BAB III FUNGSI

Definisi Fungsi didefinisikan sebagai aturan yang menetapkan bahwa setiap satu anggota himpunan D berpasangan dengan tepat satu anggota himpunan K (lihat Gambar 3.1)  D K (a) (b) Gambar 3.1

Anggota-anggota himpunan D yang mempunyai tepat satu pasangan pada himpunan K disebut daerah definisi atau daerah asal (domain). Anggota-anggota pada himpunan K yang merupakan pasangan anggota-anggota himpunan D disebut daerah nilai (range). Sedangkan semua anggota himpunan K baik yang merupakan pasangan dari anggota himpunan D maupun yang bukan disebut kodomain. Kesimpulan Jadi fungsi sama seperti sebuah proses yang menghasilkan tepat satu keluaran untuk setiap masukan tertentu.

 Jika terdapat suatu hubungan yang tidak memenuhi definisi Seperti tersebut diatas maka hubungan tersebut bukan suatu fungsi tetapi disebut relasi (lihat Gambar 3.2). Sedangkan relasi dapat dimisalkan seperti sebuah proses yang menghasilkan dua keluaran untuk setiap masukan tertentu.  D K Gambar 3.2

3.2. Jenis-jenis fungsi Secara garis besar fungsi dapat dikelompokkan menjadi dua bagian utama, yaitu fungsi ril dan fungsi kompleks. Pembahasan mengenai fungsi pada materi kuliah ini hanya mencakup fungsi ril saja. 3.2.1 Menurut jumlah peubah bebas 3.2.1.1 Fungsi peubah bebas tunggal Fungsi peubah bebas tunggal adalah fungsi yang hanya mempunyai satu peubah bebas. Contoh 3.1 a) y = 2x + 3 b) y = x2 c) y = sin x d) x2 + y2 =r2

3.2.1.2 Fungsi peubah bebas banyak Fungsi peubah bebas banyak adalah fungsi yang mempunyai lebih dari satu peubah bebas. Contoh 3.2 a) w = xy b) u = sin (x+y) c) v = cos xy d) t = xy+ z

3.2.2 Menurut cara penyajiannya 3.2.2.1 Fungsi eksplisit Fungsi eksplisit adalah fungsi dimana peubah bebasnya ditulis atau disajikan pada ruas tersendiri; terpisah dari peubah tak bebasnya. Contoh 3.3 y = x – 5 y =x2–1 c) y = sin x d) y = (x-1)2 Secara umum fungsi ekplisit ditulis dalam bentuk y = f(x)

3.2.2.2 Fungsi implisit Fungsi implisit adalah fungsi dimana peubah bebas dan tak bebasnya ditulis pada ruas yang sama. Contoh 3.4 a) x + y = 0 b) x2 + y2 = r2 Secara umum fungsi implisit ditulis dalam bentuk F(x,y) = 0

3.2.2.3 Fungsi parameter Bentuk umum dari fungsi parameter adalah: x = f(t) ; y = g(t) ; t adalah parameter. Contoh 3.5 x = t2 – 1 y = t + 2 Jika kita tinjau dari operasi yang dilakukan terhadap peubah bebasnya, maka fungsi ril dapat dibagi seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.3 berikut.

FUNGSI RIL Fungsi Aljabar Transenden Rasional Irrasional Bulat Pecah Logaritma Eksponen Trigonometri Invers Hiperbolik

3.2.3 Fungsi aljabar Fungsi aljabar adalah fungsi yang mengandung sejumlah operasi aljabar yaitu operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan operasi pangkar rasional. Fungsi aljabar dapat dibagi menjadi fungsi rasional dan irrasional. Selanjutnya fungsi rasional dapat dibagi menjadi fungsi bulat dan fungsi pecah. 3.2.3.1 Fungsi rasional Fungsi rasional adalah fungsi yang mempunyai bentuk P(x)/Q(x) dengan R(x) dan Q(x) adalah polinomial-polinomial dan Q(x)  0. Selanjutnya jika Q(x)  konstan maka fungsi rasional disebut juga fungsi pecah. Sedangkan jika Q(x) = konstan maka fungsi rasional disebut fungsi bulat.

