ALJABAR VEKTOR & MATRIKS (Vector Analysis & Matrices) Pendahuluan Pada Fisika : a. Besaran Vektor . b. Besaran Skalar Besaran : sesuatu yg dapat diukur dan besarnya dinyatakan . dengan angka * Definisi besaran Vektor : suatu besaran yg besarnya dapat . diukur (mempunyai nilai) dan mempunyai arah . Contoh : kecepatan, gaya, dsb * Definisi besaran Skalar : suatu besaran yg besarnya dapat . diukur tapi tidak mempunyai arah . Contoh : massa, panjang, dsb.

BAB 1. VEKTOR dan SKALAR Operasi2 penjumlahan, pengurangan dan perkalian yg lazim . dalam aljabar bilangan, dengan definisi yg sama, dapat di- . perluas kedalam aljabar Vektor Definisi dasar Aljabar Vektor 1. Dua buah vektor A dan B sama jika memiliki besar dan . arah yg sama, tanpa memperhatikan titik awalnya, A = B 2. Sebuah vektor yg arahnya berlawanan dengan vektor A . tapi memiliki besar yg sama dinyatakan oleh – A 3. Jumlah (resultan) dari dua vektor, A dan B adalah vektor C, . yg dibentuk dengan menempatkan titik awal B pada titik . terminal A, lalu menghubungkan titik awal A ke terminal B, . C = A + B 4. Selisih vektor A dan B, yg dinyatakan oleh A – B adalah C

. yg bila ditambahkan B menghasilkan vektor A. . C = A – B . = A + (-B) . Bila A = B, maka A – B = 0 sebagai vektor nol. 5. Hasil kali vektor A dengan skalar m adalah vektor mA yg . besarnya |m| kali besarnya A dan memiliki arah yg sama atau . berlawanan A,bergantung pada apakah m positif /negatif. . Bila m = 0 maka mA adalah vektor nol.

Hukum-hukum Aljabar Vektor Bila A, B dan C adalah vektor2, m dan n adalah skalar2, maka : 1. A + B = B + A ⇨ hukum Komutatif penjumlahan 2. A + (B + C) = (A + B) + C ⇨ hukum Asosiatif penjumlahan 3. mA = Am ⇨ hukum Komutatif perkalian 4. m(nA) = (mn)A ⇨ hukum Asosiatif perkalian 5. (m + n)A = mA + nA ⇨ hukum Distributif 6. m(A + B) = mA + mB ⇨ hukum Distributif

VEKTOR SATUAN Vektor Satuan adalah sebuah vektor yg besarnya 1(satu) Bila A adalah vektor yg besarnya A ≠ 0 maka 𝐀 A adalah sebuah vektor satuan yg arahnya sama dengan A. - Setiap vektor A dapat dinyatakan oleh sebuah vektor satuan . a dalam arah A, dikalikan dengan besarnya A. Jadi A = Aa - Vektor satuan merupakan vektor yg panjangnya satu satuan Setiap vektor A = | 𝑎 𝑏 | yang bukan nol, mempunyai vektor . satuan : Ā = 𝑨 |𝐴| = 1 𝑎 2 + 𝑏 2 | 𝑎 𝑏 | - Besar (panjang) vektor . Misalnya A = | 𝑎 𝑏 | adalah vektor di R2, maka besar vektor A : . | A | = 𝑎 2 + 𝑏 2

Contoh soal 1. Sebutkan beberapa besaran vektor dan besaran skalar, ma- . sing-masing delapan macam ? 2. Hitunglah besar (panjang) vektor dan vektor satuan dari . vektor A = 〔 3 4 〕 ? 3. Buktikan bahwa penjumlahan vektor adalah komutatif, yaitu . A + B = B + A ? Secara grafis ! 4. Diketahui vektor2 : K = 〔 2 3 〕, L = 〔 𝑋 4 〕 dan M = 〔 2 −1 〕 bila . 3K – 2L = - M maka hitung nilai x ? 5. Tentukan resultan vektor2 berikut : . Vektor A, 15 m arah barat laut, B. 25 m. 30o disebelah . utara dari timur dan C, 40 m ke selatan ?

