Himpunan

Definisi Himpunan Apa yg dimaksud dengan himpunan? Sebutkan contoh himpunan!

Definisi Himpunan Himpunan adalah kumpulan objek. Himpunan ditentukan oleh anggota-anggotanya dan bukan oleh urutan tertentu dalam mendaftarkan anggotanya. Anggota-anggota yang membentuk himpunan adalah berbeda.

Cara penyajian himpunan 1. Enumerasi menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan di antara dua buah tanda kurung kurawal Contoh: A = {1,2,3,4} 2. Simbol-simbol baku antara lain: P = himpunan bilangan bulat positif={1,2,3,…} N = himpunan bilangan natural/alami = {0,1,2,…} Z = himpunan bilangan bulat = {…,-2,-1,0,1,2,…}

Cara penyajian himpunan 3. Notasi pembentuk himpunan menuliskan syarat keanggotaan himpunan Contoh: A = {x | x  P, x < 5} ekivalen dengan {1,2,3,4} M = {x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah Logika Matematika} 4. Diagram Venn (akan dijelaskan pada sub bab terpisah)

Beberapa istilah pada himpunan Himpunan semesta suatu himpunan yang mencakup seluruh elemen dari topik pembicaraan. Dengan menseleksi elemen dari himpunan semesta berdasarkan kriteria tertentu, didapatkan himpunan tertentu yang dimaksud. Himpunan bagian (subset) jika terdapat himpunan A dan B, A adalah himpunan bagian B apabila setiap elemen A terdapat pula di B, dinotasikan dengan AB AB = {x : jika x  A maka x  B} Himpunan A adalah proper subset dari B (AB) apabila AB dan AB

Beberapa istilah pada himpunan Himpunan identik (equal) dua himpunan A dan B adalah identik atau sama jika dan hanya jika elemen dari kedua himpunan adalah sama, dinotasikan dengan A = B Himpunan saling lepas (disjoint) dua himpunan A dan B adalah saling lepas jika tidak memiliki elemen yang sama, dinotasikan dengan A//B Contoh: Jika A = {x|x  P, x < 5} dan B = {11,12,13,14}, maka A//B Himpunan kosong (empty set) adalah himpunan yang tidak memiliki elemen, dinotasikan dengan  atau {}

Beberapa istilah pada himpunan Himpunan berhingga dan kardinalitas jika himpunan A memiliki n buah elemen yang berbeda, maka A adalah himpunan berhingga (finite set), dan n adalah kardinalitas dari A. Kardinalitas dari A dinotasikan dengan |A| atau n(A) Himpunan kuasa (power set) himpunan kuasa dari A adalah himpunan dari seluruh subset A dan dinotasikan dengan P(A). Kardinalitas dari P(A) dinotasikan dengan |P(A)| atau n(P(A)). |P(A)| atau n(P(A)) = 2n(A)

Diagram Venn Himpunan semesta, yang beranggotakan seluruh objek yang penting atau merupakan topik pembicaraan, direpresentasikan dengan bentuk kotak. Di dalam kotak tersebut terdapat lingkaran-lingkaran untuk merepresentasikan himpunan. Kadang tanda titik dipergunakan pula untuk menggambarkan elemen himpunan. Contoh: Diagram Venn yang menggambarkan himpunan V yaitu himpunan huruf vokal dalam bahasa Indonesia

Operasi Himpunan a. Irisan (intersection) Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan himpunan B Notasi : A  B = {x | x  A dan x  B } A B

Operasi Himpunan b. Gabungan (union) Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A atau himpunan B Notasi : A  B = {x | x  A atau x  B } A B

Operasi Himpunan c. Komplemen Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta adalah suatu himpunan yang merupakan elemen S yang bukan elemen A Notasi: A’ = {x | x  S dan x  A } = S – A A B

Operasi Himpunan d. Selisih Selisih dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya merupakan elemen A dan bukan elemen B Notasi: A - B = {x | x  A dan x  B } = A  B’ A B