A. Fungsi bulat Fungsi bulat adalah suatu fungsi rasional dengan Q(x) = konstan. Sehingga fungsi bulat dapat disebut fungsi polinomial karena bentuknya sama seperti bentuk polinomial. Suatu fungsi yang mempunyai bentuk f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + … + a1x + a0 (3.1) disebut fungsi polinomial derajad n. Koeffisien-koeffisien an, an-1, an-2,…,, a1, a0 adalah bilangan-bilangan ril, sedangkan masing-masing sukunya disebut monomial. Pangkat n pada fungsi polionomial adalah bilangan bulat tak negatif.

Fungsi polinomial dapat dikelompokkan menurut jumlah suku dan menurut derajat nya. Berikut diberikan beberapa contoh fungsi-fungsi polinomial. Polinomial Berdasarkan Jumlah suku Derajad x2 – x – 6 Trinomial 2 (fungsi kuadrat)

Fungsi polinomial dapat dikelompokkan menurut jumlah suku dan menurut derajat nya. Berikut diberikan beberapa contoh fungsi-fungsi polinomial. Polinomial Berdasarkan Jumlah suku Derajad x2 – x – 6 Trinomial 2 (fungsi kuadrat) x3+ 2x2 - x + 5 3 (fungsi kubik)

Fungsi polinomial dapat dikelompokkan menurut jumlah suku dan menurut derajat nya. Berikut diberikan beberapa contoh fungsi-fungsi polinomial. Polinomial Berdasarkan Jumlah suku Derajad x2 – x – 6 Trinomial 2 (fungsi kuadrat) x3+ 2x2 - x + 5 3 (fungsi kubik) x5 Monomial 5

Fungsi polinomial dapat dikelompokkan menurut jumlah suku dan menurut derajat nya. Berikut diberikan beberapa contoh fungsi-fungsi polinomial. Polinomial Berdasarkan Jumlah suku Derajad x2 – x – 6 Trinomial 2 (fungsi kuadrat) x3+ 2x2 - x + 5 3 (fungsi kubik) x5 Monomial 5 –5 0 (fungsi konstan)

Fungsi polinomial dapat dikelompokkan menurut jumlah suku dan menurut derajat nya. Berikut diberikan beberapa contoh fungsi-fungsi polinomial. Polinomial Berdasarkan Jumlah suku Derajad x2 – x – 6 Trinomial 2 (fungsi kuadrat) x3+ 2x2 - x + 5 3 (fungsi kubik) x5 Monomial 5 –5 0 (fungsi konstan) x + 2 Binomial 1 (fungsi linier)

Fungsi polinomial dapat dikelompokkan menurut jumlah suku dan menurut derajat nya. Berikut diberikan beberapa contoh fungsi-fungsi polinomial. Polinomial Berdasarkan Jumlah suku Derajad x2 – x – 6 Trinomial 2 (fungsi kuadrat) x3+ 2x2 - x + 5 3 (fungsi kubik) x5 Monomial 5 –5 0 (fungsi konstan) x + 2 Binomial 1 (fungsi linier) x6 –4x3 – 7x + 5 6

a. Penjumlahan dan pengurangan fungsi polinomial Untuk melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan dari fungsi polinomial langkah-langkah yang harus kita lakukan adalah mengelompokkan suku-suku yang mempunyai faktor/ faktor-faktor peubah yang sama. Sebagai contoh suku-suku 3xy dan -2xy adalah dua faktor yang sama sehingga pada kedua suku tersebut dapat dilakukan operasi penjumlahan dan/atau pengurangan. Contoh lain dapat dilihat pada tabel berikut : Jenis suku Keterangan ax3 dan bx3 Mempunyai faktor peubah yang sama ax2 dan bx2y Mempunyai faktor peubah yang tidak sama a dan b Sebetulnya mempunyai faktor peubah yang sama, karena masing-masing suku dapat ditulis dalam bentuk : ax0+ bx0

