13. Graf berbobot (Weighted graph) Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya mempunyai bobot atau harga 1 2 3 4 5 12 11 8 10 14 9 15 Gambar 12.19 Graf berbobot

14. Graf Sederhana Khusus Graf lengkap (Complete graph) Graf lengkap adalah graf sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke simpul lainnya. Graf lengkap yang mempunyai n buah simpul dilambangkan dengan Kn. Setiap simpul pada Kn mempunyai derajad n – 1

 K1 K2 K3 K4 K5 K6 Gambar 12.20 Graf lengkap Kn 1  n  6

B. Graf lingkaran Graf lingkaran adalah graf sederhana yang setiap simpulnya berderajad 2. Graf lingkaran dengan n simpul dilambangkan dengan Cn. Jika simpul-simpul pada Cn adalah v1, v2 , … , vn, maka sisi-sisinya adalah (v1, v2), (v2, v3), …, (vn-1, vn), dan (vn, v1). Graf lingkaran adalah graf sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke simpul lainnya.

 Gambar 12.21 Graf lingkaran Cn 3  n  6

C. Graf Teratur (Regular Graph) Graf teratur adalah graf yang mempunyai derajad yang sama pada setiap simpulnya. Jika derajad setiap simpul adalah r, maka graf tersebut adalah graf teratur derajad r.  Gambar 12.22 Graf teratur

Perlu diketahui bahwa: Graf lengkap Kn adalah graf teratur derajad n – 1. Graf lingkaran Cn adalah graf teratur derajad 2. Jumlah sisi (e) pada graf teratur = nr/2 Contoh 12.5 Berapa jumlah maksimum dan minimum simpul pada graf sederhana yang mempunyai 12 buah sisi dan setiap simpul berderajad sama? Penyelesian e = nr/2 = 12  n = 2e/r = 2(12)/r = 24/r

Syarat umum graf : n = bilangan bulat dan n – 1  r Syarat graf sederhana : r  2 r = 2  n = 24/2 = 12 r = 3  n = 24/3 = 8 r = 4  n = 24/4 = 6 r = 5  n = 24/5 = 4,8 (tidak mungkin; n tidak bulat) r = 6  n = 24/6 = 4 (tidak mungkin karena n – 1  r) r = 7  n = 24/7 = 3,47 (tidak mungkin; n tidak bulat) r = 8  n = 24/8 = 3 (tidak mungkin karena n – 1  r)

D. Graf Bipartit (Bipartite Graph) Jika himpunan simpul V pada graf G dapat dikelompokkan menjadi dua himpuan V1 dan V2 sedemikian, sehingga setiap sisi di dalam graf G menghubungkan sebuah simpul pada V1 ke sebuah simpul di V2 , maka graf G disebut graf bipartit. Jadi setiap simpul pada V1 tidak bertetangga. begitu juga simpul pada V2.  Gambar 12.23 Graf bipartit G(V1, V2

Contoh 12.6 Tunjukkan bahwa graf berikut adalah graf bipartit a g c b d e f a b d  g c e f

Pada graf bipartit, apabila setiap simpul di V1 bertetangga dengan semua simpul di V2, maka graf G (V1, V2) disebut graf bipartit lengkap. Jika jumlah simpul pada V1 = m dan V2 = n, maka graf bipartit lengkap dilambang dengan Km,n K2,3 K3,3 K2,4 Gambar 12.24 Graf bipartit lengkap

15. Representasi Graf Untuk tujuan pemrosesan di dalam komputer, perlu mempertimbangkan untuk menyajikan graf dalam cara, yaitu: Matriks Ketetanggaan (Adjancency Matrix) Matriks ketetanggaan adalah matriks persegi. Jika matriks yang mewakili representasi graf adalah A = [aij], maka aij = 1 jika simpul i dan j bertetangga. Jika tidak maka aij = 0.

 4 3 2 1 Gambar 12.25 1 2 4  5 Gambar 12.26 3

1 2 3 4 ▼ Gambar 12.27 2 1 4 3 Gambar 12.28

Jika kita perhatikan, matriks ketetanggaan untuk graf sederhana dan tak-berarah selalu simetri. Sedangkan untuk matriks berarah belum tentu simetri, kecuali untuk graf berarah lengkap. Jika graf tidak mempunyai sisi gelang, maka diagonal matriksnya selalu nol. Untuk graf tak-berarah yang mempunyai sisi ganda maka elemen matriksnya yang bersesuaian diisi dengan elemen 2.

Derajad tiap simpul i dapat dihitung dari matriks Ketetanggan. Derajad simpul v1 untuk graf tak-berarah adalah: Derajad simpul v1 untuk graf berarah adalah:

 Contoh 12.7 1 5 2 3 4 Derajad simpul 1 = 1 + 1 = 2

Untuk graf berbobot, aij menyatakan bobot tiap sisi Contoh 12.8 Untuk graf berbobot, aij menyatakan bobot tiap sisi yang menghubungkan simpul i dan simpul j. Gambar berikut adalah graf berbobot beserta matriks ketetanggaannya. Tanda  berarti tidak ada sisi dari simpul i ke j atau sebaliknya. 10 12 8 15 9 11 14 d c a e b

B. Matriks Bersisian (Incident Matrix) Matriks bersisian adalah yang menyatakan kebersisian antara simpul dengan sisi. Misal G =(V, E) adalah graf dengan n simpul dan m buah sisi. Matriks bersisian dari graf G adalah matriks yang berukuran n x m. Baris menunjukkan label simpul, sedangkan kolom menunjukkan label sisi. Bila matriks tersebut adalah matriks A = [aij], maka aij = 1 jika simpul i bersisian dengan sisi j. Sebaliknya aij = 0 jika simpul i tidak bersisian dengan sisi j.

