balok B menjadi sejumlah n sub- balok, Bi ; i = 1, 2, 3,…, n.Diperoleh volume sub-balok ∆Vi = ∆xi ∆yi ∆zi sehingga volume balok B : V = 𝑖=1 𝑛 ∆ V Integral volume dari w = f(x,y,z) terhadap B adalah : 𝐵 . 𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 𝑑𝑉 = lim 𝑓 𝑥.𝑦,𝑧 ∆V . syarat integral rangkap-tiga (volume)adalah w kontinu pada B. Bila G adalah benda ruang sembarang, maka untuk menghitung integral volume dari w = f(x.y,z) atas G dengan cara mendefinisi- kan fungsi g(x,y,z) : - g(x,y,z) = f(x,y,z) ; (x,y,z) Є G - g(x,y,z) = 0 ; (x,y,z) Є B – G

Karena B merupakan balok yg melingkupi benda ruang G, maka integral volume : 𝐺 . 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) dV = 𝐺 . 𝑔(𝑥,𝑦,𝑧) dV Secara umum integral rangkap-tiga(volume) dapat dinyatakan . dengan rumus : 𝑉 . 𝑨 𝑑𝑉 dan 𝑉 . φ 𝑑𝑉

Contoh soal Integrasi Vektor 1. Bila R(u) = (u2 – u3) i + 3u2 j – 3u k , tentukan . a. 𝑹 𝑢 𝑑𝑢 b. 0 2 𝑹 𝑢 𝑑𝑢 2. Hitunglah 𝑐 . 𝐀 𝑟 · dr dimana A = 3y i – x j dan C adalah potongan . garis lurus dari (0, 0) ke (2, 1 2 ) ? 3. Hitunglah 𝑠 . 𝐀 · n dS dimana A = 18z i – 12 j + 3y k dan S adalah . bidang 2x + 3y + 6z = 12 yg terletak pada oktan pertama ? 4. Bila B = 2xz i – x j + y2 k , hitunglah 𝑉 . 𝐁 dV , dimana V adalah . ruang yg dibatasi oleh permukaan2 x = 0 , y = 0 , z = 4 dan z = x2 ?

Jawaban contoh soal Integrasi Vektor 1a. R(u) = (u2 – u3) i + 3u2 j – 3u k 𝑹 𝑢 𝑑𝑢 = (u2 – u3) i + 3u2 j – 3u k du . = i ( 1 3 u3 – 1 4 u4) + c1 + j ( 3 3 u3) + c2 – 1 1 2 u2 + c3 . = ( 𝑢3 3 - 𝑢4 4 ) i + u3 j – 1 1 2 u2 k + C 1b. 𝑹 𝑢 𝑑𝑢 = ( 𝑢3 3 - 𝑢4 4 ) i + u3 j – 1 1 2 u2 k | 2 0 . = ( 23 3 - 24 4 ) i + 23 j – 1 1 2 (22) k . = – 1 1 3 i + 8 j – 6 k 2. A = 3y i – x j dan r = x i + y j + z k ⇨ dr = dx i + dy j + dz k 𝑐 . 𝐀 𝑟 · dr = 𝐶 . (3𝑦 𝑖 −𝑥 𝑗) · (dx i + dy j + dz k) persamaan parameter garis lurus (0,0) ke (2, 1 2 ) : . r(x,y,z) = [(0,0) + (2, 1 2 ) – (0,0)] t , dimana 0⩽ t ⩽1 , sehingga :

x = 2t ⇨ dx = 2 dt dan y = 1 2 t ⇨ dy = 1 2 dt Jadi . 𝑐 . 𝐀 𝑟 · dr = 𝐶 . (3𝑦 𝑑𝑥 −𝑥 𝑑𝑦) = 0 1 3( 1 2 t) 2 dt – (2t) 1 2 dt = 0 1 3 𝑡 dt – t dt = 0 1 2 𝑡 dt . = t3 | 1 0 = 13 – 0 = 1 3. A = 18z i – 12 j + 3y k Dari rumus : 𝑆 . 𝐀 ·𝐧 dS = 𝑆 . 𝐀 ·𝐧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 | 𝑛 · 𝑘 | Sebuah vektor yg tegak lurus terhadap permukaan 2x + 3y + 6z = 12 diberikan oleh 𝛁(2x + 3y + 6z) = 2 i + 3 j + 6 k, maka satuan normal terhadap sembarang titik di S : n = 2𝑖+3𝑗+6𝑘 22+32+62 = 2 7 i + 3 7 j + 6 7 k dan n · k = ( 2 7 i + 3 7 j + 6 7 k) · k = 6 7 sedangkan 𝑑𝑥 𝑑𝑦 | 𝑛 · 𝑘 | = 7 6 dx dy

