Dalam Sinyal Waktu-Kontinu & sinyal Waktu Diskrit Konsep Frekuensi Dalam Sinyal Waktu-Kontinu & sinyal Waktu Diskrit

1. Sinyal Sinusoidal Waktu – kontinu T=1/F t Ω = 2πF adalah frekuensi dalam rad/s F = frekuensi dalam putaran per sekon (Hz) A= Amplitudo sinusoida θ = fase dalam radian Sinyal dasar Eksponensial dng α imajiner t

2.Sinyal Sinusoida Waktu-Diskrit n -A Dimana ω = 2πf f = putaran per cuplikan

Typical real time DSP System x(n) y(n) y(t) x(t) Input filter ADC with sample & hold Digital Prosesor DAC Output filter

Analog to Digital converter Kuantisasi Pengkodeaan 01011….. Pencuplikan Sinyal Analog Sinyal Waktu Diskrit Sinyal Terkuantisasi Sinyal Digital

Analog to Digital Conversion Process Sample & Hold LPF Quantizer Encoder F 2B Logic Circuit X(n) Digital output code X(t) Analog input Untuk proses gambar diatas ada tiga tipe identifikasi : Sinyal input analog : Sinyal kontinu dalam fungsi waktu dan amplitudo. Sinyal di-sample : Amplitudo Sinyal kontinu didefinisikan sebagai diskrit point dalam waktu. Sinyal digital : dimana x(n),untuk n=0,1,2,…….Sinyal dalam sumbu poin diskrit dalam waktu dan masing-masing poin akan dihasilkan nilai 2B.

Proses Konversi Analog ke Digital Ada tiga langkah dalam proses konversi : Pencuplikan ( Sampling) : konversi sinyal analog ke dalam sinyal amplitudo kontinu waktu diskrit. Kuantisasi : konversi masing-masing amplitudo kontinu waktu diskrit dari sinyal sample dikuantisasi dalam level 2B , dimana B adalah number bit yang digunakan untuk reprentasi dalam Analog to Digital Conversion (ADC). Pengkodean : Setiap sinyal amplitudo diskrit yang dikuantisasi direprentasikan kedalam suatu barisan bilangan biner dari masing-masing bit.

Pencuplikan Sinyal Analog Pencuplikan periodik atau seragam: Fs=1/T, t=nT=n/Fs Diskripsi : x(n)=xa(nT), -~< n< ~ Fs=1/T X(n)=Xa(nT) Sinyal analog Sinyal waktu diskrit Xa(t) Pencuplikan Xa(t) X(n) Xa(t) X(n)=Xa(nT) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t n

f =F/Fs ekuivalen :  = T Sinyal Sinusoida analog : Xa(t) = A Cos (2Ft +  ) Pencuplikan periodik dengan laju Fs=1/T (cuplikan per sekon ), maka : Hubungan frekuensi (F) sinyal analog dan frekuensi (f) untuk sinyal diskrit: f =F/Fs ekuivalen :  = T f = Frekuensi relatif atau ternormalisasi ( f dapat menentukan F dalam Herzt ) Sehingga untuk interval sinusoida waktu kontinu: - < F < ~ - <  < ~ Untuk sinusoida waktu diskrit terdapat hubungan sbb :

Hubungan Variabel Frekuensi Sinyal waktu kontinu Sinyal waktu diskrit  = 2F  = 2f (Rad/sekon) (Rad/cuplikan)  =T, f = F/Fs - ≤  ≤  -1/2 ≤ f ≤ 1/2  = /T , F = f.Fs -  <  <  - ~ < F <  - /T ≤  ≤ /T - Fs/2 ≤ F ≤ Fs/2

Hubungan variabel Frekuensi sinyal kontinyu dan diskrit Fs/2 -Fs/2 Fs -Fs 1/2 -1/2  - f  F

Tentukan frekuensi kedua sinyal tersebut. Pemakaian hubungan-hubungan frekuensi dicontohkan dengan dua sinyal analog berikut : X1(t) = cos 20πt X2(t) = cos 100πt Tentukan frekuensi kedua sinyal tersebut. Tentukan fungsi sinyal diskrit bila dicuplik dengan laju Fs = 40 Hz INGAT cos (2π ± a) = cos a sin (2π + a) = sin a sin (2π - a) = -sin a

x2(n) identik dengan x1(n) F2 (50 Hz) = alias dari F1(10 Hz) 90 Hz, 130 Hz, …. juga alias 10 Hz

TEOREMA PENCUPLIKAN ( SAMPLING ) Sinyal Analog : Xa(t), Fmax = B, Laju cuplikan Fs > 2Fmax  (2B), maka dapat diperoleh kembali dari nilai cuplikan dengan fungsi interpolasi : dimana : Untuk : Xa(n/Fs) = Xa(nT)  X(n) merupakan cuplikan-cuplikan dari Xa(t) Laju cuplikan minimum Fs = 2B, maka formula penyusunan ulang dari cuplikan menjadi kontinyu adalah : Laju pencuplikan : FN = 2B = 2Fmax = Laju Nyquist

Syarat Nyquist : untuk menjamin bahwa seluruh komponen sinusoida sinyal analog menjadi sinyal diskrit adalah Fs ≥ 2 Fmax(analog) Apabila tidak terpenuhi maka akan terjadi aliasing.

