BAB 7. HUBUNGAN NON LINEAR

Pemahaman akan fungsi-fungsi non linear dalam mempelajari ilmu ekonomi tidak kalah pentingnya dengan pemahaman akan fungsi linear. Meskipun banyak hubungan antarvariabel ekonomi cukup dapat diterangkan dengan model non linear, namun tidak sedikit pula yang lebih realistik dan rasional ditelaah dengan model non linear. Bahkan sebagian dari model ekonomi linear yang ada sesungguhnya merupakan penyederhanaan dari hubungan-hubungan yang non linear, merupakan linearisasi dari model non linear

Ada empat macam bentuk fungsi non- linear, yaitu: Fungsi Kuadrat Fungsi Kubik Fungsi eksponensial Fungsi logaritmik

Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat atau fungsi berderajat dua adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua. Bentuk umumnya adalah : y = a + bx + cx2 ; c  0

Identifikasi persamaan kuadrat Bentuk lebih umum persamaan kuadrat ialah: : ax2 + pxy + by2 + cx + dy + e = 0 (setidak-tidaknya salah satu a atau b tidak sama dengan nol) apabila p = 0 maka persamaan menjadi : ax2 + by2 + cx + dy + e = 0

b. Lingkaran Bentuk umum persamaan lingkaran adalah: ax2 + by2 + cx + dy + e = 0 Bentuk baku rumus lingkaran, yaitu : (x – i)2 + (y – j)2 = r2

c. Ellips. Bentuk umum persamaan elips : ax2 + by2 + cx + dy + e = 0 Bentuk baku rumus elips, yaitu : (x - i)2 (y – j)2 --------- + --------- = 1 r12 r22

d. Hiperbola Bentuk umum persamaan hiperbola : ax2 + by2 + cx + dy + e = 0 Bentuk baku rumus hiperbola : (x - i)2 (y – j)2 --------- - --------- = 1 atau m2 n2 (y - j)2 (x – i)2 --------- - --------- = 1 n2 m2

Untuk menentukan asimtot gunakan rumus : x - i y – j y – j x - i ----- =  ----- atau ----- =  ----- m n n m e. Parabola Bentuk umum persamaan parabola adalah: jika sumbu simetri sejajar sumbu vertikal y = ax2 + bx + c

Jika sumbu simetri sejajar sumbu horizontal : X = ay2 + by + c Titik ekstrim parabola (i, j) adalah: b b2 – 4ac --- , --------- 2a -4a

2. Fungsi Kubik Bentuk umum : y = a + bx + cx2 + dx3 d  0

a. Permintaan, Penawaran dan Keseimbangan Pasar. 3. Penerapan Ekonomi a. Permintaan, Penawaran dan Keseimbangan Pasar. Keseimbangan pasar ditunjukkan oleh kesamaan Qd = Qs Qd : jumlah permintaan Qs : Jumlah penawaran E : titik keseimbangan Pe : harga keseimbangan Qe : jumlah keseimbangan P Qs Pe E Qd Q Qe Gambar 7.1

Analisis pengaruh pajak dan subsidi terhadap keseimbangan pasar juga sama seperti pada kondisi linear. Pajak atau subsidi yang menyebabkan harga jual yang ditawarkan berubah, tercermin oleh berubahnya persamaan penawaran, sehingga harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasarpun berubah. Pajak menyebabkan harga keseimbangan menjadi lebih tinggi dan jumlah keseimbangan menjadi lebih sedikit. Sebaliknya, subsidi menyebabkan harga keseimbangan menjadi lebih rendah dan jumlah keseimbangan menjadi lebih banyak.

b. Fungsi Biaya Selain pengertian biaya tetap, biaya variabel dan biaya total, dalam konsep biaya dikenal pula biaya rata-rata (average cost) dan biaya marjinal (marginal cost). Biaya rata-rata adalah biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan tiap unit produk atau keluaran, merupakan hasil bagi biaya total terhadap jumlah keluaran yang dihasilkan. Adapun biaya marjinal ialah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit tambahan produk.

