Dasar probabilitas.

Slides:



Advertisements
Presentasi serupa
Sistem Tunggu (Delay System)
Advertisements

START.
Bab 4 Basic Probability Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.
Pertemuan II SEBARAN PEUBAH ACAK
Menunjukkan berbagai peralatan TIK melalui gambar
BAB 8 Estimasi Interval Kepercayaan
1 ANALISA VARIABEL KOMPLEKS Oleh: Drs. Toto’ Bara Setiawan, M.Si. (
Tugas Praktikum 1 Dani Firdaus  1,12,23,34 Amanda  2,13,24,35 Dede  3,14,25,36 Gregorius  4,15,26,37 Mirza  5,16,27,38 M. Ari  6,17,28,39 Mughni.
Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi
Korelasi dan Regresi Ganda
Bab 11A Nonparametrik: Data Frekuensi Bab 11A.
DISTRIBUSI PROBABILITAS
BAB 2 PENERAPAN HUKUM I PADA SISTEM TERTUTUP.
MATRIKS Trihastuti Agustinah.
4. PROSES POISSON Prostok-4-firda.
KONSEP DASAR PROBABILITAS
Bab 6B Distribusi Probabilitas Pensampelan
ASIKNYA BELAJAR MATEMATIKA
Pendahuluan Landasan Teori.
HITUNG INTEGRAL INTEGRAL TAK TENTU.
Integral Lipat-Tiga.
DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET
Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini
Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Barisan Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat – sifat barisan Barisan Monoton.
: : Sisa Waktu.
Luas Daerah ( Integral ).
KONSEP DASAR PROBABILITAS
PEMINDAHAN HAK DENGAN INBRENG
Fungsi Invers, Eksponensial, Logaritma, dan Trigonometri
FUNGSI MATEMATIKA DISKRIT K- 6 Universitas Indonesia
Pemrograman Terstruktur
Probabilitas & Distribusi Probabilitas
Amno.statistika,agroekotek.fpub2013
Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini
Peluang.
3 Peubah Acak Diskrit dan Sebaran Peluangnya.
Kuliah ke 12 DISTRIBUSI SAMPLING
PELUANG SUATU KEJADIAN
PENGUJIAN HIPOTESA Probo Hardini stapro.
DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET
Waniwatining II. HIMPUNAN 1. Definisi
KONSEP DASAR PROBABILITAS
FUNGSI STRUKTUR DISKRIT K-8 Program Studi Teknik Komputer
Bahan Kuliah IF2091 Struktur Diskrit
Algoritma Branch and Bound
VARIABEL RANDOM.
Bahan Kuliah IF2120 Matematika Diskrit Oleh: Rinaldi Munir
Probabilitas Bagian 2.
BAB XII PROBABILITAS (Aturan Dasar Probabilitas) (Pertemuan ke-27)
BAGIAN - 8 Teori Probabilitas.
USAHA DAN ENERGI ENTER Klik ENTER untuk mulai...
Statistika Deskriptif: Distribusi Proporsi
Bahan Kuliah IF2120 Matematika Diskrit
KEJADIAN dan PELUANG SUATU KEJADIAN
7. RANTAI MARKOV WAKTU KONTINU (Kelahiran&Kematian Murni)
Pohon (bagian ke 6) Matematika Diskrit.
DISTRIBUSI PELUANG Pertemuan ke 5.
Pengantar sistem informasi Rahma dhania salamah msp.
Probabilitas dalam Trafik
Pertemuan 05 Sebaran Peubah Acak Diskrit
Bab 2 PROBABILITAS.
F2F-7: Analisis teori simulasi
Dasar probabilitas.
Sukiswo RANDOM VARIABLES Sukiswo Rekayasa Trafik, Sukiswo.
Review probabilitas (2)
Review probabilitas (1)
Tutun Juhana Review probabilitas Tutun Juhana
Tutun Juhana Review probabilitas Tutun Juhana
Random Variable (Peubah Acak)
1. TEORI PENDUKUNG 1.1 Pendahuluan 1.2 Variabel acak
Transcript presentasi:

