FITRI UTAMININGRUM, ST, MT MATEMATIKA DISKRIT FITRI UTAMININGRUM, ST, MT

Tujuan Instruksional khusus Memahami tentang logika proposional Memahami tentang penggunaan operator logika pada proposisi Memahami tentang ekuivalensi pada logika proposional

Modul Matematika Diskrit Logika Logika adalah dasar dari penjabaran matematika (mathematical reasoning) Logika mempelajari penjabaran (reasoning) secara benar Fokus pada relasi antar pernyataan (statement) / kalimat (sentence). Contoh: Dino adalah mahasiswa UB. Semua mahasiswa UB pandai. Dino orang pandai. Perhatikan bahwa logika tidak harus memperhatikan isi kalimat; jika diketahui bahwa dua kalimat pertama di atas benar, maka kalimat ketiga harus benar. Jurusan Teknik Informatika - FTIF ITS

Proposisi Proposisi merupakan sebuah pernyataan atau kalimat yang punya nilai kebenaran (benar = 1 / salah = 0). Proposisi disimbolkan dengan huruf p, q, dsb. Biasanya berbentuk kalimat deklaratif Contoh proposisi: Bilangan bulat yang membagi habis 23 adalah 1 dan 23 proposisi primitip(primitif ) Taufik Hidayat pandai main bulu tangkis atau tenis proposisi majemuk(composite). Contoh bukan proposisi: Berapa harga tiket ke Malaysia? Silakan duduk.

MACAM PROPOSISI Kalimat deklaratif yang tidak memuat penghubung disebut proposisi primitif(primitif ) Kalimat deklaratif yang memuat penghubung ”atau” dan ”jika...maka...” disebut proposisi majemuk (composite).

Konektif Jika p dan q adalah proposisi, dapat dibentuk proposisi (majemuk) baru (compound proposition) dengan menggunakan konektif Macam-macam konektif: AND (konjungsi) Simbol ^ Inclusive OR (disjungsi) Simbol v Exclusive OR Simbol  NOT (negasi) Simbol  Implikasi Simbol  Implikasi ganda Simbol 

Tingkat Presedensi NEGASI (NOT) KONJUNGSI (AND) DISJUNGSI (OR, XOR) IMPLIKASI IMPLIKASI GANDA Catatan: mengatasi tingkat presedensi dengan cara memberikan kurung di pada proposisi yang ingin didahulukan

Tabel Kebenaran Konjungsi p q p q 1 Contoh : p = Harimau adalah binatang buas q = Malang adalah ibukota Jawa Timur p ^ q = Harimau adalah binatang buas dan Malang adalah ibukota Jawa Timur p ^ q salah. Perhatikan bahwa tidak perlu ada keterkaitan antara p dan q

Tabel Kebenaran Disjungsi (Inclusive OR) p q p v q 1 Contoh: p = Jono seorang mahasiswa q = Mira seorang sarjana hukum p v q = Jono seorang mahasiswa atau Mira seorang sarjana hukum

Tabel Kebenaran Exclusive Disjunction “Either p or q” (but not both), dengan simbol p  q p  q bernilai benar hanya jika p benar dan q salah, atau p salah dan q benar p = "John is programmer, q = "Mary is a lawyer" p  q = "Either John is a programmer or Mary is a lawyer" p q p  q 1

Tabel Kebenaran Negasi p p 1 Contoh: p = Jono seorang mahasiswa p = Jono bukan seorang mahasiswa

Kalimat majemuk (compound statements) p, q, r merupakan kalimat / pernyataan sederhana (simple statements) Apabila ada dua buah proposisi misalkan proposisi A dan proposisi B maka dapat dibentuk proposisi baru (Compound Proposition) dengan menggunakan konektor atau perangkai. Beberapa contoh bentukan compound statements, seperti: (pq)^r p(q^r) (p)( q) (pq)^( r) dll

HITUNG Lengkapilah tabel dibawah ini serta berikan kesimpulan akhirnya q p q p q (p q) v (p q) 1