Jawaban contoh soal 1a. Vektor : percepatan, momentum, berat, energi, medan listrik, me- . dan magnet, medan gravitasi, kohesi, adhesi, arus listrik, pegas dll. 1b. Skalar : waktu, suhu, kalor, kalor jenis, volume, luas, jarak, massa . jenis, intensitas cahaya, perbesaran lensa, dll. 2. Besar(panjang) vektor A : A = 〔 3 4 〕 . A = |A| = 3 2 + 4 2 = 25 = 5 . Vektor satuan, A = A |A| = 1 5 〔 3 4 〕 = 〔 0,6 0,8 〕 3. Hukum Komutatif penjumlahan : A + B = B + A . bukti : Q OP + PQ = OQ ⇔ A + B = C . P B OR + RQ = OR⇔ A + B = C . A C A Jadi : . C A + B = B + A . O B R

Jawaban contoh soal 4. 3K – 2L = - M . 3 〔 2 3 〕 - 2 〔 𝑥 4 〕 = - 〔 2 −1 〕 . 〔 6 9 〕 + 〔 −2𝑥 −8 〕 = 〔 −2 1 〕 . 6 – 2x = -2 . x = 6+2 2 . x = 4 5. A = 15 m arah barat laut . B = 25 m arah utara dari timur 30o . C = 40 m ke selatan

Jawaban contoh soal U . B D = A + B + C . 30o Secara grafis : . A - pada ttk terminal A tempatkan . 45o C ttk pangkal B . B T - pada ttk B tempatkan ttk pang . kal C . D - resultan D dibentik dengan . menghubungkan ttk pangkalA . S dengan ttk terminal C, jadi . D = A+B+C Secara grafis, resultan mempunyai besar 4,5 satuan, jadi resultan D = 22,5 m dengan arah 60o disebelah selatan dari timur.

Latihan soal/PR 1. a. Nyatakan vektor A secara aljabar ? 3 A(4,3) b. Hitunglah besar vektor A ? c. Tentukan besar vektor satuan A ? 4 2. Hitunglah besar vektor dan vektor satuan dari vektor B = 〔 6 −8 〕 ? 3. Buktikan bahwa penjumlahan vektor adalah assosiatif yaitu . A + B + C = (A + B) + C ? 4. Sebuah mobil sedan bergerak ke arah utara sejauh 4km, lalu 8km . ke arah timur laut. Tentukan vektor perpindahan resultannya se- . cara grafis dan analitis, gambarkan perpindahan mobil secara . grafis ?

BAB 2. VEKTOR2 SATUAN TEGAK-LURUS i, j dan k - Himpunan vektor2 satuan penting adalah yg arahnya menurut . sumbu2 x, y dan z positif sistem koordinat tegak-lurus ruang . 3-dimensi, dinyatakan oleh i, j dan k. z C k A i j y B x A

1. Vektor2 Satuan Tegak-lurus. i, j, k - Umumnya menggunakan sistem koordinat tegak-lurus aturan . tangan kanan, kecuali ada pernyataan lain. - Sistem ini dianalogikan dengan sebuah sekrup berulir kanan . yg diputar 90o dari Ox ke Oy akan maju dalam arah sb z pos. - Bila tiga buah vektor A, B dan C yg titik pangkalnya berhim- . pit dan tak koplanar(tidak terletak pada atau sejajar bidang yg . sama)dikatakan membentuk sebuah sistem tangan kanan atau . sistem dekstral. Analogi dengan sebuah sekrup (baut) berulir . kanan yg diputar dengan sudut kurang dari 180o dari A ke B . maka akan menuju arah C.

2. KOMPONEN-KOMPONEN VEKTOR Setiap vektor A dalam ruang 3-dimensi bisa digambarkan dgn titik pangkal pada titik asal O dari sistem koordinat - A1, A2, A3 : komponen2 dari vektor A dalam arah x, y dan z - A1i, A2j dan A3k : vektor2 komponen dari A dlm arah x, y, z Resultan dari A1i, A2j dan A3k adalah : . A = A1i + A2j + A3k Besar vektor A = | A | = 𝐴1 2 + 𝐴2 2 +𝐴32 Khususnya, vektor posisi atau vektor jejari(radius vector) r dari O ke titik (x, y, z) : . r = xi + yj + zk Besar vektor r : . r = | r | = 𝑥 2 + 𝑦 2 +𝑧2

3. MEDAN SKALAR dan MEDAN VEKTOR Bila pada tiap2 titik (x,y,z) dari suatu daerah R dalam ruang, dikaitkan sebuah skalar(bilangan) φ(x,y,z) maka φ disebut fungsi titik skalar (scalar point function),⇨ medan skalar Contoh : 1. Temperatur dalam laboratorium komputer . 2. φ(x,y,z) = x3y2 + y2z– xz2 Jika pada tiap2 titik (x,y,z) dari suatu daerah R dalam ruang, dikaitkan dengan sebuah vektor V(x,y,z) maka V disebut fungsi titik vektor (vector point function) dan dikatakan sebuah medan vektor telah didefinisikan dalam R. Contoh : 1. Kecepatan fluida yg bergerak dalam pipa 2. V(x,y,z) = xy2 i + 3yz2 j – 2x2z2 k - Medan vektor stationer atau keadaan steady state adalah . sebuah medan vektor yg tidak bergantung waktu.

