Pemodelan dan Simulasi Bab V Dr. Jusak Pemodelan dan Simulasi Bab V

Kebutuhan akan Peramalan Dalam dunia bisnis kondisi ekonomi berubah-ubah karena itu diperlukan adanya peramalan untuk merencanakan masa depan. Pemerintahan membutuhkan peramalan untuk mengetahui kondisi tenaga kerja, pendapatan pajak, inflasi, pertumbuhan industri dsb untuk menentukan kebijakan-kebijakan masa depan. De-es-be

Metode Peramalan Terdapat 2 macam pendekatan: Qualitative: metode ini dianggap sebagai metode yang subyektif dengan mensertakan pendapat pakar. Misalnya dengan teknik Delphi. Metode ini dipilih apabila data histori tidak tersedia. Quantitative: metode ini menggunakan data histori. Tujuan dari metode ini adalah mempelajari data histori dan struktur dari data untuk tujuan memprediksi masa depan.

Metode Peramalan Quantitative Metode peramalan quantitative dapat dibagi lagi menjadi beberapa sub-bagian, yaitu: Metode peramalan time-series: metode peramalan yang sepenuhnya menggunakan data histori masa lalu dan sekarang. Metode peramalan kausal/eksplanatoris: menyertakan faktor-faktor yang berkaitan dengan variabel yang akan diprediksi, misalnya dalam peramalan ekonomi perlu mengikutsertakan barometer2 ekonomi di dalamnya.

Pola Data pada model Time-Series Sumber: Metode dan Aplikasi peramalan, Makridakis, S.

Pola Data pada model Time-Series Pola horisontal (H) terjadi bilamana data berfluktuasi disekitar nilai rata-rata yg konstan. Suatu produk yg penjualannya tdk meningkat atau menurun selama waktu tertentu termasuk jenis ini. Pola khas dari data horizontal atau stasioner seperti ini dapat dilihat dalam Gambar 1.1. Pola musiman (S) terjadi bilamana suatu deret dipengaruhi oleh faktor musiman (misalnya kuartal tahun tertentu, bulanan, atau hari-hari pada minggu tertentu). Penjualan dari produk seperti minuman ringan, es krim, dan bahan bakar pemanas ruang semuanya menunjukkan jenis pola ini. Untuk pola musiman kuartalan dapat dilihat Gambar 1.2.

Pola Data pada model Time-Series Pola siklis (C) terjadi bilamana datanya dipengaruhi oleh fluktuasi ekonomi jangka panjang seperti yang berhubungan dengan siklus bisnis. Contoh: Penjualan produk seperti mobil, baja, dan peralatan utama lainnya. Jenis pola ini dapat dilihat pada Gambar 1.3. Pola trend (T) terjadi bilamana terdapat kenaikan atau penurunan sekuler jangka panjang dalam data. Contoh: Penjualan banyak perusahaan, GNP dan berbagai indikator bisnis atau ekonomi lainnya. Jenis pola ini dapat dilihat pada Gambar 1.4.

Karakteristik Tren

Smoothing data Time-Series Tahunan Sebuah perusahaan berskala internasional bernama Cabot Corporation memiliki pendapatan tahunan dalam jutaan dollar seperti dalam tabel berikut: Year Revenue 1981 1622,8 1982 1587,7 1983 1558,0 1984 1752,5 1985 1407,5 1986 1309,9 1987 1424,0 1988 1676,6 1989 1936,9 1990 1684,7 1991 1488,0 1992 1562,2 1993 1618,5 1994 1686,6 1995 1840,9 1996 1865,2 1997 1636,7 1998 1652,8 1999 1699,0

Grafik Revenue dari Cabot Corp.

Grafik Revenue dari Cabot Corp. Dalam grafik revenue data tahunan dari Cabot Corp. cukup sulit bagi kita menarik kesimpulan apakah revenue jangka panjang memiliki tren naik atau turun. Kesulitan ini disebabkan oleh adanya fluktuasi naik dan turun dari revenue pada tahun2 tertentu. Untuk itu dibutuhkan metode smoothing untuk memperoleh tren atau pola data. Metode smoothing yang umum digunakan adalah Moving Averages dan Exponential Smoothing.