Besar A · n = (18z i – 12 j + 3y k) · ( 2 7 i + 3 7 j + 6 7 k ) = 36𝑧 −36+18𝑦 7 = 36 −12𝑥 7 dimana z = 12 −2𝑥 −3𝑦 6 . Maka : 𝑆 . 𝐀 ·𝐧 dS = 𝑆 . 𝐀 ·𝐧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 | 𝑛 · 𝑘 | = 𝑅 . 36 −12𝑥 7 ( 7 6 dx dy) . = 𝑅 . (6 −2𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 mencari batas integral, 2x + 3y + 6k, dimana z = 0 sehingga y = 12 −2𝑥 3 maka batas bawah y = 0 dan batas atas y = 12 −2𝑥 3 , maka : 𝑆 . 𝐀 ·𝐧 dS = 0 6 . 0 12 −2𝑥 3 6 −2𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 . = 0 6 6𝑦 −2𝑥𝑦 12 −2𝑥 3 0 𝑑𝑥 = 0 6 6 ( 12 −2𝑥 3 ) – 2x ( 12 −2𝑥 3 ) dx = 0 6 (24 - 4x – 8x + 4 3 x2) dx = 0 6 (24 – 12x + 4 3 x2) dx = = 24x – 6x2 + 4 9 x3 6 0 = 24(6) – 6(62) + 4 9 (63) = 24

4. B = 2xz i – x j + y2 k dan x = 0 , y = 0 , z = 4 dan z = x2 Batas2 integral rangkap-tiga : x = 0 → x = 2 dari z = x2 . 4 = x2 → x = 2 y = 0 → y = 6 dan z = x2 → z = 4 Jadi 𝑉 . (2xz i – x j + y2 k ) dz dy dx . = 0 2 . 0 6 . 𝑥2 4 2𝑥𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 i – 0 2 . 0 6 . 𝑥2 4 𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 j + . 0 2 . 0 6 . 𝑥2 4 𝑦2 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 k . = i 0 2 . 0 6 . xz2 4 𝑥2 dy dx – j 0 2 . 0 6 . xz 4 𝑥2 dy dx + k 0 2 . 0 6 . y2z . 4 𝑥2 dy dx = ……………… = 128 i – 24 j + 384 k

Latihan soal/PR 1. Hitunglah integral garis 𝐶 . 𝑥2 −𝑦 𝑑𝑥+ 𝑦2 −𝑥 𝑑𝑦 dengan . lintasan C yg menghubungkan titik (0, 1) ke (1, 2) yg berbentuk : . a. garis lurus dari (0,1) ke (1,2) . b. garis lurus dari (0,1) ke (1,1) lalu ke (1,2) ? 2. Hitung usaha total yg dilakukan untuk menggerakkan sebuah . partikel dalam medan gaya yg diberikan oleh F = 3xy i – 5z j+10x k . sepanjang kurva x = t2 , y = 2t2 , z = t3 dari t = 1 ke t = 2 ? 3. Tentukan hasil 𝑆 . 𝐀 . 𝐧 𝑑𝑆 dimana A = z i + x j – 3y2 k dan S . merupakan permukaan silinder x2 + y2 = 16 yg terdapat dalam . oktan pertama antara z = 0 dan z = 5 ? 4. Bila diketahui φ = x2 + y2 , hitunglah 𝑉 . φ 𝑑𝑉 , dimana V . adalah isi silinder x2 + y2 = 4 dimana 0⩽ t ⩽ 3 ?

BAB.7. MATRIKS (Matrices) Pendahuluan Matriks merupakan sederetan bilangan berbentuk persegi panjang yg diapit oleh sepasang kurung siku dan memenuhi aturan2 tertentu yg diberikan oleh operasi ini. Sebagai contohnya : a. 2 3 7 b. 1 3 1 . 1 – 1 5 2 1 4 . 4 7 6 . Matriks a dapat dipandang sebagai matriks koefisien dari per- . samaan linier : 2x + 3y + 7z = 0 dan x – y + 5z = 0 . bisa juga sebagai matriks lengkap persamaan linier tak- . homogen : 2x + 3y = 7 dan x – y = 5

Matriks b, dapat dianggap baris2nya sebagai koordinat titik (1,3,1) dan (4,7,6). Matriks a11 a12 a13 ….. a1n . a21 a22 a23 …. a2n . ……………………… disebut matriks berordo m x n. . am1 am2 am3 amn bilangan/fungsi aij disebut elemen, contohnya : a12, a23 dst. dalam penulisan subscript ganda, subscript pertama : baris dan . subscript kedua : kolom. Jadi semua elemen pada baris kedua . mempunyai 2 sebagai subscript pertama dan semua elemen pd . kolom kelima mempunyai 5 subscript kedua, dst. Dalam menunjukkan sebuah matriks kadang dipakai sepasang tanda kurung ( ), garis tegak ganda | |, tapi umumnya digunakan kurung siku ganda [ ]

