BAB VII RUANG VEKTOR UMUM (lanjutan)

7.5 Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null Definisi Untuk suatu matriks m x n vektor-vektor r1 = [a11 a12 … a1n] r2 = [a21 a22 … a2n] ⋮ rm = [am1 am2 … amn] pada Rn yang dibentuk dari baris-baris A disebut sebagai vektor baris (row vector) dari A, dan vektor-vektor

pada Rm yang dibentuk dari kolom-kolom A disebut sebagai vektor kolom (column vector) dari A. Contoh 7.7 Vektor-vektor baris dari A adalah Vektor-vektor kolom dari A adalah

Definisi Jika A adalah suatu matriks m x n, maka subruang dari Rn yang direntang oleh vektor-vektor baris dari A disebut ruang baris (row space) dari A, dan subruang dari Rm yang direntang oleh vektor-vektor kolom disebut ruang kolom (column space) dari A. Ruang solusi dari sistem persamaan yang homogen Ax = 0 yang merupakan subruang dari Rn disebut ruang null (null space) dari A. Teorema 7.5.1 Suatu sistem persamaan linier Ax = b adalah konsisten jika dan hanya jika b berada pada ruang kolom dari A.

Contoh 7.8 Misal Ax = b adalah sistem linier Tunjukkan bahwa b berada pada ruang kolom dari A dan nyatakan b sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor kolom dari A. Penyelesaian Dengan menyelesaikan sistem persamaan linier didapat x1 = 2, x2 = –1, x3 = 3. Karena sistem ini konsisten, maka b berada pada ruang kolom dari A.

Matriks sistem persamaan linier dapat ditulis menjadi

Teorema 7.5.2 Jika x0 menotasikan solusi tunggal sembarang dari suatu sistem linier konsisten Ax = b, dan jika v1, v2, …, vk membentuk suatu basis untuk ruang null dari A , yaitu ruang solusi dari sistem homogen Ax = 0 , maka setiap solusi dari Ax = b dapat dinyatakan dalam bentuk: x = x0 + c1v1 + c2v2 + … + ckvk Vektor x0 disebut solusi khusus dari Ax = b Vektor-vektor x0 + c1v1 + c2v2 + … + ckvk disebut solusi umum dari Ax = b Vektor-vektor c1v1 + c2v2 + … + ckvk disebut solusi umum dari Ax = 0

Contoh 7.9 Tentukan solusi umum dan khusus dari sistem persamaan linier nonhomogen Ax = b berikut. x1 + 3x2 – 2x3 + 2x5 = 0 2x1 + 6x2 – 5x3 – 2x4 + 4x5 – 3x6 = –1 5x3 – 10x4 – 15x6 = 5 2x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 + 18x6 = –1 Penyelesaian R2 – 2R1 R4 – 2R1

–R2 R3 – 5R2 R4 – 4R2 R3  R4 R4  R3

1/6R3 R2 – 3R3 R1 + 2R3

Sistem persamaan yang bersesuaian dengan matriks diatas adalah: x6 = 1/3 x3 + 2x4 = 0  x3 = –2x4 x1 + 3x2 + 4x4 + 2x5 = 0  x1 = –3x2 –4x4 – 2x5 Tetapkan nilai-nilai x2, x4 dan x5, yaitu: x2 = r, x4 = s, x5 = t, didapat: x1 = –3r – 4s – 2t x3 = –2s

atau: x1 = 0 –3r – 4s – 2t x2 = 0 + r + 0s + 0t x3 = 0 + 0r – 2s + 0t x4 = 0 + 0r + s + 0t x5 = 0 + 0r + 0s + t x6 =1/3 + 0r + 0s + 0t Hasil ini dapat ditulis dalam bentuk vektor, yaitu:

Solusi umum:

Basis Untuk Ruang Null Ruang null adalah ruang solusi dari sistem persamaan linier homogen Ax = 0 yang merupakan subruang dari Rn. Contoh 7.10 Tentukan basis untuk ruang null dari Penyelesaian

R1 +R2 R2 +R1 1/3R2

R3 – R1 –1/3R3 R3 – R2

R3 – R2 1/3R4 R4 – R3

x4 = 0 x3 – 2x4 + x5 = 0  x3 + x5 = 0  x3 = –x5 x1 + x2 + x3 – 3x4 + 2x5 = 0  x1 + x2 + x3 + 2x5 = 0  x1 + x2 – x5 + 2x5 = 0  x1 + x2 + x5 = 0  x1 + x2 = – x5 Jika ditentukan nilai x5 = t, maka x3 = –t Jika ditentukan nilai x2 = s, maka x1 = –s –t Basis : (–1, 1, 0, 0, 0), (–1, 0, –1, 0, 1)