Biaya tetap : FC = k (k ; konstanta) Biaya variabel : VC = f(Q). Biaya total : C = FC + VC = k + f (Q) = c (Q). FC Biaya tetap rata-rata : AFC = ---- Q VC Biaya variabel rata-rata : AVC = ---- Biaya rata-rata : AC = C/Q = AFC + AVC Biaya Marjinal : ∆C/∆ Q

Bentuk non linear dari fungsi biaya pada umumnya berupa fungsi kuadrat parabolik dan fungsi kubik. Hubungan antara biaya total dan bagian-bagiannya secara grafik dapat dilihat sebagai berikut: a. Biaya total merupakan fungsi kuadrat parabolik . Andaikan C = aQ2 – bQ + c maka : AC = C/Q = aQ – b + c/Q AVC = VC/Q = aQ – b AFC = FC/Q = c/Q

C C C AC AFC c FC AVC VC Q Q -b (b) (a) Gambar 7.2

Karena C dan VC berbentuk parabola maka, dengan memanfaatkan rumus titk ekstrim parabola, dapat dihitung tingkat produksi (Q) pada C minimum dan VC minimum serta besarnya C minimum dan VC minimumnya. C dan VC yang berbentuk parabola membawa konsekuensi AC dan AVC berbentuk linear; sementara AFC asimtotik terhadap kedua sumbu C dan sumbu Q, sebab FC linear. Perhatikan gambar a, C minimum ≠ VC minimum. Hanya jika FC  c = 0, maka C minimum = VC minimum. Selanjutnya perhatikan gambar b, AC = AFC pada posisi Q dimana AVC = 0.

Biaya total merupakan fungsi kubik Andaikan C = aQ3 – bQ2 + cQ + d Maka : AC = c/Q = aQ2 – bQ + c + d/Q AVC = VC/Q = aQ2 – bQ + c AFC = FC/Q = d/Q Biaya total berfungsi kubik seperti di atas selalu membuahkan AC dan AVC berbentuk parabola terbuka keatas. Sedangkan AFC tetap asimtotik terhadap sumbu C dan sumbu Q, sebab FC berupa konstanta yang kurvanya sejajar sumbu Q. .

c. Fungsi Penerimaan Bentuk fungsi penerimaan total (total revenue, R) yang non linear pada umumnya berupa sebuah persamaan parabola terbuka kebawah. Ini merupakan bentuk fungsi penerimaan yang lazim dihadapi oleh seorang produsen yang beroperasi di pasar monopoli. Sedangkan fungsi penerimaan total yang linear merupakan fungsi penerimaan yang dihadapi oleh seorang produsen yang beroperasi di pasar persaingan sempurna.

Penerimaan total merupakan fungsi dari jumlah barang, juga merupakan hasil kali jumlah barang dengan harga barang per unit. Seperti halnya dalam konsep biaya, dalam konsep penerimaanpun dikenal pengertian rata-rata dan marjinal. Penerimaan rata-rata (average revenue, AR) ialah penerimaan yang diperoleh per unit barang, merupakan hasil bagi penerimaan total terhadap jumlah barang. Penerimaan marjinal (marjinal revenue, MR) ialah penerimaan tambahan yang diperoleh dari setiap tambahan satu unit barang yang dihasilkan atau terjual.

Penerimaan total : R = Q x P = f (Q) Penerimaan rata-rata : AR = ---- Q  R Penerimaan Marjinal : MR = -----  Q Mengingat R = Q x P atau P = R/Q, sedangkan AR = R/Q, berarti penerimaan rata-rata (AR) tak lain adalah harga barang per unit (P). Secara grafik, kurva AR adalah juga kurva permintaan dalam bentuk P = g (Q).

d. Keuntungan, Kerugian dan Pulang Pokok Tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan, kerugian dan keadaan pulang pokok secara grafik dapat dilihat sebagai berikut: C = c (Q) C, R TPP TPP : Titik Pulang Pokok (Break Even Poin) R = r(Q) TPP Gambar 7.3 Q Q1 Q2 Q3 Q4

Tingkat produksi Q1 dan Q2 mencerminkan keadaan pulang pokok, sebab penerimaan total sama dengan pengeluaran (biaya) total, R = C. Area di sebelah kiri Q1 dan di sebelah kanan Q4 mencerminkan keadaan rugi, sebab penerimaan total lebih kecil dari pengeluaran total, R < C. Sedangkan area diantara Q1 dan Q4 mencerminkan keadaan untung, sebab penerimaan total lebih besar daripada pengeluaran total, R > C. Tingkat produksi Q3 mencerminkan tingkat produksi yang memberikan penerimaan total maksimum.