7.1. Matriks Bujur sangkar Bila m = n, (1,1) adalah bujur sangkar dan akan disebut matriks bujur sangkar berordo n atau sebuah matriks bujursangkat n. Dalam suatu matriks bujur sangkar, elemen a11, a22, … amn disebut elemen diagonal. Jumlah elemen2 diagonal matriks bujur sangkar A disebut trace A. Matriks Sama Dua matriks A = [aij] dan B = [bij] disebut sama, A = B, jika dan hanya jika keduanya berordo sama serta setiap elemen yg seletak sama, yaitu jika dan hanya jika : aij = bij dimana i = 1, 2, 3,…m dan j = 1, 2, 3,….n. Jadi dua matriks dikatakan sama jika dan hanya jika yg satu merupakan duplikat yg lainnya. Matriks Nol Matriks yg semua elemennya nol disebut matriks nol. Jadi A = 0

7.2. Jumlah dan Selisih Matriks Jika A = [aij] dan B = [bij] ,dua buah matriks m x n, maka jumlah atau selisih, A ± B didefinisikan sebagai matriks C = [cij], m x n, dengan tiap elemen C adalah jumlah atau selisih elemen A dan elemen B yg seletak. Jadi A ± B = [aij ± bij]. Contoh : A = 2 2 3 B = 2 3 1 . 2 1 4 -1 2 - 3 maka . A + B = 2+2 2+3 3+1 4 5 4 . 2+(– 1) 1+2 4+(– 3) = 1 3 1 A – B = 2 – 2 2 – 3 3 – 1 0 – 1 2 . 2 – (– 1) 1 – 2 4 – (– 3) = 3 – 1 7

Dua matriks berordo sama disebut bersesuaian untuk penjumlah- an atau pengurangan Dua matriks berordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Contohnya : pada matriks a dan b di atas, tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Jumlah dari k buah matris A adalah suatu matriks yg berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yg seletak. Contoh : A = 1 – 2 . 2 – 3 maka . 3 A = A 3 = A + A + A = 1 – 2 + 1 – 2 + 1 – 2 3 – 6 . 2 – 3 2 – 3 2 – 3 = 6 – 9 – 5 A = – 5 10 . – 10 15

Dengan asumsi bahwa matriks A, B dan C adalah bersesuaian untuk penjumlahan, dapat dinyatakan : 1. A + B = B + A Hukum Komutatif 2. A + (B + C) = (A + B) + C Hukum Asosiatif 3. k (A + B) = kA + kB = (A + B) k 4. Terdapat suatu matriks D sedemikian sehingga A + D = B Hukum2 ini merupakan hasil dari hukum aljabar elementer yg mengatur penjumlahan bilangan dan polinom.

7.3. PERKALIAN MATRIKS Bila matriks A = [ a11 a12 a13 …a1m ] yg berordo 1 x m dan matriks B = b11 . b21 . .… . bm1 yg berordo m x 1. Maka hasil kali AB = C [a11 b11 + a12 b21 + a12 b31 + …… + a1m bm1] yg berordo 1 x 1 Perhatikan bahwa operasinya adalah elemen baris dikalikan elemen kolom yg sepadan lalu hasilnya dijumlahkan. Contoh : A = a11 a12 B = b11 b12 . a21 a22 b21 b22 a31 a32 maka A B = a11 a12 b11 b12 . a21 a22 b21 b22 = . a31 a32

. A B = a11 a12 b11 b12 . a21 a22 b21 b22 = . a31 a32 . a11 b11 + a12 b21 a11 b12 + a12 b22 . a21 b11 + a22 b21 a21 b12 + a22 b22 . a31 b11 + a32 b21 a31 b12 + a32 b22 Hasil kali AB terdefinisi atau A bersesuaian terhadap B utk perkalian, hanya jika banyaknya kolom A sama dengan baris B. Bila A bersesuaian terhadap B utk perkalian, maka B tidak perlu bersesuaian terhadap A utk perkalian. Dengan anggapan bahwa A, B, C bersesuaian utk jumlah dan hasil kali yg ditunjukkan, ada beberapa ketentuan : 5. A(B + C) = AB + AC Hukum Distributif 1 6. (A + B) C = AC + BC Hukum Distributif 2 7. A(B+C) = (AB)C Hukum Asosiatif