Frekuensi alias Misal ada 2 sinal analog : -> x1(t) = A sin 2 (10) t ….. (a) -> x2(t) = A sin 2 (50) t ……(b) Kedua sinyal dicuplik dengan laju Fs = 40 Hz, sehingga sinyal digital (waktu-diskrit) masing-masing: -> x1(n) = A sin 2 (10/40)n = sin (/2) n ……(c) -> x2(n) = A sin 2 (50/40)n = sin (5/2) n …..(d)

Fk = frekuensi sinyal analog ke k; =50 dicontoh (b) Karena : sin (5/2) n = sin (2n + n/2 ) = sin n/2 Maka : Sinyal analog pers (a) dan (b) setelah dicuplik dgn frekuensi Fs = 40 Hz akan menghasilkan digital yg sama, sehingga frek. Sinyal analog x2(t) merupakan alias dari x1(t), jadi frekuensi alias terjadi jika : Fk = Fo + k Fs Dengan : k = ±1,±2, … Fk = frekuensi sinyal analog ke k; =50 dicontoh (b) F0 = frekuensi sinyal analog ke dasar,=10 dicontoh (a) Fs = frekuensi sampling, = 40

Ilustrasi Pengaliasan pencuplikan yang sama pada 2 sinyal dengan frekuensi berbeda.

Xa(t)= 3 cos 100πt Perhatikan sinyal analog Tentukan laju pencuplikan minimum yang dibutuhkan untuk menghindari pengaliasan. Andaikan sinyal tersebut dicuplik dengan laju Fs=200Hz. Berapa sinyal waktu-diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan. Andaikan sinyal tersebut dicuplik dengan laju Fs=75Hz. Berapa sinyal waktu-diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan. Berdasarkan hasil sinyal diskrit soal c, Berapa frekuensi dan fungsi dari sinyal sinusoidal berdasar hasil cuplikan Fs=75 Hz.

b) a) F = 50 Hz dengan Fs minimum = 100 Hz Diketahui sebuah sinyal analog xa(t) = 3 cos 100t Tentukan Fs minimum Bila Fs = 200 Hz, tentukan x(n) Bila Fs = 75 Hz, tentukan x(n) Berapa 0 < F < Fs/2 yang menghasilkan x(n) sama dengan c) Jawab: a) F = 50 Hz dengan Fs minimum = 100 Hz b)

c) d)

Xa(t) = 3 cos 2000t + 5 sin 6000t + 10 cos 12000t Sinyal Analog : Xa(t) = 3 cos 2000t + 5 sin 6000t + 10 cos 12000t Berapa laju Nyquist ? Jika laju pencuplikan Fs = 5000 cuplikan/detik. Berapa sinyal waktu diskrit yang diperoleh setelah pencuplikan? Berapa sinyal analog yang dapat dibentuk ulang dengan Fs=5000cuplikan/detik Hal. 29-30

a) Jawab: Diketahui sebuah sinyal analog xa(t) = 3 cos (2000 t) + 5sin(6000 t) + 10 cos (12000 t) a) Tentukan frekuensi Nyquistnya b) Bila Fs = 5000 Hz, tentukan x(n) c) Tentukan xa(t) dari x(n) pada b) bila proses D/A Cnya sempurna Jawab: a)

b)

c)

KUANTISASI SINYAL AMPLITUDO-KONTINU Proses pengkonversian suatu sinyal amplitudo-kontinu waktu diskrit menjadi sinyal digital dengan menyatakan setiap nilai cuplikan sebagai suatu angka digit, dinyatakan dengan : X(n) merupakan hasil pencuplikan, Q[X(n)] merupakan proses kuantisasi Xq( n) merupakan deret cuplikan terkuantisasi :

Konsep kuantisasi (lanj.)

KESALAHAN KUANTISASI/ Kebisingan Kuantisasi /Galat Kuantisasi/ Error Kuantisasi ( eq(n) ) Diperoleh dari kesalahan yang ditampilkan oleh sinyal bernilai kontinu dengan himpunan tingkat nilai diskrit berhingga. Sec Matematis, merupakan deret dari selisih nilai terkuantisasi dengan nilai cuplikan yang sebenarnya. eq(n) = Xq (n) – X (n)

KUANTISASI SINYAL SINUSOIDA Diskritsasi waktu Diskritsasi amplitudo Sampel analog Aslinya Xa(t) 4 Amplitudo Tingkat kuantisasi 3 Sampel Terkuantisasi 2  Langkah kuantisasi  - Cuplikan Terkuantisasi Xq(nT) -2 Interval Pengkuanti sasi -3 -4 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T t

