Pengantar Teori Peluang Analisis combinatorial

Materi Analisis combinatorial Aksioma Peluang Peluang Bersyarat Peubah Acak Diskret Peubah Acak Continu Peubah Acak yang Menyebar Bersama Nilai Harapan Topik Khusus

Referensi A first Course in Probability Sheldon Ross Macmillan Publishing Company

Penilaian UAS (30%) UTS (30%) Kuis (10%) Tugas (20%) Responsi (10%)

ANALISIS KOMBINATORIAL

Kaidah Dasar menghitung Dalam kombinatorial ada dua kaidah dasar yang digunakan untuk menghitung, yaitu kaidah penjumlahan (rule of sum) dan kaidah perkalian (rule of product) Kaidah Penjumlahan (rule of sum) Bila percobaan 1 mempunyai m hasil percobaan yang mungkin terjadi(atau memiliki sebanyak m kemungkinan jawaban) dan percobaan 2 mempunyai n hasil percobaan yang mungkin (atau memiliki sebanyak n kemungkinan jawaban), maka bila hanya salah satu dari dua percobaan itu saja yang dilakukan (percobaan 1 “atau” percobaan 2), maka terdapat m+n hasil jawaban (atau memiliki m +n kemungkinan jawaban)

Contoh1: Seorang mahasiswa akan memilih satu mata kuliah yang ditawarkan pagi dan sore. Untuk pagi ada 7 matakuliah dan sore ada 5 matakuliah yang ditawarkan. Maka mahasiswa tadi mempunyai 7+5 pilihan untuk memilih satu matakuliah tersebut. 2.Kaidah Perkalian (rule of product) Bila percobaan 1 mempunyai m hasil percobaan yang mungkin terjadi(atau memiliki sebanyak m kemungkinan jawaban) dan percobaan 2 mempunyai n hasil percobaan yang mungkin (atau memiliki sebanyak n kemungkinan jawaban), maka bila kedua percobaan1 “dan” percobaan 2 dilakukan , maka terdapat mxn hasil jawaban (atau memiliki m xn kemungkinan jawaban

Pengertian Permutasi suatu susunan data dengan memperhatikan /membedakan urutan. Permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi aturan perkalian. Rumus: Permutasi dari n objek seluruhnya: nPn = n! = n. (n-1).(n-2)…2.1 = n.(n-1)! Permutasi sebanyak r dari n objek: n! nPr = (n-r)! Permutasi keliling (circular permutation) Sejumlah n objek yang berbeda dapat disusun secara teratur dalam sebuah lingkaran dalam (n-1)! cara

4. Permutasi dari n objek yang tidak seluruhnya dapat dibedakan: n n! = n1,n2,n3,…,nk n1!n2!n3!...nk! Contoh soal: Ada berapa cara 3 buku dapat diurutkan ? 3! = 3.2.1 = 6 cara 2. Ada berapa cara 2 dari 4 buku dapat disusun ? 4! 4! 4.3.2.1 4P2 = = = = 4.3 = 12 cara (4-2)! 2! 2.1

3. 4 orang mahasiswa melakukan diskusi dengan membentuk sebuah lingkaran, ada berapa cara urutan dari 4 orang tadi? Jawab : (4-1)! = 3.2.1 = 6 cara 4. Dalam berapa cara kata “diskrit” dapat diurutkan? jawab: 7! 7.6.5.4.3.2! = = 2520 cara 1!2!1!1!1!1! 2!

2. Kombinasi Cara pengambilan r benda dari sekumpulan n benda. n! nCr = r!(n-r)! Contoh: Ada berapa cara akan dipilih 2 orang dari 4 orang siswa? Jawab: 4! 4.3.2! 12 4C2 = = = = 6 2!(4-2)! 2! 2! 2

Latihan: Empat buah ujian dilakukan dalam periode enam hari. Berapa banyak pengaturan jadwal yang dapat dilakukan sehingga tidak ada dua ujian atau lebih yang dilakukan pada hari yang sama. Berapakah jumlah kemungkinan membentuk 3 angka dari 5 angka berikut: 1,2,3,4,5 jika: i. tidak boleh ada pengulangan angka ii. Boleh ada pengulangan angka.

3. Suatu panitia akan dibentuk dengan jumlah 5 orang 3. Suatu panitia akan dibentuk dengan jumlah 5 orang. Berapa carakah pembentukan panitia tersebut dapat dilakukan jika calon anggota terdiri dari 4 orang pria dan 3 orang wanita dan panitia harus a. terbentuk tanpa persyaratan lain b. terdiri 3 pria dan 2 wanita c. terdiri 2 pria dan 3 wanita 4. Terdapat 4 macam buku statistik, 3 macam buku pemrograman dan 2 buku hardware. Ada berapa cara menyusun buku-buku tsb? 5. Dari 6 orang pendiri suatu Partai, akan dipilih Ketua, Wakil Ketua, Sekretaris dan Bendahara. Ada berapa macam kemungkinan susunan struktur Pengurus Partai tersebut?

6. Enam orang duduk mengelilingi meja bundar 6. Enam orang duduk mengelilingi meja bundar. Ada berapa kemungkinan urutan keenam orang tersebut? 7. Tentukan permutasi dari huruf-huruf “STATISTIK”

Binomial Theorem Contoh : Jabarkan (x+y)3

Multinomial Theorema Jumlah yang dimaksud adalah jumlah semua nonnegative integer-valued vector sedemikian hingga Contoh: Jabarkan

Multinomial Coeffisient Jika n1 + n2 + … + nr = n, dan didefinisikan Maka merepresentasikan banyaknya pembagian n objek yang berbeda ke r grup yang berbeda di mana masing masing grup berukuran n1, n2, …, nr

Pembagian Bola dalam Kantong Terdapat kemungkinan hasil bila n bola yang berbeda dibagi ke dalam r kantong yang berbeda Terdapat positive integer-valued vector (x1, x2,…, xr) yang berbeda yang memenuhi x1 + x2 +…+ xr=n, xi>0 i=1,…,r Terdapat nonnegative integer-valued vector (x1, x2,…, xr) yang berbeda yang memenuhi x1 + x2 +…+ xr=n

Contoh Terdapat 10 anak yang akan dibagi ke dalam 3 tim yaitu tim A, B, dan C. Tim A terdiri dari 3 orang, tim B 3 orang dan tim C 4 orang. Ada berapa pembagian yang mungkin? Terdapat berapa banyak solusi nonnegative integer-valued x1+x2 = 3 yang berbeda Seorang investor memiliki uang 20 ribu dolar yang akan diinvestasikan ke 4 kemungkinan investasi. Setiap investasi harus dalam ribuan dolar. Jika seluruh uangnya akan diinvestasikan, berapa banyak strategi investasi yang mungkin? Bagaimana jika tidak harus semua uangnya diinvestasikan

4. Terdapat berapa banyak cara jika 7 hadiah akan dibagikan 3 anak jika anak tertua mendapat 3 hadiah dan yang lain masing – masing 2 hadiah 5. Jika 8 papan tulis yang sama akan dibagikan ke 4 sekolah, berapa pembagian yang mungkin?Bagaimana jika setiap sekolah minimal menerima 1 papan tulis?

6. Jika 8 guru baru akan dibagikan ke 4 sekolah, berapa pembagian yang mungkin? Bagaimana jika setiap sekolah masing – masing menerima 2 guru