IRISAN KERUCUT PERSAMAAN LINGKARAN

Lingkaran ??? Persamaan Lingkaran Hal.: 2 IRISAN KERUCUT

Persamaan lingkaran LINGKARAN DIDEFINISIKAN SEBAGAI HIMPUNAN TITIK TITIK YANG BERJARAK TETAP TERHADAP TITIK TERTENTU, DIMANA TITIK TERTENTU TERSEBUT DISEBUT SEBAGAI PUSAT LINGKARAN DAN JARAK YANG TETAP DISEBUT JARI - JARI Hal.: 3 IRISAN KERUCUT

Persamaan Lingkaran r o Hal.: 4 IRISAN KERUCUT

Persamaan Lingkaran Persamaan Lingkaran Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik O(0,0) dan Berjari-jari r Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik P(a,b) dan Berjari-jari r Hal.: 5 IRISAN KERUCUT

Berpusat di Titik O(0,0) dan Berjari-jari r Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik O(0,0) dan Berjari-jari r Y OT = r T (x,y) 2 2 r ( x2 - x1 ) + ( y2 - y1 ) = r 2 2 X ( x - 0 ) + ( y - 0 ) = r o 2 2 2 x + y = r Hal.: 6 IRISAN KERUCUT

Berpusat di Titik O(0,0) dan Berjari-jari r Persamaan Lingkaran Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik O(0,0) dan Berjari-jari r 2 2 2 x + y = r Hal.: 7 IRISAN KERUCUT IRISAN KERUCUT

Persamaan lingkaran Soal Latihan Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik O (0,0) dan : a. berjari-jari 2 b. melalui titik (3,4) Hal.: 8 IRISAN KERUCUT

Berpusat di Titik P(a,b) dan Berjari-jari r Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik P(a,b) dan Berjari-jari r Y PT = r 2 2 ( x2 - x1 ) + ( y2 - y1 ) = r 2 2 r T (x,y) ( x - a ) + ( y - b ) = r P (a,b ) 2 2 2 X (x-a) + (y-b) = r O Hal.: 9 IRISAN KERUCUT

Berpusat di Titik P(a,b) dan Berjari-jari r Persamaan Lingkaran Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik P(a,b) dan Berjari-jari r 2 2 2 ( x - a ) + ( y - b ) = r Hal.: 10 IRISAN KERUCUT

Soal Latihan Tentukan persamaan lingkaran jika : a. Berpusat di titik P (3,2) dan berjari-jari 4 b. Berpusat di titik Q (2,-1) dan melalui titik R(5,3) Hal.: 11 IRISAN KERUCUT

SELAMAT BELAJAR Hal.: 12 IRISAN KERUCUT

ELIPS ??? Hal.: 13 IRISAN KERUCUT

Kompetensi dasar: 3. Menerapkan konsep elips Standar Kompetensi Menerapkan konsep irisan kerucut dalam memecahkan masalah. Kompetensi dasar: 3. Menerapkan konsep elips Indikator 1. Menjelaskan pengertian elips. 2. Menentukan unsur-unsur elips. 3. Menentukan persamaan elips 4. Melukis grafik persamaan ellips Hal.: 14 IRISAN KERUCUT

Elips Indikator 1. Menjelaskan pengertian elips. 2. Menentukan unsur-unsur elips. 3. Menentukan persamaan elips. 4. Melukis grafik persamaan elips. Hal.: 15 IRISAN KERUCUT

Elips Pengertian Elips Elips adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu yang diketahui adalah tetap (konstan). Hal.: 16 IRISAN KERUCUT

Elips Perhatikan Gambar Elips Unsur-unsur elips Unsur-unsur pada elips: F1 dan F2 disebut fokus. Jika T sembarang titik pada elips maka TF1 + TF2 = 2a, F1F2 = 2c, dengan 2a > 2c. 2. A1A2 merupakan sumbu panjang (mayor)= 2a. B1B2 merupakan sumbu pendek (minor) = 2b, karena itu a > b. b B1 a T A2 E D A1 B2 (0,-b) (0,b) F1 F2 P (c, 0) (- c, 0) K L Lanjut Hal.: 17 IRISAN KERUCUT

Elips Lanjutan Elips 3. Latus Rectum yaitu segmen garis yang dibatasi elips, tegak lurus sumbu mayor dan melalui fokus (DE dan KL), panjang Latus Rectum DE = KL = 4. Titik pusat (P) yaitu titik potong sumbu mayor dengan sumbu minor. 5. Titik puncak elips yaitu titik A1, A2, B1, B2. Hal.: 18 IRISAN KERUCUT