Moving Averages Metode moving averages untuk smoothing data time-series sangat subyektif dalam hal menentukan parameter L, yaitu panjang periode dari data yang akan digunakan untuk menentukan rata-rata (average). Sebagai contoh untuk nilai 𝐿=5, nilai dari moving averages ditentukan sebagai berikut:

Moving Averages (2) Pertama: 𝑀𝐴 1 5 = 𝑌 1 + 𝑌 2 + 𝑌 3 + 𝑌 4 + 𝑌 5 5 𝑀𝐴 1 5 = 𝑌 1 + 𝑌 2 + 𝑌 3 + 𝑌 4 + 𝑌 5 5 Kedua: 𝑀𝐴 2 5 = 𝑌 2 + 𝑌 3 + 𝑌 4 + 𝑌 5 + 𝑌 6 5 Ke-n: 𝑀𝐴 𝑛 5 = 𝑌 𝑛 + 𝑌 𝑛+1 + 𝑌 𝑛+2 + 𝑌 𝑛+3 + 𝑌 𝑛+4 5

Moving Averages untuk Cabot Corp. Year Revenue MA 3-Year MA 7-Year 1981 1622,8 #N/A 1982 1587,7 1589,5 1983 1558,0 1632,7 1984 1752,5 1572,7 1523,2 1985 1407,5 1490,0 1530,9 1986 1309,9 1380,5 1580,8 1987 1424,0 1470,2 1598,9 1988 1676,6 1679,2 1561,1 1989 1936,9 1766,1 1583,2 1990 1684,7 1703,2 1627,3 1991 1488,0 1578,3 1664,8 1992 1562,2 1556,2 1688,3 1993 1618,5 1622,4 1678,0 1994 1686,6 1715,3 1671,2 1995 1840,9 1797,6 1694,7 1996 1865,2 1780,9 1714,2 1997 1636,7 1718,2 1998 1652,8 1662,8 1999 1699,0

Moving Averages untuk Cabot Corp.

Contoh Year Coded Year Sales 1975 41,6 1976 1 48 1977 2 51,7 1978 3 55,9 1979 4 51,8 1980 5 57 1981 6 64,4 1982 7 60,8 1983 8 56,3 1984 9 53,2 1985 10 53,3 1986 11 51,6 1987 12 49 1988 13 38,6 1989 14 37,3 1990 15 43,8 1991 16 41,7 1992 17 38,3 1993 18 36,4 1994 19 38,4 1995 20 42,6 1996 21 34,8 1997 22 28,4 1998 23 23,9 1999 24 27,8 2000 25 42,1 Lakukan perhitungan Moving Averages dan Gambarkan grafik untuk data perusahaan pemroses makanan berikut (penjualan dalam juta $):

Exponential Smoothing Exponential smoothing (ES) adalah metode lain yang dapat digunakan untuk melakukan smoothing terhadap data time-series untuk mengetahui tren jangka panjang. Keuntungan lain dari Exponential smoothing (dibanding dengan moving averages) adalah bahwa metode ini dapat digunakan untuk melakukan peramalan jangka pendek (satu periode ke depan).

Exponential Smoothing (2) Rumus untuk menentukan ES series adalah sebagai berikut: 𝐸 1 = 𝑌 1 𝐸 𝑖 =𝑊 𝑌 𝑖 + 1−𝑊 𝐸 𝑖−1 Yang mana: 𝐸 𝑖 =nilai dari exponential smoothing yang dihitung pada periode waktu 𝑖. 𝑌 𝑖 =nilai dari data time series dalam observasi. 𝑊=bobot atau koefisien smoothing yang ditentukan secara subyektif.

Exponential Smoothing (3) Seperti terlihat pada rumus, ES pada dasarnya merupakan exponentially weighted moving averages. Nilai dari ES selalu bergantung pada data observasi sebelumnya, sedemikian sehingga bobot (weight) yang diberikan kepada data yang sedang diobservasi saat ini menurun dari waktu kewaktu. Maksudnya adalah: data yang sedang diobservasi sekarang memiliki bobot paling besar, sedang data-data yang telah diobservasi sebelumnya memiliki bobot lebih kecil.