Dasar probabilitas

Sample space, sample points, events Sample space,, adalah sekumpulan semua sample points,, yang mungkin; dimana  Contoh 1. Melemparkan satu buah koin:={Gambar,Angka} Contoh 2. Menggelindingkan dadu: ={1,2,3,4,5,6} Contoh 3. Jumlah pelanggan dalam antrian: ={0,1,2,…} Contoh 4. Waktu pendudukan panggilan (call holding time): ={xx>0} Events A,B,C,…   adalah himpunan bagian (yang dapat diukur) dari sample space Contoh 1. Angka genap pada sebuah dadu:A={2,4,6} Contoh 2. Tidak ada pelanggan yang mengantri : A={0} Contoh 3. Call holding time lebih dari 3 menit. A={xx>3}  adalah kumpulan semua events Event yang pasti : sample space  merupakan elemen dari  Event yang tidak mungkin : himpunan kosong  yang juga merupakan anggota 

Kombinasi event Union (gabungan) :“A atau B” : AB={A atau B} Irisan: “A dan B” : AB={A dan B} Komplemen : “bukan A”:Ac={A} Event A dan B disebut tidak beririsan (disjoint) bila : AB= Sekumpulan event {B1,B2,…} merupakan partisi dari event A jika (i) Bi  Bj= untuk semua ij (ii) iBi =A

Probabilitas (peluang) Probabilitas suatu event dinyatakan oleh P(A) P(A)[0,1] Sifat-sifat peluang

Conditional Probability (Peluang bersyarat) Asumsikan bahwa P(B)>0 Definisi : Conditional probability dari suatu event A bila diketahui event B terjadi didefinisikan sebagai berikut Dengan demikian

Teorema Probabilitas Total Bila {Bi} merupakan partisi dari sample space  Lalu {ABi} merupakan partisi dari event A, maka berdasarkan sifat probabilitas yang ketujuh pada slide nomor 4 Kemudian asumsikan bahwa P(Bi)>0 untuk semua i. Maka berdasarkan uraian pada slide nomor 5 dapat didefinisikan teorema probabilitas total sbb

Contoh: Suatu berkas saluran terdiri dari 2 saluran : P(k)= Prob bahwa saluran baik. P(0)=0,2; P(1)=0,3; P(2)=0,5 Dan E(k)=Prob bahwa suatu panggilan diblok, bila diketahui k saluran baik. E(0)=1;E(1)=2/3 dan E(2)=2/5 Berapa besar probabilitas suatu panggilan diblok?dan Berapa besar probabilitas suatu panggilan tidak di blok?

Di blok 1 0 sal.baik Tidak di blok 0,2 2/3 Di blok 0,3 1/3 1 sal baik Tidak di blok 0,5 2/5 Di blok 2 sal. baik 3/5 Tidak di blok

Jawab: Prob suatu panggilan di blok= P(0).E(0)+P(1).E(1) +P(2).E(2)= 0,2.1 +0,3.(1/3) +0,5.(2/5)=0,6 Prob suatu panggilan tidak di blok= 0,2.0 +0,3.(2/3)+0,5.(3/5) =0,4

Teorema Bayes Bila {Bi} merupakan partisi dari sample space  Asumsikan bahwa P(A)>0 dan P(Bi)>0 untuk semua i. Maka berdasarkan uraian pada slide nomor 5 Kemudian, berdasarkan teorema probabilitas total, kita peroleh Ini merupakan teorema Bayes Peluang P(Bi) disebut peluang a priori dari event Bi Peluang P(BiA) disebut peluang a posteriori dari event Bi (bila diketahui event A terjadi)

Kesalingbebasan statistik dari event (Statistical independence of event) Definisi : Event A dan B saling bebas (independent) jika Dengan demikian Demikian pula