Elips Persamaan Elips 1. Persamaan Elips yang berpusat di O(0,0) Persamaan Elips : TF1 + TF2 = 2a + = 2a = 2a - Mengkuadratkan ruas kiri dan kanan sehingga diperoleh …… (a2- c2) x2 + a2y2 = a2(a2-c2) . . . (i), jika titik T pada titik puncak pada sumbu minor (0,b) maka diperoleh … . b2 =a2 – c2 . . . . (ii) Persamaan (ii) disubstitusikan ke persamaan (i) sehingga diperoleh: Hal.: 19 IRISAN KERUCUT

Elips Contoh Tentukan persamaan elips dengan titik puncak (13,0) dan fokus F1(-12, 0) dan F2(12,0). Jawab: Diketahui pusat elips O(0,0) Titik puncak (13,0) a = 13 Titik fokus (-12,0) dan (12,0) c = 12 Sumbu utama adalah sumbu X, sehingga persamaannya: nfoku Hal.: 20 IRISAN KERUCUT IRISAN KERUCUT

Elips 2.Persamaan elips yang bertitik pusat P (m,n) O B C D P(m,n) X= m X Y A F1 F2 m a. Persamaan elips dengan titik pusat (m, n): b. Sumbu utamanya (sumbu) y = n, dengan panjang 2a dan sumbu minornya adalah sumbu x = n, dengan panjang 2b. 3.Titik fokus F1(m-c, n) dan F2( m + c, n ) 4. Titik puncak A(m-a, n) dan B ( m + a, n ) 5. Panjang lactus rectum (LR) = dengan Hal.: 21 IRISAN KERUCUT

Elips Contoh: Tentukan persamaan elips dengan fokus F1(1,3) dan F2(7,3) dan puncaknya (10,3). Jawab: Fokus (1,3) dan (7,3) = m-c = 1, m + c = 7 dengan eliminasi diperoleh m=4 dan c= 3 Pusat P (m,n) = P (4,3) m = 3 Puncak(10,3) m + a= 10 a= 6 b2 = a2 –c2 = 62 - 32 = 36 - 9 = 27 Sumbu utama y=3, sehingga persamaan elips menjadi: Hal.: 22 IRISAN KERUCUT

Elips Bentuk umum persamaan elips Persamaan elips memiliki bentuk umum: Hubungan antara persamaan dengan persamaan adalah sebagai berikut: Jika A > B, maka A = a2, B = b2, C=-2a2m, D= -2b2n, E= a2m2 + b2n2- a2b2 Jika A < B, maka A = b2, B = a2, C=-2b2m, D= -2a2n, E= a2m2 + b2n2- a2b2 Hal.: 23 IRISAN KERUCUT

Elips Contoh: Tentukan titik pusat dan fokus dari elips yang memiliki persamaan 4x2+ 9y2 -16x+ 18y -11=0. Jawab: Diketahui persamaan elips: 4x2+ 9y2 -16x+ 18y -11=0. A=4, B= 9, C= -16, D=18, E= -11 b2 = A = 4 b = 2 A2 = B = 9 a = 3 C = -2 b2m D= -2a2m C2= a2 –b2 = 9 -4 = 5 -16=-2. 4. m 18= -2. 9.n C = -16= -8m 18= -18n 2= m -1 = n Pusat P(m,n) P(2, -1) FokusF2(m-c, n)=F2 dan F2(m+c, n)=F2 Hal.: 24 IRISAN KERUCUT

Elips Persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1) pada elips 1. Untuk persamaan elips persamaan garis singgung yang melalui (x1, y1) pada elips tersebut adalah: 2. Untuk persamaan elips persamaan garis singgung yang melalui (x1, y1) pada elips tersebut adalah: Hal.: 25 IRISAN KERUCUT

Elips Persamaan garis singgung dengan gradien p y= p Pada elips atau ,adalah y= p Untuk elips dengan persamaan: Persamaan garis singgungnya adalah: y - n = p(x-m) Hal.: 26 IRISAN KERUCUT

Elips Contoh: Tentukan persamaan garis singgung elips berikut. a. pada titik (4, 3) b. pada titik(5,-3) Jawab: Diketahui : (4,3) x1 = 4 dan y1= 3 Persamaan garis singgung: Hal.: 27 IRISAN KERUCUT