Tabel Kebenaran (p   r)  q 1

Implikasi Disebut juga proposisi kondisional (conditional proposition) dan berbentuk “jika p maka q” Notasi simboliknya : p  q Contoh: p = Jono seorang mahasiswa q = Mira seorang sarjana hukum p  q = Jika Jono seorang mahasiswa maka Mira seorang sarjana hukum

Tabel Kebenaran Implikasi q p  q 1

Hypotesa dan konklusi Dalam implikasi p  q p disebut antecedent, hypothesis, premise q disebut konsekuensi atau konklusi (consequent, conclusion)

Perlu dan Cukup Kondisi “perlu” dinyatakan oleh konklusi. Kondisi “cukup” dinyatakan oleh hipotesa. Perlu = necessary; Cukup = sufficient Contoh: Jika Jono seorang mahasiswa maka Mira seorang sarjana hukum Kondisi perlu: Mira seorang sarjana hukum Kondisi cukup: Jono seorang mahasiswa

Tabel kebenaran Implikasi Ganda (Biimplikasi) Implikasi Ganda (double implication) dibaca “p jika dan hanya jika q” Notasi simboliknya p  q p q p  q (p  q) ^ (q  p) 1

KESIMPULAN BIIMPLIKASI p  q ekivalen dengan (p  q)^(q  p) p q p  q (p  q) ^ (q  p) 1

Ekivalensi Logikal Dua proposisi yang tabel kebenarannya identik disebut ekivalen (logically equivalent). Contoh:  p  q ekivalen (logically equivalent to) p  q p q  p  q p  q 1

Konversi dan Inversi Konversi dari p  q adalah q  p Inversi dari p  q adalah  p   q Apakah Konversi dan Inversi diatas equivalent??? BUKTIKAN!!!!

PEMBUKTIAN p  q tidak ekivalen q  p p  q tidak ekivalen  p   q p 1

Kontrapositif kontrapositif dari proposisi p  q adalah  q   p Buat Tabel Kebenarannya dan apakah p  q dan  q   p ekivalen???

JAWAB KONTRAPOSITIF p  q dan  q   p ekivalen p q p  q  q   p 1

Ekivalensi Logika Ekivalensi Nama p  T  p p  F  p Identity laws p  T  T p  F  F Domination laws p  p  p p  p  p Idempotent laws (p)  p Double negation laws p  q  q  p p  q  q  p Commutative laws (p  q)  r  p  (q  r) (p  q)  r  p  ( q  r) Associative laws

Ekivalensi Logika Ekivalensi Nama p  (q  r)  (p  q)  (p  r) Distributive laws (p  q)  ( p)  ( q) (p  q)  ( p)  ( q) De Morgan’s laws p  (p  q)  p p  (p  q)  p Absorption laws p  p  T p  p  F Negation laws

Ekivalensi Logika Ekivalensi p  q  p  q p  q  q  p (p  q)  (p  r)  p  (q  r) (p  r)  (q  r)  (p  q)  r (p  q)  (p  r)  p  (q  r) (p  r)  (q  r)  (p  q)  r Ekivalensi p  q  (p  q)  (q  p) p  q  p  q p  q  (p  q)  (p  q) (p  q)  p   q

Tautology Proposisi yang selalu bernilai benar (true) dalam keadaan apapun Contoh: p  p v q p q p  p v q ((p => q) ^ p) => q 1

Kontradiksi Proposisi yang selalu bernilai salah (false) dalam keadaan apapun Contoh : p ^  p p p ^ ( p) 1

Latihan-1 Dari bbrp kalimat dibawah ini mana yang termasuk proposisi ? Tentukan nilai kebenaran dari proposisi tsb. 7 merupakan sebuah bilangan prima. Jangan lakukan. Jika 10 habis dibagi dengan 4, maka juga habis dibagi dengan 2. x + y = y + x untuk setiap pasangan dari bilangan real x dan y Jam berapa sekarang?

Latihan 2. Tentukan apakah (p  (p  q))  q adalah tautologi? 3. Tunjukkan bahwa manakah yang ekivalen dari ketiga logika berikut? a. p  q b. (p  q)  (p  q) c. (p  q) ^ (q  p)