Exponential Smoothing (4) Pemilihan bobot pada ES adalah kritikal karena berpengaruh terhadap hasil secara langsung. Apabila tujuan utama adalah melakukan smoothing dengan membuang pola siklis dan pola yang tidak teratur maka gunakan bobot dengan nilai kecil (𝑊 mendekati nilai 0). Apabila tujuan utama adalah melakukan peramalan gunakan bobot dengan nilai besar (𝑊 mendekati nilai 1)

ES untuk Cabot Corp. Year Revenue ES(W=.50) ES(W=.25) 1981 1622,8 1982 1587,7 1605,3 1614,0 1983 1558,0 1581,6 1600,0 1984 1752,5 1667,1 1638,1 1985 1407,5 1537,3 1580,5 1986 1309,9 1423,6 1512,8 1987 1424,0 1423,8 1490,6 1988 1676,6 1550,2 1537,1 1989 1936,9 1743,5 1637,1 1990 1684,7 1714,1 1649,0 1991 1488,0 1601,1 1608,7 1992 1562,2 1597,1 1993 1618,5 1600,1 1602,4 1994 1686,6 1643,3 1623,5 1995 1840,9 1742,1 1677,8 1996 1865,2 1803,7 1724,7 1997 1636,7 1720,2 1702,7 1998 1652,8 1686,5 1690,2 1999 1699,0 1692,7 1692,4

ES untuk Cabot Corp.

Menggunakan ES untuk Peramalan Untuk menggunakan ES sebagai fungsi peramalan gunakan prinsip bahwa: nilai ES pada saat ini merupakan nilai ramalan untuk waktu 1 langkah ke depan dari saat ini, yaitu: 𝑌 𝑖+1 = 𝐸 𝑖 Contoh: Untuk Data Cabot Corp (untuk W=0,25), Nilai ramalan 𝑌 2000 = 𝐸 1999 =1692,4.

Contoh Year Coded Year Sales 1975 41,6 1976 1 48 1977 2 51,7 1978 3 55,9 1979 4 51,8 1980 5 57 1981 6 64,4 1982 7 60,8 1983 8 56,3 1984 9 53,2 1985 10 53,3 1986 11 51,6 1987 12 49 1988 13 38,6 1989 14 37,3 1990 15 43,8 1991 16 41,7 1992 17 38,3 1993 18 36,4 1994 19 38,4 1995 20 42,6 1996 21 34,8 1997 22 28,4 1998 23 23,9 1999 24 27,8 2000 25 42,1 Lakukan perhitungan Exponensial Smoothing dan Gambarkan grafik untuk data perusahaan pemroses makanan berikut (penjualan dalam juta $) untuk W=0,2 dan W=0,7.

Pencocokan Tren dan Peramalan Komponen dari time-series yang paling sering dipelajari adalah tren. Karena itu dibutuhkan cara untuk melakukan pencocokan tren (trend fitting). Salah satu metode pencocokan tren yang paling banyak digunakan adalah metode kuadrat terkecil (least-squares), terdiri atas: metode tren linier, metode tren kuadrat dan metode tren exponensial.

Model Tren Linier Model paling sederhana untuk tren linier adalah menggunakan model regresi linier, dengan rumusan: 𝑌 𝑖 = 𝑏 0 + 𝑏 1 𝑋 𝑖 Yang mana: 𝑌 𝑖 adalah prediksi dari Y pada observasi ke-i. 𝑋 𝑖 adalah nilai X pada observasi ke-i.

Model Tren Linier (2) Dalam rumus regresi linier di atas, metode kuadrat terkecil digunakan untuk mencari nilai 𝑏 0 , yaitu intersep, dan mencari nilai 𝑏 1 , yaitu slope/kemiringan garis. 𝑏 1 = 𝑆𝑆𝑋𝑌 𝑆𝑆𝑋 𝑆𝑆𝑋𝑌= 𝑖=1 𝑛 𝑋 𝑖 𝑌 𝑖 − 𝑖=1 𝑛 𝑋 𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑌 𝑖 𝑛 𝑆𝑆𝑋= 𝑖=1 𝑛 𝑋 𝑖 2 − 𝑖=1 𝑛 𝑋 𝑖 2 𝑛 𝑏 0 = 𝑌 − 𝑏 1 𝑋 , 𝑌 = 𝑖=1 𝑛 𝑌 𝑖 𝑛 , 𝑋 = 𝑖=1 𝑛 𝑋 𝑖 𝑛