4. Contoh soal 1. Diketahui vektor2 berikut, r = 〔 𝑥 𝑦 〕, s = 〔 3 2 〕, t = 〔 3 −2 〕 Bila . 3r - 2s = -t, hitunglah nilai x dan y ? 2. Diberikan beberapa vektor, P = 〔 −3 5 〕, Q = 〔 1 −7 〕, R = 〔 𝑥 1 〕 dan . S = 〔 2 𝑦 〕.Tentukan nilai x dan y,bila PQ = RS dan bila PQ = SR 3. Koordinat titik A( 2,-5) dan vektor AB = 3i – 4j , hitunglah . koordinat titik B ? 4. Diberikan beberapa vektor, K = i - 2j + 2k, L = 2i - 4j - 4k . dan M = 3i - 2j + 6k. Tentukan besar : a. | K |, |L |, | M | . b. | K - L + M | c. 3K – L + 2M 5. Diketahui medan skalar yg didefinisikan φ(x,y,z)= 3x2y – xy3 . + 5z2 Tentukan φ pada titik-titik :

Contoh soal – lanjutan a. (0,0,0) b. (1, 2, -2) c. (1, 1, -2) d. (-1, -2, -3) ?

Jawaban contoh soal 1. 3r – 2s = - t . 〔 3𝑥 3𝑦 〕 - 〔 6 4 〕 = 〔 −3 2 〕 . 3x – 6 = -3 3y - 4 = 2 . 3x = -3 + 6 3y = 4 + 2 . x = 1 y = 2 2. PQ = RS PQ = SR PQ = q – p = 〔 1−(−3) −7−5 〕 = 〔 4 −12 〕 SR = 〔 4 −12 〕 . RS = s – r = 〔 2−𝑥 𝑦−1 〕 . 〔 4 −12 〕 = 〔 2−𝑥 𝑦−1 〕 〔 4 −12 〕 = 〔 𝑥−2 1−𝑦 〕 . 4 = 2 - x -12 = y - 1 4 = x - 2 - 12 = y - 1 . x = - 2 y = -11 x = 6 y = -13

Jawaban contoh soal – lanjutan 3. AB = b – a = 〔 𝑥−2) 𝑦+5 〕 = ⇨ 3i -4j = 〔 𝑥−2) 𝑦+5 〕 = 〔 3 4 〕 = 〔 𝑥−2) 𝑦+5 〕 3 = x-2 - 4 = y + 5 . x = 5 y = - 9 . Jadi koordinat titik B adalah B(5, -9) 4a. | K | = | i – 2j + 2k | = 12+ −2 2+22 = 9 = 3 . | L | = | 2i – 4j - 4k | = 22+ −4 2+(−4)2 = 36 = 6 . | M | = | 3i – 2j + 6k | = 32+ −2 2+(6)2 = 49 = 7 4b. K – L + M = (i - 2j + 2k) – (2i - 4j - 4k) + (3i – 2j +6k) = 2i + 12k . | K – L + M | = 22+122 = 148 = 2 37 4c. 3K – L + 2M = (3i – 6j + 6k) – (2i – 4j – 4k) + (6i – 4j + 12k) = . 7i – 6j + 22k Type equation here.