7.4. Hasil-kali Matriks dengan Partisi Misalkan matriks A = [ aij ] berordo m x p dan B = [ bij ] yg berordo p x n.Dalam pembentukkan hasil-kali AB, matriks A dipartisi atas m matriks masing2berordo 1 x p, dan B atas n matriks berordo p x 1. Partisi lain boleh dipakai, misalnya tetapkan A dan B dipartisi atas matriks2 berperingkat sesuai dengan yg ditunjukkan garis merah. A = 𝑚1x𝑝1 𝑚1x𝑝2 𝑚1x𝑝3 𝑚2x𝑝1 𝑚2x𝑝2 𝑚2x𝑝3 B = p1 xn1 p1xn2 . p2xn1 p2xn2 p3xn1 p3xn3 atau A = 𝐴11 𝐴12 𝐴13 𝐴21 𝐴22 𝐴23 B = B11 B12 . B21 B22 . B31 B32

Dalam sembarang partisi demikian diperlukan bahwa kolom2 A dan baris2 B dipartisi secara eksak dengan cara yg sama; tetapi m1, m2, n1, n2 boleh berupa sembarang bilangan bulat tak-negatif sedemikian sehingga m1 + m2 = m dan n1 + n2 = n. Maka A x B : A x B = 𝐴11𝐵11+𝐴12𝐵21+𝐴13𝐵31 𝐴11𝐵12+𝐴12𝐵22+𝐴13𝐵32 𝐴21𝐵11+𝐴22𝐵21+𝐴23𝐵31 𝐴21𝐵12+𝐴22𝐵22+𝐴23𝐵32 . = 𝐶11 𝐶12 𝐶21 𝐶22 = C

Contoh soal Matriks 1. Bila matriks A = 1 2 1 0 dan B = 3 4 1 2 . . 4 0 2 2 1 5 1 3 . 2 -5 2 1 2 -2 3 -2 . Tentukan a. A + B . b. A – B 2. Jika diberikan matriks P = 1 2 dan Q = -3 -2 . 3 4 1 -5 . 5 6 4 3 . Hitunglah R sedemikian rupa sehingga P + Q – R = 0 ? 3. a. Bila matriks K = [ 2 3 -1 ] dan L = 4 . 5 . 6 . Tentukan K L ?

. 3b. Bila matriks K = [ 2 3 -1 ] dan L = 4 . 5 . 6 . Tentukan LK ? 3c. Bila matriks M = [ 3 2 1 ] dan N = 4 -6 9 6 . 0 -7 10 7 . 5 8 -11 -8 . Tentukan MN ? 3d. Bila matriks O = 2 3 4 dan P = 1 . 1 5 6 2 . 3 . Tentukan OP ? 3e. Bila matriks Q = 1 2 1 dan R = 3 -4 . 4 0 2 1 5 -2 2 Tentukan QR ?

. 4. Bila matriks A = 1 -1 1 dan B = 1 2 3 . -3 2 -1 2 4 6 -2 1 0 1 2 3 Tentukan AB dan BA ? 5a. Bila matriks S = 2 1 0 dan T = 1 1 1 0 . 3 2 0 2 1 1 0 1 0 1 2 3 1 2 Tentukan ST dengan metode parsial ? 5b. Bila matriks U = 1 0 0 1 dan V = 1 0 0 . 0 1 0 2 0 1 0 0 0 1 3 0 0 1 . 3 1 2 Tentukan UV dengan metode parsial ?

Jawaban contoh soal Bab 7. Matriks 1. 1 2 1 0 3 4 1 2 4 6 2 2 . . . 4 0 2 2 + 1 5 1 3 = 5 5 3 5 . . 2 -5 2 1 2 -2 3 -2 4 -7 5 -2 1 2 1 0 3 4 1 2 -2 -2 0 -2 . . . 4 0 2 2 – 1 5 1 3 = 3 -5 1 -1 . . 2 -5 2 1 2 -2 3 -2 0 -3 -1 3 2. P + Q – R = 0 1 2 -3 -2 a b 0 0 . . 3 4 + 1 -5 – c d = 0 0 . . 5 6 4 3 e f 0 0 1 – 3 – a = 0 2 – 2 – b = 0 3 + 1 – c = 0 . a = - 2 b = 0 c = 4 . 4 – 5 – d = 0 5 + 4 – e = 0 6 + 3 – f = 0 . d = - 1 e = 9 f = 9

Jadi R = -2 0 . 4 -1 . 9 9 3a. KL = [ 2 3 -1] 4 . 5 = [ 2(4) + 3(5) +(-1)(6) ] = [ 17 ] . 6 3b. LK = 4 [ 2 3 -1 ] = 4(2) 4(3) 4(-1) = 8 12 -4 . 5 4(2) 5(3) 5(-1) 10 15 -5 . 6 6(2) 6(3) 6(-1) 12 18 -6 3c. MN = [ 3 2 1 ] 4 -6 9 6 . 0 -7 10 7 = . . 5 8 -11 -8 = [3(4) + 2(0) + 1(5) 3(-6) + 2(-7) + 1(8) 3(9) + 2(10) + 1(-11) 3(6) + 2(7)+1(-8) ] . = [ 17 -24 36 18 ]