Contoh 3.6 Tentukan jumlah dan selisih dari fungsi-fungsi, –2x2+ 5x + 7xy dan –3x3 – 4x2 + x – 3x2 y + 3xy – 2 Penyelesaian Penjumlahan (–2x2+ 5x + 7xy ) + (–3x3 – 4x2 + x – 3x2 y + 3xy – 2) = –2x2+ 5x + 7xy – 3x3 – 4x2 + x – 3x2 y + 3xy – 2 = – 3x3 –2x2 – 4x2– 3x2 y + 5x + x + 7xy +3xy – 2 = – 3x3 –6x2 + 6x – 3x2 y + 10xy – 2

Pengurangan (–2x2+ 5x + 7xy ) – (–3x3 – 4x2 + x – 3x2 y + 3xy – 2) = –2x2+ 5x + 7xy + 3x3 + 4x2 – x + 3x2 y – 3xy + 2 = 3x3 –2x2 + 4x2 + 3x2 y + 5x – x + 7xy – 3xy + 2 = 3x3 +2x2 + 4x + 3x2 y + 4xy + 2 b. Perkalian monomial Untuk melakukan operasi perkalian fungsi monomial berikut diberikan beberapa hukum yang berlaku yaitu : Hukum I : am . an = am+n ( 3.2 )

Contoh 3.7 Selesaikan perkalian : 52.53 ; xa .xb ; xy2 .x3y Penyelesaian : 52.53 = 52+3 = 55 = 3125 xa.xb = xa+b xy2 .x3y = x.x3.y2 .y = x4 .y3 Hukum II : [am]n= amn ( 3.3 ) Contoh 3.8 Selesaikan : [42]3 dan [x3]4 Penyelesaian : [42 ]3 = 46 =4096 [x3 ]4 = x12

Hukum III : [ambn]k= amk.bnk ( 3.4 ) Contoh 3.9 Selesaikan : [{7}{52}]3 dan [x3y2]2 Penyelesaian : [{7}{52}]3 = 73 5 6 = 5359375 [x3y2]2 = x6 y4 c. Perkalian fungsi polinomial Proses perkalian dua fungsi polinomial dapat dilakukan dengan mengalikan masing-masing monomialnya dengan bantuan hukum distributif. Contoh 3.10 Selesaikan perkalian : 2x(x2 -5x+6) Penyelesaian : 2x(x2 -5x+6) = 2x3 -10x2 +12x

Contoh 3.11 Selesaikan perkalian : (3x+2)(x2 -3x+2) Penyelesaian (3x+2)(x2 –3x+2) = 3x3 – 9x2 +6x+2x2 – 6x+4=3x3 –7x2 +4 d. Perkalian istimewa polinomial Dua buah polinomial disebut binomial-binomial konjugat jika salah satu dari binomial tersebut merupakan penjumlahan, sedangkan yang lainnya merupakan pengurangan dari dua buah monomial. Sebagai contoh (axm+byn) dan (axm–byn) adalah binomial-binomial konjugat (axm+byn)(axm – byn) = (axm)2 – (by)2 (3.5) Contoh 3.12 Selesaikan perkalian (5x2+6) (5x2-6) Penyelesaian : (5x2+6) (5x2–6) = (5x2)2 –(6)2 = 25x4 –36

e. Pemfaktoran polinomial Memfaktorkan polinomial berarti menulis polinomial menjadi bentuk perkalian antara dua polinomial atau lebih. Langkah- langkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut, Tentukan faktor yang sama dari masing-masing monomial dan selanjutnya keluarkan dari kelompoknya. Sebagai contoh dapat dilihat pada tabel berikut. Polinomial Langkah I (tentukan faktor yang sama) Langkah II (keluarkan faktor ax2+ay2 a a(x2+y2)