Peubah acak (random variables) Definisi : Peubah acak X (yang merupakan bilangan riil [real-valued]) adalah fungsi bernilai riil dan dapat diukur yang didefinisikan pada sample space ;X:    Setiap titik sample (sample points) wW dihubungkan dengan sebuah bilangan riil X(w) Dapat diukur memiliki arti bahwa semua himpunan yang berbentuk berasal dari kumpulan event , yaitu Peluang event yang seperti itu dinyatakan oleh P{X  x}

Contoh Sebuah koin dilempar (menghasilkan head (H) atau tail (T) Sample space: Misalnya peubah acak X merupakan jumlah total tail (T) dalam ketiga eksperimen pelemparan koin tersebut, maka :

Indikator dari suatu event Misalkan A   merupakan suatu event Definisi : indikator dari suatu event A adalah peubah acak yang didefinisikan sbb: Maka

Probability Distribution Function (PDF) Definisi : PDF dari suatu peubah acak X adalah fungsi FX:   [0,1] yang didefinisikan sebagai berikut PDF menentukan distribusi dari peubah acak Peluang P{XB}, dimana B  dan {XB}  Sifat

Kesalingbebasan statistik dari peubah acak (Statistical independence of random variables) Definisi : Peubah acak X dan Y saling bebas jika untuk semua x dan y Definisi : Peubah acak X1, …,Xn saling bebas jika untuk semua i dan xi

Maximum dan minimum dari peubah acak yang saling bebas Misalkan peubah acak X1,…,Xn saling bebas Bila Xmax:=max{X1,…,Xn}, maka Bila Xmin:=min{X1,…,Xn}, maka

Peubah acak diskrit Definisi : himpunan A disebut diskrit bila Terbatas : A={x1,…,xn}, atau Tak terbatas : A={x1,x2,…} Definisi : peubah acak X disebut diskrit bila terdapat sebuah himpunan diskrit Sx sedemikian hingga Maka P{X=x}  0 untuk semua x  Sx P{X=x}  0 untuk semua x  Sx Himpunan Sx disebut himpunan nilai (value set)

Peluang titik (point probabilities) Misalkan X adalah peubah acak diskrit Distribusi X ditentukan oleh peluang titik pi Definisi : probability mass function (pmf) dari X adalah merupakan fungsi pX:   [0,1] yang didefinisikan sbb Pada kasus ini, PDF merupakan fungsi step

Contoh

Kesalingbebasan peubah acak Peubah acak diskrit X dan Y dikatakan saling bebas jika dan hanya jika untuk semua xiSX dan yjSy

Ekspektasi (harapan,rataan) Definisi : Harga ekspektasi (rata-rata/mean value) dari X dinyatakan oleh Catatan 1: ekspektasi akan ada hanya jika Catatan 2 : Jika , maka Sifat-sifat

Suatu berkas saluran terdiri dari 10 saluran: P(Xi) Xi.P(Xi) Contoh: Suatu berkas saluran terdiri dari 10 saluran: Jumlah sal yang di duduki P(Xi) Xi.P(Xi) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,20 0,19 0,16 0,13 0,10 0,07 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0,32 0,39 0,40 0,35 0,30 0,28 0,24 0,18 2,75 Total 1

Nilai di atas menunjukkan harga rata-rata dari jumlah saluran yang di duduki terus menerus dalam 1 jam sibuk (A). Sehingga dari contoh, nilai 2,75 menunjukkan bahwa dalam 1 jam sibuk diharapkan 2,75 saluran di duduki.

1 Jam 1 2 10

Variance Definisi : Variance dari X didefinisikan sbb Rumus yang bermanfaat Sifat-sifat

Covariance Definisi : Covariance antara X dan Y didefinisikan sbb Rumus yang bermanfaat Sifat-sifat

Parameter lain yang berhubungan dengan distribusi Deviasi standard dari X Koefisien perubahan (coefficient of variation) dari X Momen ke-k dari X

Rata-rata dari peubah acak IID Misalkan X1,…,Xn saling bebas dan teridistribusi secara identik (independent and identically distributed [IID]) dengan m dan variance s2 Rata-rata-nya(average/sample mean) Maka

Law of large numbers (LLN)