L=jml tingkatan kuantisasi 1,0 0,9 Xq(n) 0,8 0,7 0,6 Langkah Hal 33 1,0 X(n)=0,9n Xa(t)=0,9t 0,8 0,6 0,4 0,2 1 2 3 4 5 6 7 8 n T Xa(t)=0,9t T=1s Tingk. Kuantisasi L=jml tingkatan kuantisasi 1,0 0,9 Xq(n) 0,8 0,7 0,6 Langkah kuantisasi 0,5  0,4 0,3 0,2 0,1 1 2 3 4 5 6 7 8 n

Tabel . Ilustrasi Numerik kuantisasi dengan 1 digit X(n) Sinyal diskrit Xq(n) (bulat ke bawah) Xq(n) (bulat ke atas) eq(n)=Xq(n)-X(n) (bulat ke atas) 0 1 1.0 1.0 0.0 1 0.9 0.9 0.9 0.0 2 0.81 0.8 0.8 -0.01 3 0.729 0.7 0.7 -0.029 4 0.6561 0.6 0.7 0.439 5 0.59049 0.5 0.6 0.00951 6 0.531441 0.5 0.5 -0.031441 7 0.4782969 0.4 0.5 0.021031 8 0.43046721 0.4 0.4 -0.03046721 9 0.387420489 0.3 0.4 0.012579511

Daya Kesalahan Kuadrat Rata-rata Pq Pada gambar persamaan Sinyal Sinusoida analog : Daya Kesalahan Kuadrat Rata-rata Pq , maka : Karena : menunjukkan waktu Xa(t) berada dalam tingkatan kuantisasi Jika Pengkuantisasian b bit dan interval keseluruhan 2A, maka langkah kuantisasi :  = 2A/2b. Jadi : Daya rata-rata sinyal Xa(t) :

Gambar . Galat Kuantisasi Eq(t) penentu Daya Kesalahan Pq  /2 -  t -/2 eq(t) Signal Quantitation to Noise Ratio ( SQNR ) : nilai kualitas keluaran ADC yang ditentukan oleh Rasio daya sinyal terhadap daya kebisingan (noise).

Rumus SQnR(dB) menunjukkan bahwa nilai ini bertambah kira-kira 6dB untuk setiap bit yang ditambahkan kepada panjang kata. Contoh pada proses CD recorder menggunakan Fs = 44,1 Khz dan resolusi sampling 16 bit, yang menyatakan SQNR lebih dari 96 dB. Semakin tinggi nilai SQNR --- semakin baik proses konversi dari ADC tersebut.

Pengkodean Setiap sinyal amplitudo diskrit yang dikuantisasi direprentasikan kedalam suatu barisan bilangan biner dari masing-masing bit. Sinyal digital yang dihasilkan ADC berupa bilangan basis 2 (0 dan 1). Idealnya output sinyal tersebut harus dapat merepresentasikan kuantitas sinyal analog yang diterjemahkannya. Representasi ini akan semakin baik ketika ADC semakin sensitif terhadap perubahan nilai sinyal analog yang masuk.

Jika nilai 0-15 volt dapat diubah menjadi digital dengan skala 1 volt, artinya rentang nilai digital yang diperoleh berupa 16 tahap (dari 0 bertahap naik 1 volt hingga nilai 15 atau setara dengan 0000 atau 1111). Tahapan sejumlah ini dapat diperoleh dengan membuat rangkaian ADC 4bit (karena jumlah bit (n) merepresentasikan 2n nilai skala, sehingga 24 =16 skala). Misal kita ingin menaikan jumlah bit menjadi 8, maka nilai 0-15 volt dapat di representasikan oleh 28 (256) skala atau setara dengan skala 62.5mV, Hasilnya rangkaian semakin sensitif terhadap perubahan sinyal analog yang terbaca. Jadi, dapat disimpulkan semakin besar jumlah bit ,maka semakin sensitif atau semakin tinggi resolusi rangkaian ADC.

RESOLUSI Adalah jumlah bit output pada ADC. Sebuah rentang sinyal analog dapat dinyatakan dalam kode bilangan digital. Sebuah sinyal analog dalam rentang 16 skala (4 bit) adalah lebih baik resolusinya dibanding membaginya dalam rentang 8 skala (3 bit). Karena besar resolusi sebanding 2n . semakin besar jumlah bit , resolusi akan semakin bagus.

Contoh pada ADC 0804 Untuk operasi normal, menggunakan Vcc = +5 Volt sebagai tegangan referensi. Dalam hal ini jangkauan masukan analog mulai dari 0 Volt sampai 5 Volt (skala penuh), karena IC ini adalah SAC 8-bit, resolusinya akan sama dengan : Artinya : setiap kenaikan 1 bit, kenaikan tegangan yang dikonversi sebesar 19,6 mVolt

The End

TUGAS Diketahui sebuah sinyal analog xa(t) = 3 cos (50 t) + 10 sin(300 t) - cos (100 t) a) Tentukan laju pencuplikan minimum yang dibutuhkan untuk menghindari pengaliasan b) Bila sinyal tersebut dicuplik dengan laju 100 pencuplikan/sekon, berapa sinyal waktu diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan c) Bila sinyal tersebut dicuplik dengan laju 200 pencuplikan/sekon, berapa sinyal waktu diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan