SISTEM PERSAMAAN LINIER IR. WANIWATINING ASTUTI wani@stmik-mdp.net

1. Pengantar Sistem Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : a1x + a2y = b Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan linear dalam peubah x dan y.

a1x1 + a2x2 + ….+ anxn = b x1 + x2 +…+ xn = 1 Definisi persamaan linear dalam n peubah x1, x2,….,xn sebagai suatu persamaan yang bisa disajikan dalam bentuk a1x1 + a2x2 + ….+ anxn = b dengan a1, a2,…, an dan b konstanta real. Contoh-contoh Persamaan Linear x + 3y = 7 x1 + 2x2 – 3x3 + x4 = 8 x1 + x2 +…+ xn = 1 Himpunan semua penyelesaian persamaan tersebut disebut himpunan penyelesaian.

Soal-soal: Cari Himpunan penyelesaian dari : 4x – 2y = 1 7x – 5y = 3 x – 4y +7z = 5 -8x1 + 2x2 - 5x3 + 6x4 = 1

Sistem Linear Sebuah himpunan terhingga persamaan linear dalam peubah-peubah x1, x2,….,xn disebut sebuah sistem persamaan linear atau sebuah sistem linear. Sederet angka s1,s2,…,sn, disebut suatu penyelesaian sistem tersebut jika x1= s1, x2 = s2,..,xn= sn. Contoh : 4x – y + 3z = -1 3x + y + 9z = -4 mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2 dan z = -1, karena nilai-nilai ini memenuhi kedua persamaan di atas.

y Garis l1 dan l2 sejajar, dimana tidak ada perpotongan maka tidak ada penyelesaian terhadap sistem tersebut. x l1 l2 Tidak mempunyai penyelesaian

y l2 Garis l1 dan l2 berpotongan hanya di satu titik, maka sistem tersebut tepat mempunyai satu penyelesaian. x l1 Mempunyai satu penyelesaian

y l1 dan l2 Garis l1 dan l2 berimpit, dimana ada tak berhingga titik potong maka terdapat banyak penyelesaian untuk sistem tersebut. x Mempunyai tak hingga penyelesaian

Matriks yang diperbesar/diperbanyak. ( augmented matriks ) Misal, suatu sistem : x1 + 2x2 + x3 = 3 3x1 - x2 + 3x3 = -1 2x1 + 3x2 + x3 = 4 dapat diasosiasikan sebagai suatu jajaran bilangan-bilangan dengan orde 3 x 3 yang angka-angkanya adalah koefisien dari xi. Jajaran ini disebut sebagai matriks koefisien dari sistem yang bersangkutan.

Jika pada matriks koefisien tersebut, disisipkan suatu kolom tambahan yang berisi angka-angka diruas kanan dari sistem, maka diperoleh matriks baru yang disebut matriks yang diperbesar / diperbanyak.

2.Operasi Baris Elementer Karena baris suatu matriks yang diperbanyak berpadanan dengan persamaan dalam sistem terkait, maka sistem persamaan linear dapat diselesaikan dengan menjalankan operasi-operasi berikut : 1. Pertukarkan dua baris. 2. Kalikan suatu baris dengan bilangan real bukan nol. 3. Tambahkan perkalian dari suatu baris ke baris lainnya.

Bentuk Baris Eselon Tereduksi Matriks yang berbentuk baris eselon tereduksi harus mempunyai sifat-sifat berikut ini : Jika suatu baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka angka tak nol pertama dalam baris tersebut adalah angka 1. Jika ada sebarang baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini dikelompokkan di bagian bawah matriks. Jika sebarang dua baris yang berurutan yang tidak seluruhnyaterdiri dari nol, angka 1 dalam baris yang lebih bawah terletak di sebelah kanan angka 1 dalam baris yang lebih atas. Masing-masing kolom yang berisi angka 1, mempunyai nol di tempat lainnya.

Contoh matriks-matriks berikut dalam bentuk baris eselon tereduksi. Suatu matriks yang mempunyai sifat 1, 2, dan 3 saja (tidak perlu 4) disebut mempunyai bentuk baris eselon.

Jika dengan serangkaian operasi baris dasar elementer, matriks yang diperbanyak untuk sebuah SPL dijadikan bentuk baris eselon tereduksi, maka himpunan penyelesaian sistem tersebut akan terbukti dengan beberapa langkah sederhana. Contoh : Sistem persamaan yang berpadanan adalah : X1 = 5 X2 = 2 X3 = 4

Prosedur untuk mereduksi suatu matriks menjadi bentuk baris eselon tereduksi disebut eliminasi Gauss- Jordan, sedangkan prosedur yang hanya menghasilkan bentuk baris eselon disebut eliminasi Gaussian.

Substitusi Balik Kadang-kadang kita lebih suka menyelesaikan suatu sistem persamaan linear dengan menggunakan eliminasi Gaussian untuk membawa matriks yang diperbanyak menjadi bentuk baris eselon tanpa melanjutkan semua cara menuju bentuk baris eselon tereduksi. Jika ini dilakukan, sistem persamaan yang berpadanan bisa diselesaikan dengan suatu teknik yang disebut substitusi balik.

Sistem Linear Homogen Suatu sistem persamaan linear dikatakan homogen jika konstantanya semua nol, yaitu jika sistem tersebut mempunyai bentuk :

Sebuah sistem persamaan linear homogen dengan jumlah peubah yang lebih banyak daripada jumlah persamaan mempunyai tak hingga banyaknya penyelesaian. Setiap sistem persamaan linear homogen mempunyai sifat konsisten, karena semua sistem seperti itu mempunyai x = 0, y = 0 dan z = 0,…, zn = 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut penyelesaian trivial, jika ada penyelesaian yang lain maka penyelesaiannya disebut penyelesaian tak trivial.

Karena sistem linear homogen selalu mempunyai penyelesaian trivial, maka hanya ada dua kemungkinan untuk penyelesaiannya : Sistem tersebut hanya mempunyai penyelesaian trivial. Sistem tersebut mempunyai tak hingga banyaknya penyelesaian di samping penyelesaian trivial.