(-2)(1)+1(2)+(0)(1) (-2)(2)+(1)(4)+(0)(2) (-2)(3)+1(6)+(0)(3) . 3d. OP = 2 3 4 1 2(1) + 3(2) + 4(3) 20 . 1 5 6 2 = 1(1) + 5(2) + 6(3) = 29 . . 3 3e. QR = 1 2 1 3 -4 1(3) + 2(1) + 1(-2) 1(-4) + 2(5) + 1(2) . 4 0 2 1 5 = 4(3) + 0(1) + 2(-2) 4(-4) + 0(5) + 2(2) -2 2 . = 3 8 . 8 -12 4. EF = 1 -1 1 1 2 3 . . -3 2 -1 2 4 6 = -2 1 0 1 2 3 . = 1(1)+(-1)(2)+1(1) 1(2)+(-1)(4)+1(2) 1(3)+(-1)(6)+1(3) . -3(1)+2(2)+(-1)(1) (-3)(2)+2(4)+(-1)(2) (-3)(3)+2(6)+(-1)(3) (-2)(1)+1(2)+(0)(1) (-2)(2)+(1)(4)+(0)(2) (-2)(3)+1(6)+(0)(3)

. = 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 FE = 1 2 3 1 -1 1 . . 2 4 6 -3 2 -1 = 1 2 3 -2 1 0 . = 1(1)+(2)(-3)+3(-2) 1(-1)+(2)(2)+3(1) 1(1)+(2)(-1)+3(0) . 2(1)+4(-3)+(6)(-2) (2)(-1)+4(2)+(6)(1) (2)(1)+4(-1)+(6)(0) (1)(1)+2(-3)+(3)(-2) (1)(-1)+(2)(2)+(3)(1) (1)(1)+2(-1)+(3)(0) . = -11 6 -1 . -22 12 -2 . -11 6 -1 Jadi EF ≠ FE

5a. ST dengan metode Partisi : 2 1 0 1 1 1 0 S11 T11 + S12T21 S11T12 + S12T22 . 3 2 0 2 1 1 0 ⩰ S21T11 + S22T21 S21T12 + S22T22 1 0 1 2 3 1 2 2 1 1 1 1 + 0 [ 2 3 1] 2 1 + 0 [ 2 ] . 3 2 2 1 1 0 3 2 0 . . . [1 0] 1 1 1 + [ 1 ] [2 3 1] [1 0] 0 + [ 1 ] [ 2 ] . 2 1 1 0 4 3 3 + 0 0 0 0 + 0 . 7 5 5 0 0 0 0 0 . . [ 1 1 1 ] + [ 2 3 1 ] [ 0 ] + [ 2 ]

. 4 3 3 0 . . 7 5 5 0 . . 4 3 3 0 . = 7 5 5 0 . [ 3 4 2 ] [ 2 ] 3 4 2 2 5b.. UV dengan metode Partisi 1 0 0 1 1 0 0 . . . 0 1 0 2 0 1 0 0 0 1 3 0 0 1 ⩰ [ U11V11 U12V21 ] . 3 1 2 . 1 0 0 1 0 0 + 1 1 0 0 3 1 2 . 0 1 0 0 1 0 2 [ 3 2 1] = 0 1 0 6 2 4 . 0 0 1 0 0 1 3 0 0 1 9 3 6 . 4 1 2 . 6 3 4 . 9 3 7

SOAL LATIHAN/PR Bab 7. MATRIKS 1. A = 1 2 -3 , B = 3 -1 2 dan C = 4 1 2 . 5 0 2 4 2 5 0 3 2 . . Hitunglah : a. A + B = ? dan A – C = ? . b. D bila A – B + C = 0 ? 2. P = 1 3 2 Q = 1 4 1 0 R = 2 1 -1 -2 . 2 1 -3 2 1 1 1 3 -1 -1 -1 . 4 -3 -1 1 -2 1 2 2 -5 -1 0 . Buktikan bahwa : PQ = PR 3. K = 1 0 0 0 0 0 L = 1 0 0 0 0 0 . 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 . 0 0 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 . 0 0 0 4 0 0 0 0 0 3 0 0 . 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 2 0 . 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 3 . Hitunglah KL dengan metode Parsial ?