Jawaban contoh soal – lanjutan 5. φ(x,y,z) = 3x2y – xy3 + 5z2 φ(0,0,0) = 0 φ(1, 2, -2) = 3(1)2(2) – (1)(2)3 + 5(-2)2 = 6 - 8 + 20 = 18 φ(1, 1, -2) = 3(1)2(1) – (1)(1)3 + 5(-2)2 = 3 – 1 + 20 = 22 φ(-1, -2, -3) = 3(-1)2(-2) - (-1)(-2)3 + 5(-3)2 = - 6 – 8 + 45 = . = 31

5. Soal Latihan/PR 1. Diketahui beberapa koordinat vektor2 : . A pada (4,3), B pada( 2,-8), C(x,3) dan D(3,y). Tentukan . nilai x dan y bila : a. AB = CD b. AB = DC ? 2. Koordinat vektor K(3,-5, 4) dan vektor KL = 2i – 3j + 5k . Hitunglah koordinat L ? 3. Diberikan beberapa vektor : R = 2i – 2j + k, S = 4i – 4j + 2k . dan T = 6i -2j + 3k. Tentukan : a. | R | + | S | + | T | . b. | R + S + T | c. | 3R - 2S - T | 4. Tentukan sebuah vektor satuan yg sejajar resultan dari vek- . tor-vektor A = 5i + 4j + 2k dan B = 3i + 2j + k ? 5. Sebuah beban 50 kg digantungkan pada pertengahan sebuah . tali seperti pada gambar di bawah.Tentukan tegangan T pada . tali ?

Soal Latihan/PR – lanjutan . T1 T2 . 600 600 . 50 kg

BAB 3. HASIL-KALI TITIK DAN HASIL-KALI SILANG Pendahuluan Pada vektor terdapat dua perkalian, perkalian skalar dan per- kalian vektor Perkalian skalar dua vektor dinamakan hasil-kali titik(skalar) Perkalian vektor dua vektor disebut hasil-kali silang (vektor) Hukum-hukum yg berlaku pada kedua perkalian itu ; hasil- kali titik dan hasil-kali silang

1. Hasil-kali Titik (Skalar) Perkalian Skalar dua buah vektor disebut juga hasil-kali titik atau dot product. Hasil-kali titik (skalar) dua buah vektor, A dan B, yg dinyatakan oleh A · B didefinisikan sebagai hasil-kali antara besarnya vektor2 A dan B serta cosinus θ antara keduanya : . A · B = | A | | B | cos θ dimana 0 ⩽ θ ⩽ 𝜋 Bila diketahui A = 〔 𝑥1 𝑦1 𝑧1 〕 B = 〔 𝑥2 𝑦2 𝑧2 〕 maka, A · B = (x1 x2) + (y1 y2) + (z1 z2), dimana | A | = 𝑥12+𝑦12+𝑧12 dan | B |= 𝑥22+𝑦22+𝑧22 Bila A · B = 0 maka A ┴ B Jadi hasil-kali skalar dua vektor adalah suatu bilangan(skalar)

Hasil-kali Titik (Skalar) – lanjutan 4. Sifat-sifat perkalian skalar dua vektor atau hukum-hukum pada hasil-kali titik : 1. A · B = B · A Hukum Komutatif 2. A · (B + C) = A · B + A · C Hukum Distributif 3. m (A · B) = (mA) · B = A · (mB) = (A ·B)m 4. i · i = j · j = k · k = 1 . i · j = j · k = k · i = 0 5. A · A = | A |2 6. Bila : A = A1i + A2j + A3k dan B = B1i + B2j + B3k, maka . A · B = A1B1 + A2B2 + A3B3 . A · A = | A |2 = A12 + A22 + A32 . B · B = | B |2 = B12 + B22 + B32

7. Besar sudut antara dua vektor Bila diketahui A, B dan < A · B = α, maka . cos α = 𝐀 · 𝐁 𝐴 𝐵 = 𝐴1𝐵1+𝐴2𝐵2+𝐴3𝐵3 𝐴12+𝐴22+𝐴32 . 𝐵12+𝐵22+𝐵32 8. Proyeksi orthogonal suatu vektor pada vektor lain . Bila C adalah proyeksi A pada B, maka a. Proyeksi skalar orthogonal (panjang proyeksi) vektor A pada B adalah : C = 𝐀 . 𝐁 |𝐵| hasilnya skalar(bilangan) . b. Proyeksi vektor orthogonal A pada B adalah : . C = 𝐀.𝐁 𝐁 |B| hasilnya vektor.