Distribusi Bernoulli Menyatakan suatu eksperimen acak dengan dua keluaran yang mungkin Sukses (1) : “Probabilitas di duduki” (P) Gagal (0) : “Probabilitas bebas” (q= 1-P) Nilai 1 berpeluang p (nilai 0 untuk peluang 1-p)

Distribusi binomial Menyatakan jumlah sukses dalam sejumlah eksperimen acak yang saling bebas (masing-masing eksperimen bersifat Bernoulli); n = jumlah total eksperimen p = peluang sukses dalam suatu eksperimen

1 2 n Prob. P(X=i) saluran diduduki = P(x):

Contoh: Suatu berkas saluran terdiri dari 12 saluran, dengan probabilitas diduduki untuk setiap saluran 0,3. tentukan probabilitas: Tak ada saluran yang diduduki? 10 saluran diduduki?

Distribusi geometrik Menyatakan jumlah sukses yang terjadi sampai didapatkan kegagalan yang pertama dari sejumlah eksperimen acak yang saling bebas (masing-masing eksperimen bersifat Bernoulli) p = peluang sukses dalam suatu eksperimen

Sifat memoryless Distribusi geometrik mempunyai sifat memoryless yaitu untuk semua i,j {0,1…}

Minimum dari peubah acak geometrik

Distribusi Poisson Limit dari distribusi binomial dimana n  dan p  0, sedemikian hingga np  a

Contoh Asumsikan Maka jumlah panggilan yang aktif X ~ Bin(200,0.01) 200 pelanggan terhubung ke sentral lokal Trafik setiap pelanggan adalah 0.01 Pelanggan saling bebas Maka jumlah panggilan yang aktif X ~ Bin(200,0.01) Pendekatan Poisson X  Poisson(2,0) Peluang titik

Sifat-sifat distribusi Poisson Penjumlahan (sum) : Bila X1~Poisson(a1) dan X2~Poisson(a2) saling bebas, maka X1+ X2 ~Poisson(a1+ a2) Random sample : Misalkan X~Poisson(a) menyatakan jumlah elemen dalam suatu himpunan, dan Y menyatakan ukuran random sample dari himpunan tersebut (setiap elemen diambil secara saling bebas dengan peluang p), maka Y~Poisson (pa) Random sorting: Misalkan X dan Y seperti pada (ii), dan Z=X-Y, maka Y dan Z adalah saling bebas (bila X tidak diketahui) dan Z~Poisson ((1-p)a)

Peubah acak kontinu Definisi : peubah acak X kontinu jika terdapat fungsi yang dapat diintegralkan fX:+, sedemikian hingga untuk semua x Fungsi fX disebut probability density function (pdf) Himpunan SX, dimana fX>0 disebut value set Sifat-sifat

Contoh

Ekspektasi dan parameter lain Ekspektasi (nilai rata-rata/mean value) dari X didefinisikan sbb Note 1: Ekspektasi ada hanya jika Note 2: Jika , maka Sifat sama dengan distribusi diskrit Parameter distrubusi lainnya didefinisikan dan memiliki sifat yang sama seperti pada distribusi diskrit

Distribusi Uniform (X~U(a,b), a<b)

Distribusi Eksponensial (X~Exp(l), l>0) Versi kontinu dari distribusi geometrik (peluang gagal  ldt)

Sifat memoryless Distribusi eksponensial mempunyai sifat memoryless untuk semua x,y(0,) P{X>x+yX>x}=P{X>y} Aplikasi Asumsikan bahwa call holding time terdistribusi secara eksponensial dengan mean (rata-rata) h Misalnya suatu panggilan telah berakhir selama x menit. Dengan sifat memoryless, hal ini memberi informasi tentang lamanya waktu holding time yang masih tersisa : juga terdistribusi seperti holding time yang asli Ekspektasi dari holding time sisa adalah selalu h

Minimum dari peubah acak eksponensial

Distribusi normal (Gaussian) ternormalisasi (X ~ N(0,1))

Distibusi normal (Gaussian)

Sifat-sifat distribusi Gaussian

Central Limit Theorem (CLT)