Matriks bersisian dpat digunakan untuk merepresentasikan graf yang mengandung sisi ganda dan sisi gelang. Derajad setiap simpul i dapat dapat dihitung dengan menghitung jumlah seluruh elemen pada baris i (kecuali pada graf yang mengandung gelang). Jumlah elemen matriks bersisian adalah nm. Jika tiap elemen membutuhkan ruang memori sebesar p, maka ruang memori yang diperlukan seluruhnya adalah pnm.

Contoh 12.9 Gambar berikut memperlihatkan matriks bersisian untuk graf yang direpresentasikannya. Jumlah elemen matriks adalah 4 x 6 = 24 e1 e2 1 2 3 4 e4 e3 e5 e6

C. Senarai Ketetanggaan (Adjacency List) Senarai ketetanggaan mengenumerasi simpul-simpul yang bertetangga dengan setiap simpul di dalam graf.

  1 1 1 5 2 3 2 3 2 3 4 4 4 Senarai Senarai Senarai 2 3 4 2 1 4 3 ▼ 3 1 2 4  5 Senarai Senarai Senarai ketetanggaan ketetanggaan ketetanggaan 1: 2, 3 1: 2, 3 1: 3 2: 1, 3, 4 2: 1, 3 2: 1 3: 1, 2, 4 3: 1, 2, 4 3: 1, 2, 4 4: 2, 3 4: 3 4: 2, 3 5: -

Graf Isomorfik (Isomorphic graph) Definisi Dua buah graf G1 dan G2 dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara simpul-simpul dan sisi-sisi kedua graf tersebut sedemikian sehingga jika sisi e bersisian dengan simpul u dan v di G1, maka sisi e’ yang berkoresponden di G2 juga harus bersisian dengan simpul u’ dan v’ di G2. Dari definisi diatas kita dapat menyederhanakan bahwa dua buah yang isomorfik adalah dua buah graf yang sama; hanya tampilan secara geometrik kedua graf tersebut kelihatan berbeda.

Contoh 12.10 d e c b a d a e c b y x v w z

x y c b a v d w  a b e c d  w y z x v z e

Untuk memastikan bahwa dua buah graf isomorfik, kita dapat memeriksa matriks ketetanggaannya. Jika matriks ketetanggaanya sama, maka dipastikan bahwa kedua graf isomorfik. Sebelum menyusun matriks ketetanggaan, terlebih dahulu harus kita urutkan simpul-simpul pada G2 mengikuti urutan simpul pada G1 sesuai korespondensinya. a b e c d  w y z x v

d e c b a z y x w v

Graf G1 (V1 , E1) dan G2 (V2 , E2) dikatakan isomorfik jika: - Jumlah simpul dan sisi pada kedua harus sama. - Jumlah simpul yang mempunyai derajad tertentu harus sama. - Jika pada G1, u1 bertetangga v1 dan w1, sedangkan pada G2, u2 bertetangga v2 dan w2, maka derajad v1 harus sama dengan v2 dan derajad w1 harus sama dengan dan w2. - Terdapat korespondensi satu-satu V1 ke V2.

Tentukan apakah graf berikut isomorfik. Contoh 12.11 Tentukan apakah graf berikut isomorfik. c b d e f a s t x w v u  a b e c d f  s t w u v x Karena kedua graf tidak berkorespondensi satu-satu, maka dikatakan bahwa kedua graf tidak isomorfik

 Contoh 12.12 Tentukan apakah graf berikut isomorfik. a c h f g e d b w u v t s q Gambar 1 Gambar 2

p q  r w u v t s  a c h f g e d b Gambar 1 Gambar 2 Pada Gambar 1, simpul a mempunyai derajad 2. Tetangganya b dan d mempunyai derajad masing-masing 3. Pada Gambar 2, simpul yg berkemungkinan berkorespondensi dengan simpul a pada Gambar 1 hanya q, r, u, atau v, karena masing-masing mempunyai derajad 2 (sama seperti simpul a). Akan tetapi tetangga dari q, r, u, & v mempunyai derajad 3 & 2, sehingga tidak mungkin simpul a pada Gbr 1 berkorespondensi dengan salah satu dari q, r, u, atau v pada Gambar 2.

Karena simpul a tidak berkoresponden dengan salah satu simpul pada Gambar 2, maka tidak ada korespondensi satu ke satu dari kedua graf tersebut. Selanjutnya disimpulkan bahwa Gambar 1 dan Gambar 2 tidak isomorfik

 Contoh 12.13 Tentukan apakah graf berikut isomorfik. Gambar 1 d b r u s t q

 a p f e c d b r u s t q a  b  c  d  e  f   p  q  r  s  t Kemungkinan korespondensi: a ke u atau r c ke u atau r b ke q atau s d ke q atau s e ke p atau t f ke p atau t

MG1 = MG2 =

 Karena MG1 = MG2, graf pada Gambar 1 isomorfik dengan graf pada Gambar 2. Gambar 2 p r u s t q Gambar 1  a f e c d b

1. Tentukan, apakah graf berikut bipartit! Tugas 6: 1. Tentukan, apakah graf berikut bipartit! c b e d a f (A) (B) (C)

2. A. Tentukan, apakah graf berikut isomorfik! c f d e j o i p k n l m

2. B. Tentukan, apakah graf berikut isomorfik! c b i l j k d

 2. C. Tentukan, apakah graf berikut isomorfik! a f e c d b g h i l j