Elips b. Diketahui: pusat (m, n) = (1, -2) ( 5, -3) y1 = -3 Persamaan garis singgung: Hal.: 28 IRISAN KERUCUT

Elips Hal.: 29 IRISAN KERUCUT

SELAMAT BELAJAR Hal.: 30 IRISAN KERUCUT

Parabola • • • Persamaan parabola berpuncak 0(0,0) y2 = 4px a.Puncak (0,0) b. Sumbu semetri = sumbu x c. Fokusnya F(p,0) d. Direktriknya x = -p Y • • • X (0,0) F(P,0) d:X=-P Hal.: 31 IRISAN KERUCUT

Parabola Y • • • X • d:X=-P Persamaan parabola yang bepuncak 0(0,0) dan Fokus di F(-p,0) adalah Y2 = -4px Y • • • X (0,0) F(P,0) • d:X=-P Hal.: 32 IRISAN KERUCUT

Parabola Y F(0,p) • X • (0,0) • d:y=-P Persamaan parabola yang bepuncak 0(0,0) dan Fokus di F(0,p) adalah x2 = -4py Y F(0,p) • X • (0,0) • d:y=-P Hal.: 33 IRISAN KERUCUT

Parabola Y • d: y=p • X (0,0) • F(0,-p) Persamaan parabola yang bepuncak 0(0,0) dan Fokus di F(0,-p) adalah x2 = -4py Y • d: y=p • X (0,0) • F(0,-p) Hal.: 34 IRISAN KERUCUT

Parabola Contoh: 1.Dari parabola-parabola berikut tentukan koordinat fokus,persamaan sumbu semetri,persamaan direktris dan panjang lactus rectum a. y2 = 4x c. x2 = -8y b. y2 = -12x d. x2 = 6y Jawab: y2 =4px y2 = 4x, maka p = 1 Parabola ini merupakan parabola horizsontal ysng terbuka ke kanan. (i) Koordinat titik fokus F(p,0) F(1,0) (ii) Sumbu semetri berimpit dengan sumbu X, maka persamaanya y = 0 (iii) Persamaan direktris: x = -p x = -1 (iv) Panjang lactus rectum (LR) = 4p = 4 . 1 = 4 Hal.: 35 IRISAN KERUCUT

Parabola c. x2 = -p4y x2 = -8y, maka 4p = 8 p = 2 b. y2 =-p4x y2 = -12x, maka 4p = 12 p = 3 Parabola ini merupakan parabola horizsontal yang terbuka ke kiri (i) Koordinat titik fokus F(-p,0) F(-3,0) (ii) Sumbu semetri berimpit dengan sumbu X, maka persamaanya y = 0 (iii) Persamaan direktris: x = -p x = 3 (iv) Panjang lactus rectum (LR) = 4p = 4 . 3= 12 c. x2 = -p4y x2 = -8y, maka 4p = 8 p = 2 Parabola ini merupakan parabola horizsontal ysng terbuka ke bawah (i) Koordinat titik fokus F(0,-p) F(0,-2) (ii) Sumbu semetri berimpit dengan sumbu y, maka persamaanya x = 0 (iii) Persamaan direktris: y = p y = 2 (iv) Panjang lactus rectum (LR) = 4p = 4 . 2 = 8 d. Untuk latihan Hal.: 36 IRISAN KERUCUT

Parabola • a. Titik puncak P(a,b) • • • b. Titik fokus F(a+p,b) • x Persamaan parabola berpuncak P(a,b) (y – b)2 = 4p(x – a) • a. Titik puncak P(a,b) y • Fp(a+p,b) • • b. Titik fokus F(a+p,b) P(a,b) a • x c. Direktris x = -p+a • • O(0,0) F(p,0) • d. Sumbu semetri y = b • e. Hal.: 37 IRISAN KERUCUT

Parabola Contoh: Diberikan persamaan parabola 3x – y2 + 4y + 8= 0 Tentukan : a. Titik puncak c. Direktris b. Titik fokus d. Sumbu semetri Jawab: Ubah persamaan parabola ke persamaan umum: 3x – y2 + 4y + 8= 0 y2 - 4y = 3x + 8 y2 - 4y + 4 = 3x + 8 + 4 (y – 2)2 = 3x + 12 (y – 2)2 = 3(x + 4) Didapat persamaan parabola (y – 2)2 = 3(x + 4) yaitu parabola mendatar yang terbuka ke kanan. Hal.: 38 IRISAN KERUCUT