Basis Untuk Ruang Baris dan Ruang Kolom Jika suatu matriks R berada dalam bentuk eselon baris, maka vektor-vektor baris dgn 1 utama (yaitu vektor-vektor baris tak-nol) membentuk suatu basis untuk ruang baris dari R, dan vektor-vektor kolom dengan 1 utama dari vektor-vektor baris membentuk suatu baris untu ruang kolom dari R. Contoh 7.11 Tentukan basis-basis untuk ruang baris dan ruang kolom dari,

Penyelesaian Basis untuk ruang baris dari R adalah vektor-vektor r1 = [1, –2, 5, 0, 3] r2 = [0, 1, 3, 0, 0] r3 = [0, 0, 0, 1, 0] Basis untuk ruang kolom dari R adalah vektor-vektor

Contoh 7.12 Tentukan basis-basis untuk ruang baris dan ruang kolom dari, Penyelesaian Reduksi A menjadi bentuk eselon baris,

Basis untuk ruang baris dari R adalah vektor-vektor Basis untuk ruang kolom dari R adalah vektor-vektor Basis untuk ruang kolom dari A adalah vektor-vektor

Latihan Nyatakan hasil kali Ax sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor kolom dari A. Tentukan, apakah b berada pada ruang kolom dari A. Jika ya, nyatakan b sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor kolom dari A. a. b.

3. Tentukan basis untuk ruang null dari A. 4. Tentukan basis untuk ruang baris dan ruang kolom dari A pada soal 3.

7.6 Rank dan Nulitas Ruang Matriks Dasar Pada matriks A dan AT terdapat 6 ruang vektor utama, yaitu: Ruang baris A Ruang baris AT Ruang kolom A Ruang kolom AT Ruang nul A Ruang nul AT Jika kita amati matriks A dan AT : Ruang baris pada matriks A = ruang kolom matriks AT Ruang kolom pada matriks A = ruang baris matriks AT Sehingga bisa disimpulkan bahwa dari sembarang matriks A dan transposenya, terdapat 4 ruang matriks dasar.

Teorema 7.6.1 Jika A adalah suatu matriks sembarang, maka ruang baris dan ruang kolom dari A memiliki dimensi yang sama. Definisi Dimensi umum dari ruang baris dan ruang kolom dari suatu matirks A dinyatakan sebai rank(A); dimensi untuk ruang nul dari A disebut sebagai nulitas(A) . Contoh 7.13 Tentukan rank dan nulitas dari, Penyelesaian

Operasi baris terhadap matriks A didapat matriks dalam bentuk eselon baris berikut. Karena terdapat 2 baris dan 2 kolom yang mengandung 1 utama (leading 1), maka rank(A) = 2 Untuk menentukan nulitas (A), kita harus menentukan ruang solusi dari Ax = 0. Dari matriks eselon baris didapat, x1 – 4x3 – 28x4 – 37x5 + 13x6 = 0 x2 – 2x3 – 12x4 – 16x5 + 5x6 = 0

Sehingga, x1 = 4x3 + 28x4 + 37x5 – 13x6 x2 = 2x3 + 12x4 + 16x5 – 5x6 x1 dan x2 adalah variabel utama x3 , x4, x5, x6 adalah variabel bebas Solusi umum dari sistem persamaan linier adalah, x6 = r x5 = s x4 = t x3 = u x2 = 2u + 12t + 16s – 5r x1 = 4u + 28t + 37s – 13r r, s, t, dan u adalah parameter

Solusi umum dari sistem persamaan linier dapat ditulis dalam bentuk vektor seperti berikut ini. Jumlah vektor yang membentuk ruang solusi adalah 4 buah vektor, sehingga nulitas(A) = 4

Teorema 7.6.2 Jika A adalah suatu matriks sembarang, maka rank (A) = rank (AT) Teorema 7.6.3 Teorema Dimensi untuk Matriks Jika A adalah suatu matriks dengan n kolom, maka rank (A) + nulitas (A) = n Jumlah Variabel utama Jumlah Variabel bebas + = n

Latihan Tentukan rank dan nulitas dari matriks berikut. a. b.