Besar kecilnya keuntungan dicerminkan oleh besar kecilnya selisih positif antara R dan C. Secara grafik, hal ini ditunjukkan oleh jarak antara kurva R dan kurva C. Semakin lebar jarak positif tersebut semakin besar keuntungan yang diperoleh. Jarak positif terlebar antara kurva R dan kurva C terjadi pada posisi dimana lereng (slope) dari kedua kurva itu sama besar, dan ini mencerminkan keuntungan terbesar atau maksimum. Pada gambar di atas lihat Q2, lereng kurva R dan C sama besar.

Satu hal yang penting dicatat ialah bahwa jarak positif terlebar antara kurva R dan kurva C tidak selalu terjadi pada saat kurva C mencapai maksimum. Dalam gambar di atas, R mencapai maksimum pada Q3, sedangkan jarak positif terlebar anatara R dan C terjadi pada Q2. Ini berarti keuntungan maksimum tidak selalu terjadi pada saat R maksimum atau C minimum. Dengan perkataan lain, R maksimum atau C minimum tidak selalu menghasilkan keuntungan maksimum. (contoh kasus 26)

e. Fungsi Utilitas Fungsi utilitas menjelaskan besarnya utilitas (kepuasan, kegunaan) yang diperoleh seseorang dari mengkonsumsi suatu barang atau jasa. Pada umumnya semakin banyak jumlah suatu barang dikonsumsi, semakin besar utilitas yang diperoleh, kemudian mencapai puncaknya (titik jenuh) pada jumlah konsumsi tertentu, sesudah itu berkurang atau bahkan menjadi negatif bila barang yang dikonsumsi terus menerus bertambah.

Utilitas total merupakan fungsi dari jumlah barang yang dikonsumsi Utilitas total merupakan fungsi dari jumlah barang yang dikonsumsi. Persamaan utilitas total (Total utility, U) dari mengkonsumsi suatu jenis barang berupa fungsi kuadrat parabolik, dengan kurva berbentuk parabola terbuka ke bawah. Utilitas marjinal (marginal utility, MU) ialah utilitas tambahan yang diperoleh dari setiap tambahan satu unit barang yang dikonsumsi. Utilitas total mencapai puncaknya ketika utilitas marjinal nol, dan berkurang ketika utilitas marjinal negatif.

Utilitas Total U = f(Q) Utilitas Marjinal MU = U/Q Gambar 7.4 U MU Gambar 7.4

f. Fungsi Produksi Bentuk fungsi produk total (total product, P) yang non linear pada umumnya berupa sebuah persamaan kubik yang mempunyai titik belok dan sebuah titik puncak. Produk total merupakan fungsi dari jumlah masukan (input, faktor produksi) yang digunakan. Dalam konsep produksi juga dikenal pengertian rata-rata dan marjinal. Produk rata-rata (average product, AP) ialah jumlah keluaran atau produk yang dihasilkan dari setiap unit masukan yang digunakan, merupakan hasil bagi produk total terhadap jumlah masukan.

Sedangkan produk marjinal (marginal product, MP) ialah produk tambahan yang dihasilkan dari setiap tambahan satu unit masukan yang digunakan. Jika dalam suatu kegiatan produksi dianggap hanya terdapat satu masukan variabel, katakanlah X, sementara masukan-masukan lainnya merupakan masukan tetap, maka fungsi produksinya dapat dinyatakan dengan notasi P = f(X) Produk total : P = f(X) Produk rata-rata : AP = P/X Produk marjinal : MP = P/X

Secara grafik, kurva produk total P mencapai puncaknya tepat ketika kurva produk marjinal MP = 0. Sedangkan MP mencapai puncaknya tepat pada posisi titik belok kurva P. Di samping itu, kurva MP memotong kurva AP pada posisi maksimum AP. P P = f(X) Titik belok AP x MP Gambar 7.5

g. Kurva Transformasi Produk Kurva transformasi produk (product transforma-tion curva) ialah kurva yang menunjukkan pilihan kombinasi jumlah produksi dua macam barang dengan menggunakan masukan yang sama sejumlah tertentu. Kurva ini dikenal juga dengan sebutan kurva kemungkinan produksi (production possibility curve). Kurva transformasi produk yang kuadratik dapat berupa potongan-potongan lingkaran, elips, hiperbola maupun potongan parabola.