e. Pemfaktoran polinomial Memfaktorkan polinomial berarti menulis polinomial menjadi bentuk perkalian antara dua polinomial atau lebih. Langkah- langkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut, Tentukan faktor yang sama dari masing-masing monomial dan selanjutnya keluarkan dari kelompoknya. Sebagai contoh dapat dilihat pada tabel berikut. Polinomial Langkah I (tentukan faktor yang sama) Langkah II (keluarkan faktor ax2+ay2 a a(x2+y2) 3x3+2x+x x x(3x2+2x+1)

e. Pemfaktoran polinomial Memfaktorkan polinomial berarti menulis polinomial menjadi bentuk perkalian antara dua polinomial atau lebih. Langkah- langkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut, Tentukan faktor yang sama dari masing-masing monomial dan selanjutnya keluarkan dari kelompoknya. Sebagai contoh dapat dilihat pada tabel berikut. Polinomial Langkah I (tentukan faktor yang sama) Langkah II (keluarkan faktor ax2+ay2 a a(x2+y2) 3x3+2x+x x x(3x2+2x+1) 3a2b+5ab-4b2 b b(3a2+5a-4b)

f. Pembagian polinomial Pembagian dua buah monomial dapat dilakukan dengan mengikuti hukum-hukum berikut ini. Hukum IV xm xn = xm x1–n =xm – n (3.6) Hukum V x y xm ym = (3.7) Hukum VI ( Pangkat nol) a0=1 ; a / 0 (3.8) 1 am Hukum VII = a–m (3.9)

Pada contoh terdahulu telah dijelaskan bahwa fungsi polinomial x3 y2 –4 Sederhanakan fungsi Penyelesaian x3 y2 –4 = x–12 y–8 y8 x12 g. Fungsi konstan Pada contoh terdahulu telah dijelaskan bahwa fungsi polinomial yang mempunyai derajad nol disebut fungsi konstan dan dapat ditulis dalam bentuk y = f(x) = a0 atau y = konstan ( 3.10 ) Grafik fungsi konstan dapat dilihat pada Gambar 3.4 berikut.

y = a0 ; a0 > 0 y = a0 ; a0 < 0 O x y Gambar 3.4 Grafik fungsi konstan

h. Fungsi linier Fungsi linier adalah fungsi polinomial yang derajad satu. Fungsi linier disebut juga persamaan garis dan ditulis dalam bentuk : y = a1 x + a0 atau y = mx + n (3.11) Pers. 3.11 adalah pers. garis yang memotong sumbu x pada saat y = 0 dan memotong sumbu y pada saat x = 0. Perhatikan pers. 3.11. Jika x = 0 maka y = n dan jika y = 0 maka x = - n/m. Jadi dapat disimpulkan bahwa pers. 3.11 menunjukkan sebuah garis yang melalui titik-titik (0,n) dan (-n/m,0). Biasanya persamaan 3.11 disebut pers. “Perpotongan-Kemiringan sebuah Garis (Slope-Intercept Equation of a Line)”.

Grafik persamaan 3.11 ditunjukkan pada Gambar 3.5 berikut O y x (–n/m , 0) (0 , n) Gambar 3.5 Grafik fungsi linier

Jika persamaan garis pada pers. 3.11 melalui titik (x1,y1) maka : y1 = mx1 + n  n = y1 – mx1 ( 3.12 ) Dengan mensubstitusi harga n pada pers. 3.12 ke pers. 3.11 didapat : y – y1 = m(x – x1) atau y = m(x – x1) + y1 ( 3.13 ) Biasanya persamaan 3.13 disebut persamaan “Kemiringan-Titik sebuah Garis (Point-Slope Equation of a Line)”. Grafik persamaan 3.13 ditunjukkan pada Gambar 3.6.