Regresi Linier untuk Cabot Corp. X Year Revenue (Y) X.Y X^2 1981 1622,8 SSXY= 6013,3 1 1982 1587,7 SSX= 570 2 1983 1558 3116 4 3 1984 1752,5 5257,5 9 b1= 10,54965 1985 1407,5 5630 16 5 1986 1309,9 6549,5 25 b0= 1537,185 6 1987 1424 8544 36 7 1988 1676,6 11736,2 49 8 1989 1936,9 15495,2 64 1990 1684,7 15162,3 81 10 1991 1488 14880 100 11 1992 1562,2 17184,2 121 12 1993 1618,5 19422 144 13 1994 1686,6 21925,8 169 14 1995 1840,9 25772,6 196 15 1996 1865,2 27978 225 1997 1636,7 26187,2 256 17 1998 1652,8 28097,6 289 18 1999 1699 30582 324 Jumlah: 171   31010,5 285107,8 2109 Rata-rata: 1632,131579

Regresi Linier untuk Cabot Corp. (2) X Y (prediksi) 1.537,18 1 1.547,73 2 1.558,28 3 1.568,83 4 1.579,38 5 1.589,93 6 1.600,48 7 1.611,03 8 1.621,58 9 1.632,13 10 1.642,68 11 1.653,23 12 1.663,78 13 1.674,33 14 1.684,88 15 1.695,43 16 1.705,98 17 1.716,53 18 1.727,08

Year Real 1975 9,3 1976 9,5 1977 9,9 1978 10,7 1979 11,0 1980 11,8 1981 11,3 1982 11,2 1983 10,2 1984 1985 1986 10,5 1987 11,7 1988 14,4 1989 14,8 1990 14,5 1991 14,2 1992 1993 1994 9,2 1995 10,0 1996 10,3 1997 9,0 1998 8,2 1999 8,5 Contoh Tentukan tren linier dengan menggunakan model regresi linier untuk data revenue (dalam miliar $) dari perusahaan Eastman Kodak sejak tahun 1975 sampai tahun 1999 berikut ini. Tentukan koefisien 𝑏 1 dan 𝑏 0 , Gambarkan grafik revenue dan tren linier tersebut.

Model Tren Kuadratik Model tren kuadratik digunakan untuk mencari tren dari data time-series yang berfluktuasi mengikuti model fungsi kuadrat, dengan rumusan: 𝑌 𝑖 = 𝑏 0 + 𝑏 1 𝑋 𝑖 + 𝑏 2 𝑋 𝑖 2 Yang mana: 𝑌 𝑖 adalah prediksi dari Y pada observasi ke-i. 𝑋 𝑖 adalah nilai X pada observasi ke-i.

Model Tren Kuadratik (2) Parameter-parameter 𝑏 0 , 𝑏 1 dan 𝑏 2 ditentukan dengan deretan rumus di bawah ini: 𝑏 1 = 𝛾𝛿−𝜃𝛼 𝛾𝛽− 𝛼 2 Yang mana: 𝛾= 𝑖=1 𝑛 𝑋 𝑖 2 2 −𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑋 𝑖 4

Model Tren Kuadratik (2) 𝛿= 𝑖=1 𝑛 𝑋 𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑌 𝑖 −𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑋 𝑖 𝑌 𝑖 𝜃= 𝑖=1 𝑛 𝑋 𝑖 2 𝑖=1 𝑛 𝑌 𝑖 −𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑋 𝑖 2 𝑌 𝑖 𝛼= 𝑖=1 𝑛 𝑋 𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑋 𝑖 2 −𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑋 𝑖 3 𝛽= 𝑖=1 𝑛 𝑋 𝑖 2 −𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑋 𝑖 2

Model Tren Kuadratik (3) 𝑏 2 = 𝜃− 𝑏 1 𝛼 𝛾 𝑏 0 = 𝑖=1 𝑛 𝑌 𝑖 𝑛 − 𝑏 1 𝑖=1 𝑛 𝑋 𝑖 𝑛 − 𝑏 2 𝑖=1 𝑛 𝑋 𝑖 2 𝑛

Year Real 1975 9,3 1976 9,5 1977 9,9 1978 10,7 1979 11,0 1980 11,8 1981 11,3 1982 11,2 1983 10,2 1984 1985 1986 10,5 1987 11,7 1988 14,4 1989 14,8 1990 14,5 1991 14,2 1992 1993 1994 9,2 1995 10,0 1996 10,3 1997 9,0 1998 8,2 1999 8,5 Contoh Tentukan tren kuadratik dengan menggunakan model regresi multilinier untuk data revenue (dalam miliar $) dari perusahaan Eastman Kodak sejak tahun 1975 sampai tahun 1999 berikut ini. Tentukan koefisien 𝑏 2 , 𝑏 1 dan 𝑏 0 , Gambarkan grafik revenue dan tren kuadratik tersebut.