BAB 8. JENIS-JENIS MATRIKS Pendahuluan Matriks dapat dibagi atas beberapa jenis, dalam SAP dibedakan atas 8(delapan) jenis Ada delapan jenis matriks yg perlu dipelajari dalam kuliah Matriks yaitu yg akan dijelaskan secara singkat di bawah. . 8.1 MATRIKS SATUAN - Matriks bujur-sangkar A yg elemen2nya aij = 0 utk i ˃ j di- . sebut segitiga atas . - Matriks bujur sangkar A yg elemen2ny aij = 0 utk i < j disebut . segitiga bawah . - Matriks diagonal

. a11 a12 a13 …a1n a11 0 0 … … 0 . . 0 a22 a23 … a2n a21 a22 0 … … 0 . 0 0 a33 ….a3n a31 a32 a33 … … 0 . . … ,,,. …. …… …. …. …. …. …. . . 0 0 0 0 0 ann an1 an2 an3 … ann . . a11 0 0 …. 0 . 0 a22 0 …. 0 . 0 0 a33 …. 0 = matriks diagonal = diag (a11, a22, a33, …..ann ) . …. ….. ….. …. . 0 0 0 ann - Bila dalam matriks diagonal D, a11 = a22 = ….= ann = k, D disebut matriks skalar. - Bila k = 1 matriks itu disebut matriks satuan atau matriks identitas, ditunjukkan oleh In. Misalnya : I2 = 1 0 I3 = 1 0 0 . 0 1 0 1 0 . 0 0 1

8.2 MATRIKS BUJUR SANGKAR KHUSUS Bila A dan B matriks bujur sangkar sedemikian sehingga AB = BA, maka A dan B disebut komutatif atau dapat saling dipertukarkan. Bila A dan B sedemikian sehingga AB = – BA,maka matriks A dan B disebut anti-komutatif Matriks A dengan sifat Ak+1 = A dengan k bulat positif, disebut periodik Bila k bilangan bulat positif terkecil utk mana Ak+1 = A. maka A disebut berperiode k Bila k = 1 sehingga A2 = A maka A disebut idempoten Matriks A utk mana Ap=0 dengan p bilangan bulat positif disebut nilpoten Bila p bilangan bulat positif terkecil utk mana Ap = 0 maka A disebut nilpoten berindex p

8.4 TRANSPOSE MATRIKS Matriks berordo m x m yg diperoleh dari penukaran baris dengan kolom matriks A, m x m disebut tanspose dari A dan dinyatakan oleh A. Misalnya : . A = 1 2 3 ⇨ A’ = 1 4 . 4 5 6 2 5 . . 3 6 Perhatikan bahwa elemen aij pada baris ke i dan kolom ke j dari A berada pada baris ke j dan kolom ke i dari A’. Bila A’ dan B’ masing2 transpose dari A dan B, dan jika k suatu skalar maka : a. (A’)’ = A b. (kA) = kA’ c. (A + B)’ = A’ + B’ d. (AB)’ = B’ · A’

8.3 MATRIKS BALIKAN (Matriks Invers) Bila A dan B matriks bujur sangkar sedemikian sehingga AB = BA = I maka B disebut invers (balikan) dari A, B = A-1 . Matriks B juga mempunyai invers, yaitu A, ditulis A = B-1 Misal : . 1 2 3 6 -2 -3 1 0 0 . 1 3 3 -1 1 0 = 0 1 0 = I . 1 2 4 -1 0 1 0 0 1 Jika A and B matriks bujur sangkar berordo sama dengan invers masing2 A-1 dan B -1 maka (AB)-1 = B-1 A-1 Sebuah matriks sedemikian sehingga A2 = I disebuat involuntari. Jadi matriks involuntari adalah balikannya sendiri. Misalnya matriks satuan.

8.5 MATRIKS SIMETRI Matriks A sedemikian sehingga A’ = A disebut simetri. Jadi suatu matriks bujur sangkar A = [aij ] adalah simetri asalkan aij = aji untuk semua i dan j. Misalnya : . A = 1 2 3 . 2 4 -5 . 3 -5 6 adalah simetri dan juga kA untuk sembarang skalar k. Jika A matriks bujur sangkar berordo n maka A + A’ adalah simetri Matriks bujur sangkar A sedemikian sehingga A’ = – A disebut simetri miring. Jadi suatu matriks bujur sangkar A adalah simetri miring aij = – aji untuk semua nilai i dan j. Dan elemen2 diagonal nol. Misalnya : . A = 0 -2 3 . 2 0 4 . -3 -4 0 adalah simetri miring dan juga kA utk sebarang k.

