DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS INDONESIA VEKTOR DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS INDONESIA

CROSS Product

DEFINISI CROSS PRODUCT Hasil kali silang dari vektor u dan v adalah sebuah vektor w = u x v besarnya w didefinisikan sebagai hasil kali antara besarnya u dan v dan sinus sudut  antara keduanya. Arah vektor w = u x v tegak lurus pada bidang yang memuat u dan v sedemikian rupa sehingga u, v dan w membentuk sebuah sistem tangan kanan

Hasil Cross pada Vektor basis i x i = j x j = k x k = 0 i x j = k j x k = i k x i = j i k j j x i = - k k x j = -i i x k = -j

DEFINISI CROSS PRODUCT Jika u=(u1,u2,u3) dan v =(v1,v2,v3) adalah vektor diruang 3 maka hasil kali silang u x v adalah vektor yang didefinisikan oleh : u x v = (u1i + u2j + u3k) x (v1i + v2j + v3k) = u1i x (v1i + v2j + v3k) + u2j x (v1i + v2j + v3k) + u3z x (v1i + v2j + v3k) = ( u2v3- u3v2)i + (u3v1- u1v3)j + ( u1v2- u2v1 )k

Atau dalam notasi determinan :

Jika u dan v adalah vektor di ruang 3, maka : u . (u x v) = 0 (u x v orthogonal ke u) v . (u x v) = 0 (u x v orthogonal ke v) u x v = - ( v x u ) u x ( v + w ) = ( u x v ) + ( u x w ) ( u + v ) x w = ( u x w ) + ( v x w ) k ( u x v ) = k(u) x v = u x k(v) u x u = 0

Contoh Soal Carilah u x v dimana u=(1,2,-2) v=(3,0,1)

HASIL KALI VEKTOR DARI VEKTOR TRIPEL Pernyataan ( a x b ) x c dan a x ( b x c ) dikenal sebagai hasil kali vektor dari vektor tripel. Tanda kurung sangat mempengaruhi : ( i x i ) x j = 0 i x ( i x j ) = i x k = - j

Latihan C Diketahui segitiga ABC Buktikan  b a   A B c

DIFERENSIAL, GRADIEN, DIVERGENSI DAN CURL DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS INDONESIA

TURUNAN BIASA VEKTOR Misalkan R (u) merupakan sebuah vektor yang bergantung pada sebuah variabel u, maka : Dimana R menunjukkan suatu pertambahan dalam variabel u

Turunan biasa dari vektor R(u) terhadap variabel u diberikan oleh : Turunan untuk orde lebih tinggi dari turunan diatas dinyatakan oleh :

Bila R(u) adalah vektor kedudukan r(u) yang menghubungkan titik asal O dari suatu sistem koordinat dan sebarang titik (x,y,z), maka : Fungsi vektor r(u) mendefinisikan x,y,z sebagai fungsi-fungsi dari u Bila u berubah, titik terminal r menggambarkan sebuah kurva ruang yang memiliki persamaan-persamaan parameter :

Maka limitnya akan berupa sebuah vektor yang searah dengan arah garis singgung pada kurva ruang di (x,y,z) yang dinyatakan oleh :

Vektor Variable Waktu Jika u adalah waktu (t), maka menyatakan kecepatan v sepanjang kurva, Turunan dari kecepatan terhadap waktu (t) menyatakan percepatan (a) sepanjang kurva

RUMUS DIFERENSIASI

CONTOH 1 Sebuah partikel bergerak pada lengkung C, yang mempunyai persamaan parameter : x =e-t , y = 2 cos 3t dan z = 2 sin 3 t dengan t adalah waktu. Tentukan kecepatan dan percepatan setiap waktu Hitung besarnya kecepatan dan percepatan pada waktu t = 0

JAWAB Vektor posisi r dari partikel ditulis : r = x i + y j + z k r = e-t i + 2 cos 3t j + 2 sin 3t k Kecepatan = - e-t i - 6 sin 3t j + 6 cos 3t k Percepatan = e-t i - 18 cos 3t j - 18 sin 3t k Untuk t = 0 maka v = -i + 6k a = i – 18 j

CONTOH 2 Sebuah partikel bergerak pada lengkung x=2t2 , y=t2-4t , z=3t-5 dengan t waktu. Tentukanlah komponen dari kecepatan dan percepatan untuk t=1 dalam arah i – 3j +2k

Jawab

GRADIEN Misalkan f=f(x,y,z) terdefinisikan dan diferensiable pada tiap-tiap titik (x,y,z) didalam suatu daerah tertentu , maka gradien f (grad f) didefinisikan oleh :  f Mendefinisikan sebuah medan vektor Komponen dari  f dalam arah sebuah vektor-satuan a diberikan oleh  f.a dan disebut turunan arah dari f pada arah a.

Untuk permukaan (x,y,z)=C, maka   merupakan vektor tegak lurus permukaan (x,y,z)=C Contoh : Tentukanlah vektor satuan yang tegak lurus pada permukaan x2y + 2 xz = 4 di titik (2,-2,3)

Jawab Vektor n yang tegak lurus pada permukaan (x,y,z)= x2y + 2 xz = 4 ditentukan oleh :

DIVERGENSI Misalkan V(x,y,z)=Vxi+Vyj+Vzk terdefinisikan dan diferensiable didalam suatu daerah tertentu dari ruang, maka divergensi dari V (.V) didefinisikan oleh :

CURL Misalkan V(x,y,z)=Vxi+Vyj+Vzk terdefinisikan dan diferensiable didalam suatu daerah tertentu dari ruang, maka curl atau rotasi dari V didefinisikan oleh :

Contoh Jika A=x2y I -2xz j + 2yz k, hitunglah curl A dan div A Curl A =  x A

Div A =   A

Operator grad div curl is concerns Definition a vector a scalar a scalar field a vector field Definition

SOAL (PR) Jika a = 4i –j +3k dan b = -2i +j -2k, tentukanlah vektor satuan yang tegak lurus pada kedua vektor tersebut Titik titik A, B, C mempunyai posisi vektor a = 3i – 2j – k b = i + 3j + 4k dan c= 2i + j – 2k terhadap titik asal 0 (Gambar. 2). Hitunglah jarak terdekat antara titik A terhadap bidang 0BC

Jika dan Tentukan : Jika dan Tentukan : pada titik (2,-1,1)

Suatu vektor V dikatakan irrasional jika curl V = 0 Suatu vektor V dikatakan irrasional jika curl V = 0. Tentukan nilai a,b,c, pada sehingga vektor V dikatakan irrasional Jika dan , tentukan :

SELESAI