Metode Tren Exponential Model tren exponential digunakan untuk mencari tren dari data time-series yang berfluktuasi mengikuti model fungsi exponential, dengan rumusan: log 𝑌 𝑖 = 𝑏 0 + 𝑏 1 𝑋 𝑖 𝑏 0 adalah estimasi dari log 𝛽 0 𝑏 1 adalah estimasi dari log 𝛽 1 , sehingga: 𝑌 𝑖 = 𝛽 𝟎 𝛽 𝟏 𝑿 𝒊

Year Real 1975 9,3 1976 9,5 1977 9,9 1978 10,7 1979 11,0 1980 11,8 1981 11,3 1982 11,2 1983 10,2 1984 1985 1986 10,5 1987 11,7 1988 14,4 1989 14,8 1990 14,5 1991 14,2 1992 1993 1994 9,2 1995 10,0 1996 10,3 1997 9,0 1998 8,2 1999 8,5 Contoh Tentukan tren exponential dengan menggunakan model regresi linier untuk data revenue (dalam miliar $) dari perusahaan Eastman Kodak sejak tahun 1975 sampai tahun 1999 berikut ini. Tentukan koefisien 𝑏 1 dan 𝑏 0 , Gambarkan grafik revenue dan tren exponential tersebut.

Model Autoregressive Model autoregressive adalah metode lain selain ketiga metode least-squares yang telah di bahas sebelumnya untuk pencocokan tren dan peramalan. Model autoregressive dengan order 𝑝, seringkali dituliskan sebagai AR 𝑝 . Rumusan AR 𝑝 : 𝑌 𝑖 = 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑌 𝑖−1 + 𝑎 2 𝑌 𝑖−2 +⋯+ 𝑎 𝑝 𝑌 𝑖−𝑝

Model Autoregressive Keterangan dari rumus di atas: 𝑌 𝑖 =nilai pencocokan (fitted value) dari data untuk waktu ke-𝑖. 𝑌 𝑖−1 =nilai observasi data untuk waktu ke- (𝑖−1). 𝑌 𝑖−2 =nilai observasi data untuk waktu ke- (𝑖−2). 𝑌 𝑖−𝑝 =nilai observasi data untuk waktu ke- (𝑖−𝑝). 𝑎 0 , 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 𝑝 =koefisien estimasi dari regresi.

Model Autoregressive Untuk menentukan peramalan sebanyak 𝑗 tahun ke depan dari periode waktu sekarang ke 𝑛, digunakan rumusan sebagai berikut: 𝑌 𝑛+𝑗 = 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑌 𝑛+𝑗−1 + 𝑎 2 𝑌 𝑛+𝑗−2 +⋯+ 𝑎 𝑝 𝑌 𝑛+𝑗−𝑝

Model Autoregressive Contoh: Untuk meramalkan sebanyak 𝑗 tahun ke depan dengan menggunakan AR(2), hanya dibutuhkan sebanyak 𝑝=2 data observasi terbaru yaitu: 𝑌 𝑛 dan 𝑌 𝑛−1 . Sehingga: Ramalan 1 tahun ke depan menjadi: 𝑌 𝑛+1 = 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑌 𝑛 + 𝑎 2 𝑌 𝑛−1 Ramalan 2 tahun ke depan menjadi: 𝑌 𝑛+2 = 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑌 𝑛+1 + 𝑎 2 𝑌 𝑛

Beberapa Metode Perhitungan Kesalahan Untuk menghitung tingkat kesalahan dapat digunakan 2 buah metode yang paling umum digunakan seperti di bawah ini: Mean Squared error (MSE): 𝑀𝑆𝐸= 𝑖=1 𝑛 𝑌 𝑖 − 𝑌 𝑖 2 𝑛 Mean Absolute Percentage Error (MAPE): 𝑀𝐴𝑃𝐸=100 𝑖=1 𝑛 𝑌 𝑖 − 𝑌 𝑖 𝑌 𝑖 𝑛