Kurva transformasi produk berupa potongan lingkaran y Gambar 7.6 y x x Kurva transformasi produk berupa potongan lingkaran Kurva transformasi produk berupa potongan elips

Pada gambar di atas, x dan y masing-masing melambangkan jumlah produk X dan jumlah produk Y. Karena kurva transformasi produk mencerminkan pilihan kombinasi produksi, maka penambahan jumlah produk yang satu akan mengurangi jumlah produk yang lain (Contoh 28) h. Model Distribusi Pendapatan Pareto Menurut Vilfredo Pareto, jumlah penduduk dari suatu populasi a yang berpendapatan melebihi x adalah : N = a/xb

Dimana b merupakan suatu parameter atau besaran populasi tertentu, pada umumnya berkisar 1,5 kecuali ditentukan lain. Model distribusi pendapatan versi pareto ini mencerminkan sebuah hiperbola samasisi untuk rentang 0 < N  a dan 0 < x < pendapatan maksimum dalam populasi. Karena model ini diterapkan secara universal, variabel pendapatan x dinyatakan dalam mata uang yang umum digunakan oleh negara-negara di seluruh dunia, yakni dollar Amerika Serikat (US $). Dengan demikian untuk diterapkan pada kasus di Indonesia, pendapatan dalam rupiah harus di konversikan dulu ke dalam satua US $.

Gambar 7.7 N a : populasi total b : parameter populasi x : batas pendapatan tertentu N : bagian dari populasi yang berpendapatan melebihi x Jumlah penduduk berpendapatan melebihi x x Gambar 7.7

4. Fungsi Eksponensial Fungsi eksponensial ialah fungsi dari suatu konstanta berpangkat variabel bebas. Bentuk fungsi eksponensial yang paling sederhana adalah: n > 0 Y = nx Kurvanya terletak di kuadran-kuadran atas (kuadran I dan Kuadran II) pada sistem koordinat. Dalam hal 0 < n < 1, kurva dari y = nx bergerak menurun dari kiri ke kanan (monotonically decreasing), serta asimtotik terhadap sumbu x dan memotong sumbu y pada koordinat (0, 1).

Dalam hal n > 1, kurva dari y = nx bergerak menaik dari kiri ke kanan (monotonically increasing), juga asimtotik terhadap sumbu x dan memotong sumbu y pada koordinat (0, 1). Jika n = 1, kurvanya akan berupa garis lurus sejajar sumbu x. y Kurva eksponensial y = nx y n = 0,3 n = 9 n = 0,6 n = 7 n = 0,8 n = 2 (0, 1) (0,1) x x (b) n > 1 (a) 0 ,n<1 Gambar 7.8

Bentuk fungsi eksponensial yang lebih umum adalah: y = nekx + c n  0 k, c : konstanta Kurvanya asimtotik terhadap garis y = c. Mengingat bentuk ini mengandung bilangan e, maka pengetahuan tentang konsep logaritma, khususnya logaritma Napier yang berbasis e, sangat diperlukan untuk menyelesaikan persamaan eksponensial semacam ini. Kurva dari y = nekx + C untuk nilai-nilai n, k dan c tertentu dapat dilihat pada gambar berikut.

Gambar 7.9 Kurva eksponensial y = nekx + c untuk n > 0 y y y = c (a) Jika k > 0, c  0 (b) Jika k < 0, c  0 y y x x y = c y = c (d) k < 0, c  0, |c| < n (c) k > 0, c  0, |c| < n Gambar 7.9

Kurva eksponensial y = nekx + c untuk n > 0 y = c y = c x x (e) k > 0, c  0 |c| > n (f) k < 0, c  0 |c| > n Kurva eksponensial y = nekx + c untuk n < 0 y y x x y = c y = c (b) k < 0, c > 0, c < |n| (a) k > 0, c > 0, c < |n|

Gambar 7.10 Kurva eksponensial y = nekx + c untuk n < 0 y y y = c x x (c) k > 0, c > 0 c > |n| (d) k < 0, c > 0 c > |n| y y x x y = c y = c (e) k < 0, c  0 (e) k > 0, c  0, Gambar 7.10

Titik potong kurva eksponensial y = nekx + c pada sumbu x ialah (1/k ln |c/n|, 0), sedangkan pada sumbu y ialah (0, n + c). Hal ini berlaku umum untuk ke 12 panel pada gambar di atas. e. Fungsi Logaritmik Fungsi logaritmik merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial, variabel bebasnya merupakan bilangan logaritma. Bentuk fungsi logaritmik yang paling sederhana adalah : y = nlog x n > 0 dan n  1

Kurvanya terletak di kuadran-kuadran kanan (kuadran I dan kuadran IV) pada sistem koordinat. Dalam hal 0 < n < 1, kurva dari y = nlog x bergerak menurun dari kiri ke kanan, asimtotik terhadap sumbu y dan memotong sumbu x pada (1, 0). Dalam hal n > 1, kurvanya bergerak menaik dari kiri ke kanan, juga asimtotik terhadap sumbu y dan memotong sumbu x pada (1, 0). Besar kecilnya nilai n menentukan kelengkungan kurvanya. Perhatikan gambar 7.11 di sebelah. Karena y = nx dan y = nlog x merupakan fungsi-fungsi yang berkebalikan, maka dengan saling menukarkan sumbu-sumbu koordinat, gambar dari salah satu fungsi tersebut merupakan gambar dari fungsi lainnya.

Gambar 7.11 y y n = 2 n = 7 n = 9 (1,0) x x (1,0) n = 0,3 n = 0,6 (1,0) n = 0,3 n = 0,6 n = 0,8 (a) n>1 (a) 0 <n<1 Gambar 7.11

Bentuk fungsi logaritmik yang lebih umum adalah: Y = a ln(1 + x) + b x > -1 Kurvanya terletak di sebelah kanan dan asimtotik terhadap garis x = -1. Untuk nilai-nilai a dan b tertentu, kurva dari fungsi logaritmik ini dapat dilihat pada gambar 7.12. Perpotongannya dengan masing-masing sumbu dapat dicari sebagai berikut :

Perpotongan dengan sumbu x y = 0 Dengan demikian, e-(b/a) – 1 > 0 jika a > 0, b > 0 (gambar 7-12a) atau a < 0, b < 0 (gambar 7-12d) e-(b/a) – 1 < 0 Jika a > 0, b < 0 (gambar 7-12c) atau a < 0, b > 0 (gambar 7-12b)

Perpotongan dengan sumbu y x = 0 y = a ln ( 1 + 0) + b = a ln 1 + b = a (0) + b = b Kurva logaritmik y = a ln ( 1 + x) + b y y x = -1 0, b x = -1 0, b (e-b/a – 1, 0) x x (e-b/a – 1, 0) a. a > 0, b > 0 b. a < 0, b > 0 Gambar 7-12

Gambar 7-12 y y x = -1 x = -1 (e-b/a – 1, 0) x (e-b/a – 1, 0) 0, b x (e-b/a – 1, 0) 0, b 0, b c. a > 0, b < 0 d. a < 0, b <> 0 x Gambar 7-12

f. Penerapan Ekonomi Banyak model-model bisnis dan ekonomi sangat relevan ditelaah dengan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik, khususnya model-model yang berkenaan dengan aspek pertumbuhan. Permintaan, penawaran, biaya dan penerimaan selain berkecenderungan kuadratik dan kubik, dapat pula berkecenderungan eksponensial dan logaritmik.

1. Model Bunga Majemuk Model bunga majemuk : Fn = P (1 + i/m)mn Dimana : Fn = jumlah pinjaman/tabungan setelah n tahun. P = jumlahnya sekarang (tahun ke-0) i = tingkat bunga per tahun m = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun, n = jumlah tahun.

Model bunga majemuk ini tak lain merupakan bentuk fungsi eksponensial, dengan Fn sebagai variabel terikat (dependent variable) dan n sebagai variabel bebas (independent variable). Dengan demikian prinsip-prinsip penyelesaian persamaan eksponensial relevan diterapkan atas model ini. Jika m sangat besar, bunga diperhitungkan sangat sering (terus menerus) dalam setahun, jumlah dimasa datang tersebut dapat dirumuskan menjadi Fn  Pein*) e  2,72

Bentuk ini dinamakan model bunga majemuk sinambung (continuous compound interest). Bunga majemuk sinambung dalam kasus pinjam-meminjam seringkali dipraktekkan oleh para pelepas uang atau “lintah darat”, yang kadang-kadang menetapkan atau memperhitungkan bunga atas uang yang dipinjamkannya secara harian (m = 365). Oleh karenanya model ini dapat disebut “model lintah darat”.