Parabola Dari persamaan tersebut diperoleh: x a. Titik puncak P(-4,2) b. 4p = 3 maka p = Titik Fokus F(a+p,b) c. Persamaan direktris : d. Sumbu semetrinya : y = 2 y F P(-4,2) O(0,0) x Hal.: 39 IRISAN KERUCUT

Parabola Soal untuk latihan: a.Tentukan persaaman parabola yang berpuncak di (2,4) dan fokusnys (-3,4) b.Tentukan persamaan Parabola yang titik fokusnya F(2-3) dan persamaan didertrisnya y = 5 Hal.: 40 IRISAN KERUCUT

Persamaan garis singgung parabola Persamaan garis singgung parabola melaluhi titik A(x1,y1) yy1 = 2p(x+x1) y • A(x1,y1) • x Hal.: 41 IRISAN KERUCUT

Persamaan garis singgung parabola Persamaan parabola melaluhi titik A(x1,y1) di sajikan pada tabel berikut Persamaan Parabola Persamaan Garis singgung y2 = 4px yy1 = 2p(x+x1) y2 = -4px yy1 = -2p(x+x1) x2 = 4py xx1 = 2p(y+y1) x2 = -4py xx1 = -2p(y+y1) (y – b)2 = 4p(x – a) (y-b)(y1-b)=2p(x+x1-2a) (y – b)2 = -4p(x – a) (y-b)(y1-b)=-2p(x+x1-2a) (x– a)2 = 4p(y – b) (x-a)(x1-a)=2p(y+y1-2b) (x– a)2 = -4p(y – b) (x-a)(x1-a)=-2p(y+y1-2b) Hal.: 42 IRISAN KERUCUT

Persamaan garis singgung parabola Contoh: Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 8x di titik (2,4) jawab : y2 = 8x 4p = 8 p = 2 Titik A(x1,y1) A(2,4) Persamaan garis singgungnya adalah yy1 = 2p(x+x1) y.4 = 2.2(x+2) 4y = 4(x+2) y = x+2 Hal.: 43 IRISAN KERUCUT

Persamaan garis singgung parabola 2. Tentukan persamaan garis singgung parabola (x+1)2 = -3(y-2) pada titik (2,-1) Jawab : a = -1 , b = 2, x1 = 2 dan y1 = 1 (x+1)2 = -3(y-2) -4p = -3 p = Persamaan garis singgung parabola di titik A(2,-1) adalah (x - a)(x1 - a) = -2p(y + y1 - 2b) (x +1)(2 +1) = -2. (y - 1 – 2.2) (x + 1)(3) = 6(x + 1) = - 3(y – 5) 2(x + 1) = -(y – 5) 2x + 2 = -y + 5 y = -2x + 3 Hal.: 44 IRISAN KERUCUT

Persamaan garis singgung parabola B.Persamaan garis singgung parabola yang bergradien m Persamaan parabola Persamaan garis singgung y2 = 4px y = mx + y2 =- 4px y = mx - x2 = 4py y = mx – m2p x2 = -4py y = mx + m2p (y – b)2 = 4p(x – a) (y – b) = m(x – a) + (y – b)2 = -4p(x – a) (y – b) = m(x – a) - (x– a)2 = 4p(y – b) (y – b) = m(x – a) – m2p (x– a)2 = -4p(y – b) (y – b) = m(x – a) + m2p Hal.: 45 IRISAN KERUCUT

Persamaan garis singgung parabola Contoh: 1.Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 8x yang kergradien 2 Jawab: Parabola y2 = 8x 4p = 8 p = 2 Maka persamaan garis singgungnya adalah: y = mx + y = 2x + 1 Hal.: 46 IRISAN KERUCUT

Persamaan garis singgung parabola 2. Tentukan persamaan garis singgung parabola (y + 5)2 = -8(x – 2) yang bergradien 3 Jawab : Parabola (y + 5)2 = -8(x – 2) -4x = -8 p = 2 Puncak P(2,-5) Jadi persamaan garis singgungnya adalah y – b = m(x – a) – y + 5 = 3(x – 2) – 3y + 15 = 9(x – 2) -2 3y + 15 = 9x – 20 9x – 3y + 35 = 0 y = 3x - Hal.: 47 IRISAN KERUCUT