O y x (x , y) Gambar 3.6 Grafik Persamaan 3.13 (x1 , y1)

Jika persamaan garis 3.11 melalui titik (x2,y2), maka : y – y2 = m(x – x2) atau y = m(x – x2) + y2 (3.14) Jika persmaan 3.15 dikurang persamaan 3.13 maka didapat, y1– y2 x1– x2 y2– y1 x2– x1 y1 – y2 = m (x1 – x2) atau = (3.15) Dengan memasukkan harga m pada pers. 3.15 ke pers. 3.13 didapat : y2– y1 x2– x1 y – y1 = (x– x1) atau y = (x – x1) + y1 (3.16) Persamaan 3.16 adalah persamaan garis yang melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2) dan disebut persamaan “Dua titik dari suatu garis (two point equation of a line)” seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.7.

O y x Gambar 3.7 Grafik Persamaan 3.16 (x1 , y1) (x2 , y2)

Kesimpulan : Dari uraian diatas padat disimpulkan bahwa : Jika kemiringan dan titik potong suatu garis dengan sumbu x atau sumbu y diketahui maka gunakan adalah persamaan 3.11. Jika kemiringan suatu garis diketahui dan garis tersebut melalui titik tertentu, misal (x1,y1), maka gunakan pers. 3.13. Jika suatu garis melalui titik-titik (x1,y1) dan (x2,y2) maka gunakan persaman 3.16.

Cara menggambar garis Bentuk umum persamaan garis : y = mx + n Buat tabel sebagai berikut : Jika n  0 x y n -n/m Jika n = 0 x y a m.a a adalah sembarang bilangan ril

Contoh 3.14 Sebuah garis mempunyai kemiringan (koeffisien arah) -1/3 dan memotong sumbu x pada x = 1. Tentukan persamaan garis tersebut! Penyelesaian : (gunakan persamaan 3.11) Persamaan garis y = mx + n Karena m = -1/3, maka persamaan garis menjadi : y = -1/3 x + n Titik potong dengan sumbu x pada x = 1, maka y = 0. Dengan mensubstitusikan harga x dan y ke persamaan 2.11 maka didapat n=1/3. Dengan demikian persamaan garis menjadi: y = -1/3 x+1/3 Cara menggambarkan garis lihat petunjuk. x y 1/3 1

Jadi titik-titik koordinat garis tersebut adalah (0,1/3) dan (1,0) x y Gambar 3.8 (0,1/3) (1,0)

Contoh 3.15 Sebuah garis mempunyai kemiringan (koeffisien arah) 2 dan memotong sumbu y pada y = 3/2. Tentukan persamaan garis tsb! Penyelesaian : (gunakan persamaan 3.11) Persamaan garis y = mx + n Karena m = 2, maka persamaan garis menjadi : y = 2x + n Titik potong dengan sumbu y pada y = 3/2, maka x = 0. Dengan mensubstitusikan harga x dan y ke persamaan 3.11, didapat n=1. Dengan demikian persamaan garis menjadi: y = 2x+3/2 Cara menggambarkan garis lihat petunjuk. x y 3/2 -3/4

Jadi titik-titik koordinat garis tsb adalah (0,3/2) dan (-3/4,0). x y Gambar 3.9 (0,3/2) (1,0)

Contoh 3.16 Sebuah garis mempunyai kemiringan (koeffisien arah) – 1 dan melalui titik (–2,3). Tentukan persamaan garis tersebut! Penyelesaian (gunakan persamaan 3.13) y = m(x – x1) + y1  m = -1 ; x1 = –2 ; y1 = 3 Persamaan garis yang dimaksud adalah :y = -1(x+2)+3= -x + 1 x y 1

Jadi titik-titik koordinat garis tersebut adalah (0,1) dan (1,0) x y Gambar 3.10 (0,1) (1,0)

Contoh 3.17 Sebuah garis melalui (-3,4) dan (5,2). Tentukan persamaan garis tsb.! Penyelesaian (gunakan persamaan 3.16): y2– y1 x2– x1 y = (x – x1) + y1 = 2– 4 5 +3 (x + 3) + 4 1 4 = – (x –13) –

O x y Gambar 3.11 (0,13/4) (13,0)