2. Hasil-kali Silang (Vektor) – cross product 1). Hasil-kali silang (vektor) dari dua vektor A dan B adalah . sebuah vektor C = A x B. Besar A x B didefinisikan sebagai . hasil-kali antara besarnya A dan B serta sinus sudur θ anta- . ra keduanya. Arah vektor C = A x B tegak lurus pada bidang . yg memuat A dan B sedemikian rupa sehingga A, B dan C . membentuk sistem tangan kanan. A x B = | A | | B | sin θ u , dimana 0 ⩽ θ ⩽ 𝜋 dan . - u adalah vektor satuan yg menunjukkan arah dari A x B . - bila A = B atau A sejajar B maka sin θ = 0 dan didefinisi- . kan A x B = 0

2). Hukum-hukum yg berlaku pada hasil-kali silang a. A x B = - B x A hukum Komutatif . b. A x (B + C) = A x B + A x C hukum Distributif . c. m(A x B) = (mA) x B = A x ( mB) = (A x B)m . d. i x i = j x j = k x k = 0 . i x j = k . j x k = i . k x i = j . e. Bila A = A1i + A2j + A3k dan B = B1i + B2j + B3k, maka . A x B = 〔 i j k A1 A2 A3 B1 B2 B3 〕 f. Besar A x B = luas jajaran genjang dengan sisi A, B g. Bila A x B = 0, A dan B bukan vektor2nol maka A dan B sejajar.

Contoh Soal Hasil-kali Titik 1. a. i · i = d. j · k = . b. i · j = e. j · (2i – 2j – 2k) = . c. i . k = f. (2i – j) · (2i – k) = 2. Bila diketahui vektor P = 2i – 2j – k dan Q = i - 4j + 8k, . maka tentukan : a. | P | c. P · Q . b. | Q | d. sudut θ . 3. Bila | A |= 12 , | B |= 8 dan sudut antara vektor A dan B . adalah 60o. Tentukan | A – B | ? 4. Bila sudut antara vektor K = i + 2 j + a k dan L = i - 2 j . + a k, adalah 60o Tentukan besar a ?

Jawaban contoh Soal Hasil-kali Titik 1a. i · i = | i | | i | cos 0o = (1) (1) (1) = 1 . b. i · j = | i | | j | cos 90o = (1)(1)(0) = 0 . c. i · j = | i | | k | cos 90o = (1)(1)(0) = 0 . d. j · (2i – 2j – 2k) = 2j · i – 2j · j – 2j · k = 0 – 2 - 0 = 2 . e. (2i – j) · (2i + k ) = 2i · (2i + k) – j · (2i + k) = 4i · i + 2i · k . – 2j · i – j · k = 4 + 0 – 0 – 0 = 4 2a. | P | = 22+ −2 2+12 = 3 b. | Q | = 12+ −4 2+82 = 8 c. P · Q = (2)(1) + (-2)(-4) + (1)(8) = 2 + 8 + 8 = 18 d. cos θ = P.Q |P | | Q | = 18 3 . 9 = 2 3 ⇨ θ = arc cos 0,667 = 48,50 3. | A – B |2 = | A |2 + | B |2 – 2 | A | | B | cos 600 = 122 + 82 – 2 (12)(8)(0,5) = 112 ⇨ | A – B | = 112 =4 7 Type equation here.

Jawaban contoh soal 4. K . L = | K | | L | cos θ ⇨ cos θ = K. L |K | |L | = 1−2+𝑎2 12+2+𝑎2 12+2+𝑎2 cos 600 = − 1+𝑎2 12+2+𝑎2 = 1 2 = − 1+𝑎2 12+2+𝑎2 -2 + 2a2 = 12 + 2 + a2 a2 = 5 a = 5 = 2,2360

SOAL LATIHAN/PR 1a. i · (3i – 2j – k) = . b. (2i – j) · (i + 2j) . c. k · k = . d. i . [ (i – 3j – k) . (3i – 2j + 3k)] = 2. Bila P = P1i + P2j + P3k dan Q = Q1i + Q2j + Q3k maka bukti- . kan P . Q = P1 Q1 + P2 Q2 + P3 Q3 ? 3. Tentukan sudut antara vektor2 K = 2i + 2j – k dan . L = 6i – 3j - 2k ? 4. Tentukan proyeksi vektor A = i – 2j + k dan B = -4i – 4j +7k

Contoh soal Hasil-kali Silang Tentukan hasilnya : a. i x j = . b. j x k = e. j x j = h. i x k = . c. k x i = f. k x j = i. i x i = . d. 2i x 3k = g. (2i) x (-3k) j. 2j x i – 3k = Bila P = 2i – 3j – k dan Q = i + 4j - 2k, maka tentukan a. P x Q = b. Q x P = c. (P + Q) x (P – Q) = Jika K = 3i – 2j + 2k, L = 2i + j – k dan M = i – 2j + 2k carilah : a. (A x B) x C . b. A x (B x C) ?