- Sumbu sekawan adalah sumbu y Hiperbola A.Hiperbola adalah kedudukan titik-titik pada bidang datar yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap. Kedua titik tertentu di sebut fokus(titik apai). y A.Persamaan Hiperbola Pusat(0,0) Y = D M K a. Pusat O(0,0) b. Fokus F’(-C,0) dan F(C,0) c. Puncak A(-a,0) dan B(a,0) • • • • • x F’(-C,0) A B F(C,0) d. Sumbu semetri - Sumbu Utama sumbu x - Sumbu sekawan adalah sumbu y E N L e. Sumbu nyata AB = 2a Y = f. Sumbu imajiner MN = 2b g. Asimtot , y = + Hal.: 48 IRISAN KERUCUT

- Sumbu sekawan adalah sumbu x Hiperbola B. Persamaan Hiperbola atau b2y2 – a2x2 = a2b2 y D F(0,C) K a. Pusat O(0,0) • • b. Fokus F’(0,-C) dan F(0,C) B Y = c. Puncak A(0,-a) dan B(0,a) d. Sumbu semetri M • N x - Sumbu Utama sumbu y - Sumbu sekawan adalah sumbu x A e. Sumbu nyata AB = 2a • Y = E L • f. Sumbu imajiner MN = 2b F’(0,-C) g. Asimtot , y = + Hal.: 49 IRISAN KERUCUT

Hiperbola Contoh : 1.Tentukan persamaan hiperbola jika titik fokusnya F’(-13,0) dan F(13,0) dengan puncak (-5,0) dan (5,0) Jawab : Pusat (0,0) a = 5 , c = 13 b2 = c2 – a2 = 132 – 52 = 169 – 25 = 144 Sumbu utama sumbu X, maka persamaan hiperbolanya adalah: Hal.: 50 IRISAN KERUCUT

Hiperbola 2.Diketahui persamaan hiperbola dari Jawab : dan Pusat(0,0) Puncak(-a,0)=(-4,0) dan (a,0) = (4,0) Hal.: 51 IRISAN KERUCUT

Hiperbola A. Persamaaan Hiperbola dengan pusat P(m,n) y • • • • • x a. Pusat P(m,n) y b. Fokus F’(m-C,0) dan F(m+C,0) D M K c. Puncak A(m-a,0) dan B(m+a,0) d. Sumbu semetri • • • • • F’(-C,0) A P B F(C,0) - Sumbu Utama sumbu y = n - Sumbu sekawan adalah y = m N e. Sumbu nyata AB = 2a E L x f. Sumbu imajiner MN = 2b Y = g. Asimtot , y-n = + (x - a) Hal.: 52 IRISAN KERUCUT

Hiperbola Contoh: Tentukan persamaan hiperbola jika titik fokus F’(-2,-3) dan F(8,-3) dan titik puncaknya (7,-3) Jawab: fokus F’(-2,-3) dan F(8,-3) Jarak pusat ke fokus c = 8 – 3 = 5 Puncak (7,3) Jarak pusat dengan puncak a = 7 – 3 = 4 b2 = c2 – a2 = 52 – 42 = 25 – 16 = 9 Jadi persamaan hiperbola adalah atau 9(x-3)2 – 16(y+3)2 = 144 9x2 – 16y2 – 54x -96y – 207 = 0 Hal.: 53 IRISAN KERUCUT

Hiperbola 2. Tentukan titik pusat,titik fokus, titik puncak, panjang lactus rectum dan persamaan asimtotnya dari Jawab: Titik pusat (4,-1) Hal.: 54 IRISAN KERUCUT

Persamaan Garis Singgung Hiperbola Persamaan garis singgung hiperbola melelaluiT(x1,y1) Persamaan garis singgung di titik T(x1,y1) yaitu di titik T(x1,y1) yaitu di titik T(x1,y1) yaitu Hal.: 55 IRISAN KERUCUT

PERSAMAN GARIS SINGGUNG HIPERBOLA Contoh 1 : Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola pada titik (9, -4) Jawab Persamaan garis singgung Hiperbola di titik T(x1,y1) yaitu Jadi persamaan garis singgungnya : atau x + 2y = 1 Hal.: 56 IRISAN KERUCUT

Persamaan garis singgung Hiperbola Contoh 2 Tentukan persamaan garis singgung hiperbola Pada titik (-4, -3) Jawab : Persamaan garis singgung hiperbola di titik T(x1,y1) yaitu Jadi persamaan garissinggungnya : x = - 4 Hal.: 57 IRISAN KERUCUT

SELAMAT BELAJAR Hal.: 58 IRISAN KERUCUT