8.6 KONYUGAT SUATU MATRIKS Tetapkan a dan b bilangan riil, tetapkan i = −1 maka z = a + bi disebut bilangan kompleks. Bilangan2 kompleks a + bi dan a – bi disebut konyugat, masing2 merupakan konyugat dari yg lainnya . Jika z = a + bi konyugatnya dinyatakan oleh 𝑧 = 𝑎 −𝑏𝑖 Bila z1 = a + bi dan z2 = 𝑧1 = 𝑎−𝑏𝑖 = a + bi , yaitu konyugat dari konyugat suatu bilangan kompleks z adalah z sendiri. Jika z1 = a + bi dan z2 = c + di maka : . 1. z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i dan 𝑧1+𝑧2 = (a + c) – (b + d)i = (a – bi) + (c – di) = 𝑧1 + 𝑧2 yaitu, konyugat dari jumlah dua bilangan kompleks adalah . jumlah konyugatnya.

Bilamana matriks A mempunyai elemen bilangan kompleks,matrik 2. z1 · z2 = (ac – bd ) + (ad – bc)i dan 𝑧1·𝑧2 = (ac – bd ) – (ad + bc)i = (a – bi) (c – di) . = 𝑧1 · 𝑧2 yakni, konyugat dari hasil kali dua bilangan kompleks adalah hasil . kali konyugatnya. Bilamana matriks A mempunyai elemen bilangan kompleks,matrik yg diperoleh dari A dengan cara mengganti tiap elemen dengan . Konyugatnya disebut konyugat dari A dan dinyatakan oleh 𝐴 . (A konyugat). Contohnya : Bila A = 1 + 2i i maka 𝐴 = 1 – 2i – i . 3 2 – 3i 3 2 + 3i Bila 𝐴 dan 𝐵 masing2 konyugat dari matriks A dan B serta k sembarang skalar, maka : 1. ( 𝐴 ) = A . 2. ( 𝑘𝐴 ) = 𝑘 𝐴

3. Konyugat jumlah dua matriks adalah jumlah konyugatnya, yaitu ( 𝐴+𝐵 ) = 𝐴 + 𝐵 4. Konyugat hasil kali dua matriks adalah hasil kali dari konyugatnya . dalam urutan yg sama, ( 𝐴𝐵 ) = 𝐴 · 𝐵 5. Transpose dari 𝐴 dinyatakan oleh 𝐴′ (A konyugat transpose) yg ter- . kadang ditulis sebagai A* 6. Transpose dari konyugat A sama dengan konyugat dari transpose A, . yakni ( 𝐴 )’ = ( 𝐴′ ). Contohnya : ( 𝐴 )’= 1 – 2i 3 sedangkan A’ = 1 + 2i 3 dan -i 2 + 3 i i 2 – 3i ( 𝐴′ ) = 1 – 2i 3 = ( 𝐴 )’ - i 2 + 3 i

8.7 MATRIKS HERMITE Matriks bujur sangkar A = [ aij ] sedemikian sehingga 𝐴′ = A disebut hermite. Jadi A Hermite asalkan aij = 𝑎𝑗𝑖 utk semua nilai i dan j. Elemen2 diagonal suatu matriks Hermite adalah bilangan riil. Misal . Matriks A = 1 1 – i 2 1 + i 3 i adalah Hermite. 2 - i 0 Matriks bujur sangkar A = [ aij ] sedemikian sehingga 𝐴′ = - A disebut hermite miring. Jadi A adalah hermit miring asalkan aij = - 𝑎𝑖𝑗 utk semua nilai i dan j. Dan elemen2 diagonal suatu matriks hermit miring adalah nol atau imajiner murni. Misalnya : . A = 1 1 – i 2 . -1 – i 3i i . -2 i 0 adalah matriks hermit miring.

8.8 MATRIKS JUMLAH LANGSUNG Tetapkan A1, A2, …, As masing2 adalah matriks bujur sangkar berordo m1, m2, …,ms. A = A1 0 …. 0 . 0 A2 … 0 = diag (A1, A2, …As) . ………….. . 0 0 As dari matriks diagonal disebut jumlah langsung dari As. Contohnya : tetapkan A1 = 1 2 dan A2 = 1 2 -1 . 3 4 2 0 3 . 4 1 -2 Jumlah langsung A1, A2, A3 adalah diagonal (A1, A2, A3) =

. = 2 0 0 0 0 0 . 0 1 2 0 0 0 . 0 3 4 0 0 0 . 0 0 0 1 2 -1 . 0 0 0 2 0 3 . 0 0 0 4 1 -2

Contoh soal Jenis Matriks 1. Buktikan bahwa matriks A = 2 -2 -4 . -1 3 4 adalah idempoten ? . 1 -2 -3 2. Bila B = 1 1 3 . 5 2 6 buktikan bahwa matriks B nilpoten berordo 3 . -2 -1 -3 3. Diketahui matriks P = 2 3 6 dan Q = 4 5 . 5 4 -1 2 3 . 1 0 . Tentukan : a. PQ . b. P’Q’ (transpose P dikali transpose Q) ? 4. Jika K = 1 – 2i - i dan L = 2 – 2i i . 3 2 + 3i 2 2 – 3i . Hitunglah :

Hitunglah : a. 𝐾 + 𝐿 b. 𝐾 · 𝐿 ? 5. Jika matriks S = 3 1 – i 2 . 1 – 2i 3 2i . 2 -3i 1 . Tentukan 𝑆′ ?