Operasi Himpunan e. Perbedaan Simetris (Symmetric Difference) symmetric difference dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya Notasi: A  B = (A  B) – (A  B) = (A - B)  (B - A) A B

Operasi Himpunan f. Perkalian Cartesian (cartesian products) cartesian products dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan yang mungkin terbentuk dengan komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B Notasi: A x B = { (a,b) | a  A, b  B} Contoh: A = {1,2,3} B = {a,b} A x B = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}

Operasi Himpunan Catatan: a. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka n(A x B) = n(A).n(B) b. Pasangan berurutan (a,b) berbeda dengan (b,a) c. A x B  B x A

Teorema Aljabar Himpunan Misal S himpunan semesta dan A,B, dan C adalah subhimpunan dari S maka berlaku sifat berikut: 1. Hukum asosiatif (associative law) (A  B)  C = A  (B  C) (A  B)  C = A  (B  C) (A  B)  C = A  (B  C) 2. Hukum komutatif (commutative law) A  B = B  A, A  B = B  A, A  B = B  A 3. Hukum distributif (distributive law) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

Teorema Aljabar Himpunan 4. Hukum identitas (identity law) A   = A, A  S = A 5. Hukum komplemen (complement law) A  A’ = S, A  A’ =  6. Hukum idempoten (idempotent law) A  A = A, A  A = A 7. Hukum ikatan (bound law) A  S = S, A   = 

Teorema Aljabar Himpunan 8. Hukum penyerapan (absorption law) A  (A  B) = A, A  (A  B) = A 9. Hukum involusi (involution law) A’’ = A 10. Hukum 0/1(1/0 law) ’ = S, S’ =  11. Hukum De Morgan untuk himpunan (De Morgan’s laws for sets) (A  B)’ = A’  B’, (A  B)’ = A’  B’

Himpunan hingga dan perhitungan anggota 1. Jika A  B =  maka n(A  B) = n(A) + n(B) 2. Jika A B dan A B adalah hingga maka n (A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B) 3. Perluasan (2) dengan 3 himpunan A,B, dan C n (A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A  B) – n(A  C) – n(B  C) + n(A  B  C)

Metode pembuktian untuk pernyataan tentang himpunan 1. Diagram Venn Buktikan bahwa A  (B – A) = A  B! 2. Hukum-hukum aljabar himpunan Bukti: A  (B – A) = A  (B  A’) (definisi operasi selisih) = (A  B)  (A  A’) (hukum distributif) = (A  B)  S (hukum komplemen) = A  B (hukum identitas) 3. Definisi Sebagai contoh, A dan B himpunan. Misalkan A  B =  dan A  (B  C). Buktikan bahwa A  C!

Metode pembuktian untuk pernyataan tentang himpunan (i) Dari definisi himpunan bagian, P  Q jika setiap x  P juga  Q. Misalkan x  A. Karena A  (B  C), maka dari definisi himpunan bagian, x juga  (B  C). Dari definisi operasi gabungan (), x  (B  C) berarti x  B atau x  C (ii) Karena x  A dan A  B = , maka x  B Dari (i) dan (ii), x  C harus benar. Karena x  A juga berlaku x  C, maka dapat disimpulkan A  C

Misalkan A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil impor dari Jepang C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum thn 1990 D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta E = himpunan mobil mahasiswa STMI Nyatakan dalam notasi himpunan: a. mobil mahasiswa STMI yang produksi dalam negeri atau diimpor dari Jepang b. semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta c. semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta

Ketika dilakukan survey hewan peliharaan pada 10 rumah, didapat data sebagai berikut: 6 rumah memelihara anjing 4 rumah memelihara kucing 2 rumah tidak memiliki hewan peliharaan Tentukan berapa rumah yang tidak memiliki hewan peliharaan anjing dan kucing! Tentukan banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5

Dengan menggunakan hukum-hukum aljabar himpunan, buktikan bahwa: a. (A  B)  (A  B’) = A b. A  (A  B)’ = A  B’