Matematika Komputasi Counting

Justanintermezzo Pengelola Pantai Hanakapiai, Hawaii memperingatkan pengunjung agar tidak mendekati kawasan air, dan menegaskan peringatan tersebut dengan membuat menyusun tally-marks yang berfungsi menghitung secara diskrit jumlah korban yang nekat

SejarahPencacahan

Egypt Numbers

Greek Numbers

Babylonian Numbers

Password with 6 characters, consist of letters and numbers Case Password with 6 characters, consist of letters and numbers abcdef 123789 aaaade 34qwer a123fr ............

Kombinatorial cabang matematika untuk menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya

Kaidah Dasar Menghitung Rule of Sum (Kaidah Penjumlahan) Misal: Percobaan 1: p hasil Percobaan 2: q hasil maka: Perc. 1 atau Perc. 2: p + q hasil Rule of Product (Kaidah Perkalian) Misal: Percobaan 1: p hasil Percobaan 2: q hasil maka: Perc. 1 dan Perc. 2: p x q hasil

Latihan 1 Solusi: 250 + 150 = 400 cara Dari seluruh mahasiswa Tif angkatan 2010, terdapat 250 laki2 dan 150 perempuan. Dengan tanpa memperhitungkan gender, berapa cara memilih satu ketua himpunan? Solusi: 250 + 150 = 400 cara

Latihan 2 Solusi: 300 x 100 = 30.000 cara Dari seluruh mahasiswa Tif angkatan 2010, terdapat 300 peminat jaringan dan 100 peminat vision. Dari setiap bidang minat akan dipilih 1 wakil untuk ikut seminar, berapa cara memilih dua orang peserta seminar? Solusi: 300 x 100 = 30.000 cara

Rule of Sum Rule of Product p1 + p2 + … + pn hasil Perluasan Kaidah Dasar Menghitung Ada n percobaan, masing-masing dengan pi hasil Rule of Sum p1 + p2 + … + pn hasil Rule of Product p1 x p2 x … x pn hasil

Latihan 3 Dari seluruh pemain Arema yang siap bertanding, terdapat 1 kiper, 3 bek, 4 gelandang dan 3 penyerang. Dengan tanpa memperhitungkan posisinya, berapa cara memilih satu kapten tim? Solusi: 1 + 3 + 4 + 3 = 11 cara

Latihan 4 Pemain Arema yang menuntut pembayaran gaji mengirim 4 perwakilan menghadap manajemen. Di antara 3 kiper, 6 bek, 8 gelandang dan 6 penyerang, ada berapa cara mengirimkan wakil, bila tiap posisi diwakili satu orang? Solusi: 3 x 6 x 8 x 6 = 864 cara

Soal 1 Terdapat 1 byte string yang berupa bilangan biner. Berapa banyak string yang dapat dibentuk?

Soal 2 Password pada sebuah sistem komputer panjangnya enam sampai delapan karakter. Tiap karakter boleh berupa huruf atau angka; TIDAK case sensitive. Berapa banyak kombinasi password yang dapat dibuat?

Solusi: 2x2x2x2x2x2x2x2 = 28 = 256 cara Pembahasan Soal 1 8 digit 2 kemungkinan: 0 / 1 Terdapat 1 byte string yang berupa bilangan biner. Berapa banyak string yang dapat dibentuk? Solusi: 2x2x2x2x2x2x2x2 = 28 = 256 cara

Prinsip InklusiEksklusi Kaidah Perkalian & Penjumlahan dalam Operasi Himpunan Kasus Berapa banyak kombinasi susunan byte yang dimulai dengan ‘11’ atau berakhir dengan ‘11’?

INGAT ! A = himpunan byte yang dimulai dengan ‘11’, B = himpunan byte yang diakhiri dengan ‘11’ |A| = 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 |B| = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 = 64 ? |A  B| = 128

A B |A  B| = |A| + |B| - |A  B| 11****** ******11 11****** ******11 ................ 11****11 ................ 11****** ******11 11****** ******11 |A  B| = |A| + |B| - |A  B|

|A  B| = 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 = 16 |A  B| = |A| + |B| - |A  B| |A  B| = 64 + 64 - 16 = 112

Permutasi Bentuk khusus Rule of Product Jumlah urutan berbeda dari pengaturan obyek-obyek Terdapat tiga buah bola: Merah, Biru dan Hijau Dan tiga buah wadah berurutan: Berapa banyak urutan berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola ke dalam wadah-wadah tersebut? 1 2 3

1 2 3

3 x 2 x 1 =3!=6 1 2 3 1 2 3 4 5 6

Permutasi r dari n elemen Permutasi n obyek P(n, n) = n x (n-1) x (n-2) x ... 2 x 1 P(n, n) = n ! Permutasi r dari n elemen P(n, r) = n x (n-1) x (n-2) x ... (n-(r-1)) P(n, r) = n ! (n-r) !

n x (n-1) x (n-2) x ... (n-(r-1)) Kombinasi Jumlah pengaturan obyek-obyek tanpa memperhitungkan urutan Kombinasi r dari n elemen C(n, r) = C(n, r) = = n x (n-1) x (n-2) x ... (n-(r-1)) r ! P(n, r) r ! n! r ! (n- r)!

Soal 3 Di antara 8 orang mahasiswa Teknik Informatika Angkatan 2010, berapa banyak cara membentuk sebuah perwakilan beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga: mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya; mahasiswa bernama A tidak termasuk di dalamnya; mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya, tetapi B tidak; mahasiswa bernama B selalu termasuk di dalamnya, tetapi A tidak; mahasiswa bernama A dan B termasuk di dalamnya; setidaknya salah satu dari mahasiswa yang bernama A atau B termasuk di dalamnya.

P H igeon- ole rinciple

Paling tidak, satu tempat berisi lebih dari 1 obyek 9 holes 10 pigeons 1 2 3 Bila terdapat n obyek yang diletakkan pada m buah tempat, dengan nilai n > m, maka: Paling tidak, satu tempat berisi lebih dari 1 obyek 1 4 2 3 4 5 6 7 5 6 7 8 9 10 8 9

Pigeon-holeprinciple Dirichlet drawer principle 1834 GustavLejeuneDirichlet (1805 – 1859)

Case Di antara tiga orang, maka pasti ada dua orang yang berjenis kelamin sama Dari 32 orang, pasti ada 2 orang yang memiliki tanggal lahir yang sama. Bila sebuah tim sepakbola menang 12-0, pasti ada pemain yang mencetak lebih dari satu gol Jelaskan!