Jawaban contoh soal Jenis2 Matriks 1. 2 -2 -4 2 -2 -4 . . -1 3 4 -1 3 4 = . . 1 -2 -3 1 -2 -3 2(2)+(-2)(-1)+(-4)(1) 2(-2)+(-2)(3)(-4)(-2) 2(-4)+(-2)(4)+(-4)(-3) . -1(2)+3(-1)+4(1) -1(-2)+3(3)+4(-2) -1(-4) +3(4)+4(-3) . 1(2)+(-2)(-1)+(-3)(1) 1(-2+(-2)(3)+(-3)(-2) 1(-4)+(-2)(4)+(-3)(-3) . = 2 -2 -4 . -1 3 4 . 1 -2 -3 2. B2 = B B = 1 1 3 1 1 3 . 5 2 6 5 2 6 . -2 -1 -3 -2 -1 -3 . = 1(1)+1(5)+3(-2) 1(1)+1(2)+3(-1) 1(3)+1(6)+3(-3) . 5(1)+2(5)+6(-2) 5(1)+2(2)+6(-1) 5(3)+2(6)+6(-3) . (-2)(1)+(-1)(5)+(-3)(-2) (-2)(1)+(-1)(2)+(-3)(-1) (-2)(3)+(-1)(6)+(-3)(-3)

. = 0 0 0 . 3 3 9 . -1 -1 -3 B3 = B2 B = 0 0 0 1 1 3 . 3 3 9 5 2 6 . -1 -1 -3 -2 -1 -3 . = 0 0 0 . 3(1)+3(5)+9(2) 3(1)+3(2)+(9)(1) 3(3)+3(6)+9(-3) . (-1)(1)+(-1)(3)+(-3)(-2) (-1)(1)+(-1)(2)+(-3)(-1) (-1)(3)+(-1)(6)+(-3)(-3) = 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 3a. PQ = 2 3 6 4 5 2(4)+3(2)+6(1) 2(5)+3(3)+6(0) . 5 4 -1 2 3 = 5(4)+4(2)+(-1)(1) 5(5)+4(3)+(-1)(0) . 1 0 . = 20 19 . 27 21

3b. P’ Q’ = 2 5 4 2 1 2(4)+5(5) 2(2)+5(3) 2(1)+5(0) . 3 4 5 3 0 = 3(4)+4(5) 3(2)+4(3) 3(1)+4(0) . 6 -1 6(4)+(-1)(5) 6(2)+(-1)(3) 6(1)+(-1)(0) . = 33 19 2 . . 32 18 3 . 19 9 6 4a. 𝐾 = 1 + 2i i 𝐿 = 2 + 2i -i . 3 2 – 3i 2 2 + 3i 𝐾 + 𝐿 = 1 + 2i i + 2 + 2i -i = 3 + 4i 0 . 3 2 – 3i 2 2 + 3i 5 0 𝐾 · 𝐿 = 1 + 2i i 2 + 2i -i = (6 + 6i)+2i (-2 –i)+(3+2i) . 3 2 – 3i 2 2 + 3i (6+6i)+(4-6i) (-5) . = 6+8i 1+i . 10 -5

. 𝑆 = 3 1+i 2 . 1+2i 3 -3i . 2 3i 1 maka 𝑆′ = 3 1+2i 2 . 1+i 3 3i . 2 -3i 1

SOAL LATIHAN/PR JENIS2 MATRIKS 1. Buktikan bahwa matriks P = 2 -3 -5 . -1 4 5 . 1 -3 -4 adalah idempoten ? 2. Bila matriks Q = 1 -2 -6 . . -3 2 9 . . 2 0 -3 buktikan bahwa matriks Q nilpoten ? 3. Buktikan bahwa matriks A = 1 2 3 . 2 5 7 . -2 -4 -5 adalah balikan (invers) . dari matriks B = 3 -2 -1 . -4 1 -1 . 2 0 1 4. Buktikan bahwa matriks D, adalah matriks Hermite ?

. D = 1 1+i 2+3i . 1- i 2 -i . 2-3i i 0

BAB 9. DETERMINAN MATRIKS BUJUR SANGKAR